Exponentielles Wachstum und Zerfall: Prozent- und Zinsrechnung verstehen

Stell dir vor, du legst 100 Franken auf ein Sparkonto. Nach einem Jahr hast du 105 Franken. Im nächsten Jahr bekommst du aber nicht wieder nur 5 Franken dazu – du bekommst Zinsen auf 105 Franken! Das bedeutet: Dein Geld vermehrt sich immer schneller. Dieses Phänomen begegnet dir überall. Bakterien verdoppeln sich alle paar Stunden. Eine alte Batterie verliert jeden Monat einen Teil ihrer Ladung. Ein virales Video erreicht immer mehr Menschen, je mehr es geteilt wird.

All diese Vorgänge folgen dem gleichen mathematischen Prinzip: dem exponentiellen Wachstum oder Zerfall. Die Änderung hängt immer vom aktuellen Wert ab – nicht von einem festen Betrag. Genau das unterscheidet exponentielles Wachstum vom einfachen Addieren. In diesem Artikel lernst du, wie du solche Prozesse berechnest und in Formeln fasst.

Vom Sparbuch zur Formel: Wie Wachstum funktioniert

Greifen wir das Beispiel mit dem Sparkonto nochmals auf. Du hast 100 Franken eingezahlt. Die Bank zahlt dir jedes Jahr 5% Zinsen. Was passiert über mehrere Jahre?

Jahr 0: Du startest mit 100 Fr.

Jahr 1: Du bekommst 5% von 100 Fr. = 5 Fr. dazu. Neuer Kontostand: 105 Fr.

Jahr 2: Du bekommst 5% von 105 Fr. = 5.25 Fr. dazu. Neuer Kontostand: 110.25 Fr.

Jahr 3: Du bekommst 5% von 110.25 Fr. = 5.51 Fr. dazu. Neuer Kontostand: 115.76 Fr.

Merkst du das Muster? Die Zinsen werden jedes Jahr grösser, weil du Zinsen auf deine bereits erhaltenen Zinsen bekommst. Das nennt man Zinseszinseffekt.

Die Wertetabelle als Hilfsmittel

Eine Tabelle hilft dir, den Überblick zu behalten:

Jahr $t$	Kapital $K(t)$ in Fr.	Berechnung
0	100.00	Startkapital
1	105.00	$100 \cdot 1.05$
2	110.25	$105 \cdot 1.05$
3	115.76	$110.25 \cdot 1.05$
4	121.55	$115.76 \cdot 1.05$

In jeder Zeile multiplizierst du mit dem gleichen Faktor: 1.05. Dieser Faktor heisst Wachstumsfaktor. Er setzt sich zusammen aus $1 + \frac{p}{100}$, wobei $p$ der Prozentsatz ist.

Die Formel für exponentielles Wachstum

Statt jedes Jahr einzeln zu rechnen, gibt es eine Formel, die dir den Wert nach beliebig vielen Zeitschritten liefert.

DEFINITION

Das Kapital $K$ nach $t$ Zeiteinheiten berechnet sich mit:

$$K(t) = K_0 \cdot q^t$$

Dabei gilt:

• $K_0$ ist der Anfangswert (das Startkapital)
• $q$ ist der Wachstumsfaktor: $q = 1 + \frac{p}{100}$
• $p$ ist der Prozentsatz (Zinssatz, Wachstumsrate)
• $t$ ist die Anzahl der Zeiteinheiten (Jahre, Monate, Stunden)

Bei Wachstum ist $q > 1$. Bei Zerfall ist $0 < q < 1$.

Den Wachstumsfaktor verstehen

Der Wachstumsfaktor $q$ ist der Schlüssel zur Formel. Er drückt aus, auf welchen Anteil sich der Wert pro Zeiteinheit verändert.

