Prozentuale Änderungen verstehen: So berechnest du Preiserhöhungen und Rabatte

Stell dir vor, dein Lieblings-Streaming-Dienst kündigt an: “Der Preis steigt um 10 %.” Gleichzeitig wirbt ein Online-Shop mit “30 % Rabatt auf alles!” Du fragst dich vielleicht: Wie viel zahle ich jetzt wirklich? Und wenn der Preis erst um 10 % steigt und dann um 10 % fällt – bin ich dann wieder beim alten Preis?

Solche Fragen begegnen dir ständig. Beim Einkaufen, beim Vergleichen von Angeboten oder wenn du in den Nachrichten hörst, dass die Mieten um 5 % gestiegen sind. Die Mathematik hinter diesen Aussagen nennt sich prozentuale Änderung. Sie beschreibt, wie sich ein Wert im Verhältnis zu seinem Ausgangswert verändert. Und das Beste: Mit dem richtigen Werkzeug – dem sogenannten Wachstumsfaktor – kannst du solche Berechnungen blitzschnell lösen.

Was ist eine prozentuale Änderung?

Wenn sich ein Wert verändert, kannst du diese Veränderung auf zwei Arten beschreiben. Du kannst sagen: “Der Preis ist um 5 CHF gestiegen.” Das ist eine absolute Änderung. Oder du sagst: “Der Preis ist um 10 % gestiegen.” Das ist eine prozentuale Änderung.

Der Unterschied ist entscheidend. Eine Erhöhung um 5 CHF bedeutet bei einem Preis von 50 CHF etwas völlig anderes als bei einem Preis von 500 CHF. Im ersten Fall sind es 10 %, im zweiten Fall nur 1 %. Die prozentuale Änderung setzt die Veränderung immer ins Verhältnis zum Ausgangswert. Dadurch werden Änderungen vergleichbar.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Ein T-Shirt kostet ursprünglich 40 CHF. Der Laden erhöht den Preis um 20 %. Um wie viel CHF steigt der Preis?

Du berechnest zunächst 20 % von 40 CHF:

$$\frac{20}{100} \cdot 40 \, \text{CHF} = 8 \, \text{CHF}$$

Der Preis steigt also um 8 CHF. Der neue Preis beträgt $40 \, \text{CHF} + 8 \, \text{CHF} = 48 \, \text{CHF}$.

Der Wachstumsfaktor: Dein Turbo für prozentuale Änderungen

Die Berechnung in zwei Schritten – erst den Anteil berechnen, dann addieren oder subtrahieren – funktioniert. Aber es geht schneller. Der Wachstumsfaktor fasst beide Schritte in einer einzigen Multiplikation zusammen.

DEFINITION

Der Wachstumsfaktor $q$ gibt an, mit welcher Zahl du den Ausgangswert multiplizieren musst, um den neuen Wert zu erhalten.

Bei einer Erhöhung um $p \, \%$ gilt:

$$q = 1 + \frac{p}{100}$$

Bei einer Verminderung um $p \, \%$ gilt:

$$q = 1 - \frac{p}{100}$$

Der neue Wert ergibt sich dann durch:

$$\text{Neuer Wert} = \text{Ausgangswert} \cdot q$$

Woher kommt diese Formel? Denke nochmal an das T-Shirt. Bei einer Erhöhung um 20 % behältst du den ursprünglichen Preis (100 %) und fügst 20 % hinzu. Das ergibt 120 % oder als Dezimalzahl $1{,}20$. Genau das ist der Wachstumsfaktor.

Bei einem Rabatt von 30 % behältst du dagegen nur 70 % des ursprünglichen Preises. Der Wachstumsfaktor ist dann $0{,}70$.

Merkregel:

• Wachstumsfaktor grösser als 1 → Der Wert steigt
• Wachstumsfaktor gleich 1 → Der Wert bleibt gleich
• Wachstumsfaktor kleiner als 1 → Der Wert sinkt

So berechnest du prozentuale Änderungen Schritt für Schritt

Hier ist dein Leitfaden für jede Aufgabe zur prozentualen Änderung:

1. Ausgangswert identifizieren: Welcher Wert ist der Bezugspunkt? Das ist der Grundwert $G$.

2. Art der Änderung bestimmen: Handelt es sich um eine Erhöhung oder eine Verminderung?

3. Wachstumsfaktor berechnen: Setze den Prozentsatz in die passende Formel ein.

4. Neuen Wert berechnen: Multipliziere den Ausgangswert mit dem Wachstumsfaktor.

Zurück zum T-Shirt-Beispiel mit dem Wachstumsfaktor:

$$q = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}20$$ $$\text{Neuer Preis} = 40 \, \text{CHF} \cdot 1{,}20 = 48 \, \text{CHF}$$

Eine Rechnung statt zwei. Bei komplexeren Aufgaben spart das viel Zeit und reduziert Fehler.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Prozentuale Änderungen addieren

Viele Schüler denken: “Erst 20 % rauf, dann 20 % runter – das ergibt 0 %.” Falsch! Die zweite Änderung bezieht sich auf den neuen Wert, nicht auf den ursprünglichen. Beispiel: 100 CHF + 20 % = 120 CHF. Dann 120 CHF - 20 % = 96 CHF. Du landest unter dem Ausgangswert!

