Prozentwert berechnen: So findest du den Anteil von einem Ganzen

Stell dir vor, du bist mit deiner Klasse im Schullandheim. Insgesamt sind 25 Schülerinnen und Schüler dabei. Die Lehrerin verkündet: “40 Prozent von euch haben sich für die Wanderung angemeldet.” Du überlegst: Wie viele sind das eigentlich genau?

Oder denk an den letzten Ausverkauf im Sportgeschäft. Das T-Shirt, das du haben wolltest, kostet normalerweise 50 Franken. Jetzt steht ein grosses Schild daneben: “20 % Rabatt!” Du fragst dich: Wie viel spare ich denn nun?

In beiden Fällen suchst du den sogenannten Prozentwert. Das ist der konkrete Anteil, der sich hinter einer Prozentangabe versteckt. Und genau das lernst du jetzt: Wie du aus einer Prozentzahl einen echten Wert berechnest, den du dir vorstellen kannst.

Was bedeutet “Prozent” überhaupt?

Bevor du den Prozentwert berechnest, musst du verstehen, was Prozent eigentlich heisst. Das Wort kommt aus dem Lateinischen: “pro centum” bedeutet “von Hundert”.

Wenn jemand sagt “40 Prozent”, meint er damit: 40 von 100 Teilen. Schreibst du das als Bruch, erhältst du $\frac{40}{100}$. Kürzt du diesen Bruch, bekommst du $\frac{2}{5}$.

Die Prozentrechnung ist also nichts anderes als eine spezielle Form der Bruchrechnung. Der Vorteil: Prozentangaben lassen sich sehr gut vergleichen. Ob 25 % der Schweizer oder 25 % der Deutschen etwas tun – du weisst sofort, dass es jeweils ein Viertel ist.

Die drei Grundgrössen der Prozentrechnung

In der Prozentrechnung arbeitest du immer mit drei Grössen. Diese musst du unterscheiden können:

Der Grundwert ($G$): Das ist das Ganze, von dem du einen Anteil berechnest. Im Schullandheim-Beispiel sind es die 25 Schüler. Beim T-Shirt sind es die 50 Franken.

Der Prozentsatz ($p$): Das ist die Angabe in Prozent. Im Beispiel oben: 40 % oder 20 %. Der Prozentsatz sagt dir, wie gross der Anteil im Verhältnis zum Ganzen ist.

Der Prozentwert ($W$): Das ist der konkrete Anteil, den du suchst. Wie viele Schüler? Wie viele Franken Rabatt? Der Prozentwert hat immer die gleiche Einheit wie der Grundwert.

DEFINITION

Der Prozentwert ($W$) ist der absolute Anteil, der einem bestimmten Prozentsatz entspricht. Er gibt an, wie viel ein gewisser Prozentsatz vom Grundwert tatsächlich ausmacht.

Die Formel lautet:

$$W = \frac{p}{100} \cdot G$$

Dabei bedeuten:

• $W$ = Prozentwert (der gesuchte Anteil)
• $p$ = Prozentsatz (die Zahl vor dem %-Zeichen)
• $G$ = Grundwert (das Ganze, 100 %)

Warum teilst du durch 100?

Die Division durch 100 in der Formel hat einen einfachen Grund. Der Prozentsatz gibt an, wie viele Hundertstel du vom Ganzen nimmst.

Wenn du 40 % berechnest, nimmst du 40 Hundertstel. Mathematisch ausgedrückt:

$$40 \, \% = \frac{40}{100} = 0{,}4$$

Du wandelst also den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um. Diese Dezimalzahl multiplizierst du dann mit dem Grundwert.

Alternativ kannst du die Formel auch so schreiben:

$$W = G \cdot \frac{p}{100}$$

Beide Schreibweisen führen zum gleichen Ergebnis. Wähle die Variante, mit der du besser rechnen kannst.

Der Dreisatz als Alternative

Du kannst den Prozentwert auch mit dem Dreisatz berechnen. Das ist besonders hilfreich, wenn du die Formel einmal vergisst. Der Dreisatz funktioniert so:

1. Erster Satz: Du weisst, dass der Grundwert $G$ genau 100 % entspricht.
2. Zweiter Satz: Du berechnest, wie viel 1 % vom Grundwert ist (Division durch 100).
3. Dritter Satz: Du multiplizierst das Ergebnis mit dem gesuchten Prozentsatz $p$.