Bei Wachstum:

• 5% Zunahme bedeutet: $q = 1 + 0.05 = 1.05$
• 12% Zunahme bedeutet: $q = 1 + 0.12 = 1.12$
• 100% Zunahme (Verdopplung) bedeutet: $q = 1 + 1 = 2$

Bei Zerfall:

• 5% Abnahme bedeutet: $q = 1 - 0.05 = 0.95$
• 20% Abnahme bedeutet: $q = 1 - 0.20 = 0.80$
• 50% Abnahme (Halbierung) bedeutet: $q = 1 - 0.50 = 0.50$

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Prozent und Wachstumsfaktor verwechseln

Bei 5% Wachstum ist $q$ nicht 0.05, sondern 1.05. Du addierst den Prozentsatz zu 1, nicht zur 0.

Fehler 2: Lineare statt exponentielle Rechnung

Viele Schüler rechnen bei 5% Zinsen einfach $100 + 5 + 5 + 5 = 115$ für drei Jahre. Das ist falsch! Richtig ist $100 \cdot 1.05^3 = 115.76$. Der Unterschied wird bei längeren Zeiträumen enorm.

Fehler 3: Vorzeichen beim Zerfall vergessen

Bei Wertverlust musst du subtrahieren: $q = 1 - \frac{p}{100}$. Wer stattdessen addiert, berechnet Wachstum statt Zerfall.

Fehler 4: Zeiteinheiten nicht anpassen

Wenn der Zinssatz pro Jahr gilt, aber du in Monaten rechnest, musst du entweder den Zinssatz umrechnen oder die Zeit in Jahren angeben.

Exponentieller Zerfall: Das Gegenteil von Wachstum

Nicht alles wächst. Viele Prozesse beschreiben einen Rückgang: Radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau im Körper oder der Wertverlust eines Autos. Die Formel bleibt gleich – nur ist der Wachstumsfaktor kleiner als 1.

Die Halbwertszeit

Bei exponentiellem Zerfall ist die Halbwertszeit ein wichtiger Begriff. Sie gibt an, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte des Anfangswerts vorhanden ist.

Wenn sich ein Wert jede Zeiteinheit um einen bestimmten Prozentsatz verringert, lässt sich die Halbwertszeit berechnen. Bei einer Rate von $p$ Prozent pro Zeiteinheit gilt:

$$t_{1/2} = \frac{\ln(0.5)}{\ln(1 - \frac{p}{100})}$$

Diese Formel brauchst du in der 9. Klasse noch nicht auswendig zu kennen. Wichtig ist, dass du verstehst: Bei exponentiellem Zerfall halbiert sich der Wert immer nach der gleichen Zeitspanne.

3 Beispiele für Wachstum und Zerfall

Beispiel 1: Zinseszins beim Sparkonto

Beispiel 1: Zinseszins beim Sparkonto

Du legst 2000 Fr. zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr an. Wie viel Geld hast du nach 10 Jahren?

Gegeben:

• Anfangskapital $K_0 = 2000 \, \text{Fr.}$
• Zinssatz $p = 3\%$
• Zeit $t = 10 \, \text{Jahre}$

Gesucht: Endkapital $K(10)$

Lösung:

Zuerst berechnen wir den Wachstumsfaktor:

$$q = 1 + \frac{3}{100} = 1.03$$

Dann setzen wir in die Formel ein:

$$K(10) = 2000 \cdot 1.03^{10}$$$$K(10) = 2000 \cdot 1.3439$$$$K(10) = 2687.83 \, \text{Fr.}$$

Antwort: Nach 10 Jahren hast du 2687.83 Fr. auf dem Konto.

Beispiel 2: Wertverlust eines Autos

Beispiel 2: Wertverlust eines Autos

Ein Neuwagen kostet 35000 Fr. Er verliert jedes Jahr 15% an Wert. Wie viel ist das Auto nach 5 Jahren noch wert?

Gegeben:

• Anfangswert $K_0 = 35000 \, \text{Fr.}$
• Wertverlust $p = 15\%$ pro Jahr
• Zeit $t = 5 \, \text{Jahre}$

Gesucht: Restwert $K(5)$

Lösung:

Bei Wertverlust ist der Wachstumsfaktor kleiner als 1:

$$q = 1 - \frac{15}{100} = 0.85$$

Einsetzen in die Formel:

$$K(5) = 35000 \cdot 0.85^{5}$$$$K(5) = 35000 \cdot 0.4437$$$$K(5) = 15529.50 \, \text{Fr.}$$

Antwort: Das Auto ist nach 5 Jahren noch 15529.50 Fr. wert.