Für das Schullandheim-Beispiel sieht das so aus:

$$100 \, \% \widehat{=} 25 \text{ Schüler}$$ $$1 \, \% \widehat{=} \frac{25}{100} = 0{,}25 \text{ Schüler}$$ $$40 \, \% \widehat{=} 0{,}25 \cdot 40 = 10 \text{ Schüler}$$

Ergebnis: 10 Schülerinnen und Schüler haben sich für die Wanderung angemeldet.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Grundwert und Prozentwert verwechseln Viele Schüler setzen versehentlich den Prozentwert als Grundwert ein. Achte genau darauf: Der Grundwert ist immer das Ganze (100 %). Der Prozentwert ist der Teil, den du suchst.

Fehler 2: Prozentsatz falsch umrechnen Manche rechnen $25 \, \%$ als $25$ statt als $0{,}25$ oder $\frac{25}{100}$. Denk daran: Prozent heisst “von Hundert”. Du musst immer durch 100 teilen!

Fehler 3: Einheiten vergessen Der Prozentwert hat immer die gleiche Einheit wie der Grundwert. Sind es Franken, Kilogramm oder Schüler? Schreibe die Einheit immer dazu.

Fehler 4: Komma falsch setzen Bei Dezimalzahlen ist Sorgfalt gefragt. $0{,}4 \cdot 50 = 20$, aber $4 \cdot 50 = 200$. Ein vergessenes oder falsches Komma führt zu einem Ergebnis, das um den Faktor 10 oder 100 daneben liegt.

3 Beispiele für den Prozentwert

Beispiel 1: Rabatt beim Einkauf

Beispiel 1: Rabatt beim Einkauf

Aufgabe: Eine Jacke kostet regulär 120 Franken. Der Händler gibt 15 % Rabatt. Wie viel Rabatt bekommst du?

Gegeben:

• Grundwert: $G = 120 \, \text{Fr.}$
• Prozentsatz: $p = 15 \, \%$

Gesucht: Prozentwert $W$

Lösung mit der Formel:

$$W = \frac{p}{100} \cdot G$$$$W = \frac{15}{100} \cdot 120 \, \text{Fr.}$$$$W = 0{,}15 \cdot 120 \, \text{Fr.}$$$$W = 18 \, \text{Fr.}$$

Antwort: Du bekommst 18 Franken Rabatt. Die Jacke kostet also noch $120 - 18 = 102$ Franken.

Beispiel 2: Zusammensetzung von Lebensmitteln

Beispiel 2: Fettgehalt in Joghurt

Aufgabe: Ein Becher Joghurt enthält 500 g. Laut Verpackung beträgt der Fettanteil 3,5 %. Wie viel Gramm Fett sind im Joghurt?

Gegeben:

• Grundwert: $G = 500 \, \text{g}$
• Prozentsatz: $p = 3{,}5 \, \%$

Gesucht: Prozentwert $W$

Lösung mit dem Dreisatz:

$$100 \, \% \widehat{=} 500 \, \text{g}$$$$1 \, \% \widehat{=} \frac{500 \, \text{g}}{100} = 5 \, \text{g}$$$$3{,}5 \, \% \widehat{=} 5 \, \text{g} \cdot 3{,}5 = 17{,}5 \, \text{g}$$

Antwort: Der Joghurt enthält 17,5 g Fett.

Beispiel 3: Wahlergebnis analysieren

Beispiel 3: Stimmen bei einer Klassensprecherwahl

Aufgabe: Bei der Wahl zum Klassensprecher haben 28 Schüler abgestimmt. Die Gewinnerin hat 75 % der Stimmen erhalten. Wie viele Schüler haben für sie gestimmt?

Gegeben:

• Grundwert: $G = 28$ Schüler
• Prozentsatz: $p = 75 \, \%$

Gesucht: Prozentwert $W$

Lösung:

$$W = \frac{p}{100} \cdot G = \frac{75}{100} \cdot 28$$

Hier bietet sich ein Trick an: $75 \, \%$ entspricht $\frac{3}{4}$.

$$W = \frac{3}{4} \cdot 28 = \frac{3 \cdot 28}{4} = \frac{84}{4} = 21$$

Antwort: 21 Schüler haben für die Gewinnerin gestimmt.

Tipp: Bei “schönen” Prozentsätzen wie 25 %, 50 % oder 75 % lohnt es sich, mit Brüchen zu rechnen. Das geht oft schneller.

Prozentwert im Kopf berechnen

Für viele Alltagssituationen brauchst du keinen Taschenrechner. Mit diesen Tricks rechnest du schneller:

10 % berechnen: Teile den Grundwert durch 10. Bei 80 Franken sind 10 % also 8 Franken.

5 % berechnen: Berechne zuerst 10 % und halbiere das Ergebnis. 10 % von 80 Fr. = 8 Fr., also 5 % = 4 Fr.

1 % berechnen: Teile den Grundwert durch 100. Bei 80 Franken ist 1 % genau 0,80 Franken.

25 % berechnen: Teile den Grundwert durch 4. Bei 80 Franken sind 25 % also 20 Franken.

50 % berechnen: Halbiere den Grundwert. Bei 80 Franken sind 50 % genau 40 Franken.

Diese Basiswerte kannst du kombinieren. Für 15 % rechnest du: $10 \, \% + 5 \, \% = 8 + 4 = 12$ Franken.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Prozentwert ist der absolute Anteil, der einem Prozentsatz entspricht.
• Die Formel lautet: $W = \frac{p}{100} \cdot G$
• Alternativ funktioniert der Dreisatz: Auf 1 % herunterrechnen, dann auf $p$ % hochrechnen.
• Achte immer auf die Einheit: Der Prozentwert hat die gleiche Einheit wie der Grundwert.
• Bei “schönen” Prozentsätzen (10 %, 25 %, 50 %) lohnt sich Kopfrechnen mit Brüchen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Smartphone kostet 800 Franken. Du bekommst 12,5 % Rabatt. Wie viel Franken sparst du?

Lösung anzeigen

Lösung:

$$W = \frac{12{,}5}{100} \cdot 800 \, \text{Fr.} = 0{,}125 \cdot 800 \, \text{Fr.} = 100 \, \text{Fr.}$$

Du sparst 100 Franken.

Tipp: $12{,}5 \, \% = \frac{1}{8}$, also: $\frac{800}{8} = 100$ Fr.

❓ Frage: Der Grundwert verdoppelt sich, aber der Prozentsatz bleibt gleich. Was passiert mit dem Prozentwert?

Lösung anzeigen

Antwort: Der Prozentwert verdoppelt sich ebenfalls.

Begründung: In der Formel $W = \frac{p}{100} \cdot G$ ist $W$ direkt proportional zu $G$. Wenn $G$ doppelt so gross wird, wird auch $W$ doppelt so gross.

Beispiel:

• 20 % von 100 Fr. = 20 Fr.
• 20 % von 200 Fr. = 40 Fr.

❓ Frage: Jemand berechnet 30 % von 250 so: $30 \cdot 250 = 7500$. Was ist der Fehler, und wie lautet das richtige Ergebnis?

Lösung anzeigen

Der Fehler: Die Division durch 100 wurde vergessen. 30 % entspricht nicht 30, sondern $\frac{30}{100} = 0{,}3$.

Richtige Rechnung:

$$W = \frac{30}{100} \cdot 250 = 0{,}3 \cdot 250 = 75$$

Das richtige Ergebnis ist 75, nicht 7500.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du kannst jetzt den Prozentwert berechnen. Doch in der Prozentrechnung gibt es noch zwei weitere wichtige Aufgabentypen:

Den Prozentsatz berechnen: Wie viel Prozent sind 15 von 60? Hier kennst du den Grundwert und den Prozentwert, suchst aber den Prozentsatz.

Den Grundwert berechnen: Ein Produkt kostet nach 20 % Rabatt noch 40 Franken. Was war der ursprüngliche Preis?

Diese drei Aufgabentypen bilden zusammen die Grundlagen der Prozentrechnung. Beherrschst du alle drei, bist du fit für das nächste grosse Thema: die Zinsrechnung. Dort berechnest du, wie viel Geld du auf einem Sparkonto verdienst – oder wie viel ein Kredit wirklich kostet.