Beispiel 3: Bakterienwachstum

Beispiel 3: Bakterienwachstum

In einer Petrischale befinden sich anfangs 500 Bakterien. Die Population verdoppelt sich alle 4 Stunden. Wie viele Bakterien sind nach 24 Stunden in der Schale?

Gegeben:

• Anfangszahl $K_0 = 500$
• Verdopplung alle 4 Stunden bedeutet: $q = 2$ pro 4-Stunden-Intervall
• Zeit $t = 24 \, \text{Stunden}$

Gesucht: Anzahl Bakterien $K(24)$

Lösung:

Zuerst rechnen wir die Zeit in 4-Stunden-Intervalle um:

$$\text{Anzahl Intervalle} = \frac{24}{4} = 6$$

Der Wachstumsfaktor pro Intervall ist $q = 2$ (Verdopplung).

Einsetzen in die Formel:

$$K(6) = 500 \cdot 2^{6}$$$$K(6) = 500 \cdot 64$$$$K(6) = 32000$$

Antwort: Nach 24 Stunden sind 32000 Bakterien in der Petrischale.

Das Wichtigste in Kürze

• Exponentielles Wachstum und Zerfall beschreiben Prozesse, bei denen die Änderung vom aktuellen Wert abhängt.
• Die Grundformel lautet $K(t) = K_0 \cdot q^t$ mit dem Wachstumsfaktor $q$.
• Bei Wachstum gilt $q = 1 + \frac{p}{100}$, bei Zerfall gilt $q = 1 - \frac{p}{100}$.
• Der Zinseszinseffekt führt dazu, dass Geldanlagen schneller wachsen als bei einfacher Zinsrechnung.
• Bei exponentiellem Zerfall bleibt die Halbwertszeit konstant – unabhängig vom aktuellen Wert.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Du legst 1000 Fr. zu 4% Jahreszins an. Wie viel Geld hast du nach 5 Jahren?

Lösung anzeigen

Lösung:

$$K(5) = 1000 \cdot 1.04^5 = 1000 \cdot 1.2167 = 1216.65 \, \text{Fr.}$$

Nach 5 Jahren hast du 1216.65 Fr.

❓ Frage: Ein Medikament im Blut wird pro Stunde um 20% abgebaut. Wenn du mit 100 mg startest: Auf wie viel Prozent des Anfangswerts ist die Menge nach 3 Stunden gesunken?

Lösung anzeigen

Lösung:

Wachstumsfaktor: $q = 1 - 0.20 = 0.80$

$$K(3) = 100 \cdot 0.80^3 = 100 \cdot 0.512 = 51.2 \, \text{mg}$$

Das entspricht 51.2% des Anfangswerts.

❓ Frage: Ein Schüler rechnet: “Bei 10% Wachstum pro Jahr hat sich mein Geld nach 10 Jahren verdoppelt, weil 10 mal 10% gleich 100% ist.” Warum ist diese Überlegung falsch?

Lösung anzeigen

Antwort:

Der Schüler rechnet linear statt exponentiell. Bei exponentiellem Wachstum bekommst du Zinsen auf bereits erhaltene Zinsen.

Korrekte Rechnung: $K(10) = K_0 \cdot 1.10^{10} = K_0 \cdot 2.594$

Das Geld hat sich nach 10 Jahren auf mehr als das 2.5-fache erhöht – nicht nur verdoppelt!

Die Verdopplung bei 10% Zinsen tritt bereits nach etwa 7.3 Jahren ein.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Nachdem du exponentielles Wachstum und Zerfall verstanden hast, folgt im Lehrplan oft das Thema Exponentialfunktionen und Logarithmen. Dort lernst du, wie du Gleichungen der Form $K_0 \cdot q^t = K$ nach $t$ auflöst. Das brauchst du zum Beispiel, um zu berechnen, nach wie vielen Jahren sich dein Kapital verdoppelt hat. Die Logarithmusfunktion ist das mathematische Werkzeug, das dir ermöglicht, den Exponenten $t$ aus einer solchen Gleichung zu isolieren.