Fehler 2: Wachstumsfaktor bei Rabatten falsch ansetzen

Bei 25 % Rabatt ist der Wachstumsfaktor nicht $1{,}25$, sondern $0{,}75$. Du behältst 75 %, nicht du addierst 25 %.

Fehler 3: Prozent und Prozentpunkte verwechseln

Wenn ein Zinssatz von 2 % auf 3 % steigt, ist das eine Erhöhung um 1 Prozentpunkt. Aber die prozentuale Änderung beträgt 50 %, denn $\frac{3-2}{2} = 0{,}5 = 50 \, \%$. Achte genau auf die Formulierung in der Aufgabe.

3 Beispiele für prozentuale Änderungen

Beispiel 1: Preiserhöhung beim Smartphone

Beispiel 1: Preiserhöhung beim Smartphone

Ein Smartphone kostet 800 CHF. Der Hersteller erhöht den Preis um 15 %. Wie viel kostet das Smartphone jetzt?

Schritt 1: Ausgangswert $G = 800 \, \text{CHF}$

Schritt 2: Es handelt sich um eine Erhöhung.

Schritt 3: Wachstumsfaktor berechnen:

$$q = 1 + \frac{15}{100} = 1{,}15$$

Schritt 4: Neuen Preis berechnen:

$$\text{Neuer Preis} = 800 \, \text{CHF} \cdot 1{,}15 = 920 \, \text{CHF}$$

Antwort: Das Smartphone kostet jetzt 920 CHF.

Beispiel 2: Rabatt auf den Gesamteinkauf

Beispiel 2: Rabatt auf den Gesamteinkauf

Du kaufst Kleidung für insgesamt 175 CHF. An der Kasse erhältst du 12 % Rabatt. Wie viel zahlst du?

Schritt 1: Ausgangswert $G = 175 \, \text{CHF}$

Schritt 2: Es handelt sich um eine Verminderung (Rabatt).

Schritt 3: Wachstumsfaktor berechnen:

$$q = 1 - \frac{12}{100} = 0{,}88$$

Schritt 4: Endpreis berechnen:

$$\text{Endpreis} = 175 \, \text{CHF} \cdot 0{,}88 = 154 \, \text{CHF}$$

Antwort: Du zahlst 154 CHF.

Zusatzfrage: Wie viel hast du gespart?

$$\text{Ersparnis} = 175 \, \text{CHF} - 154 \, \text{CHF} = 21 \, \text{CHF}$$

Beispiel 3: Mehrere aufeinanderfolgende Änderungen

Beispiel 3: Mehrere aufeinanderfolgende Änderungen

Ein Fahrrad kostet ursprünglich 500 CHF. Zuerst wird der Preis um 10 % erhöht. Einen Monat später gibt es eine Rabattaktion mit 10 % Nachlass auf den aktuellen Preis. Wie viel kostet das Fahrrad am Ende?

Schritt 1: Ausgangswert $G = 500 \, \text{CHF}$

Schritt 2: Zwei Änderungen nacheinander – erst Erhöhung, dann Verminderung.

Schritt 3: Wachstumsfaktoren berechnen:

Für die Erhöhung:

$$q_1 = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}10$$

Für die Verminderung:

$$q_2 = 1 - \frac{10}{100} = 0{,}90$$

Schritt 4: Beide Änderungen anwenden:

Preis nach der Erhöhung:

$$500 \, \text{CHF} \cdot 1{,}10 = 550 \, \text{CHF}$$

Preis nach dem Rabatt:

$$550 \, \text{CHF} \cdot 0{,}90 = 495 \, \text{CHF}$$

Oder in einer Rechnung mit dem Gesamtfaktor:

$$q_{\text{gesamt}} = q_1 \cdot q_2 = 1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99$$$$\text{Endpreis} = 500 \, \text{CHF} \cdot 0{,}99 = 495 \, \text{CHF}$$

Antwort: Das Fahrrad kostet am Ende 495 CHF. Das sind 5 CHF weniger als der ursprüngliche Preis – obwohl die Prozentsätze gleich waren!

Das Wichtigste in Kürze

• Eine prozentuale Änderung beschreibt, wie sich ein Wert relativ zu seinem Ausgangswert verändert.
• Der Wachstumsfaktor $q$ ermöglicht die Berechnung in einem Schritt: $\text{Neuer Wert} = \text{Ausgangswert} \cdot q$.
• Bei einer Erhöhung um $p \, \%$ gilt: $q = 1 + \frac{p}{100}$
• Bei einer Verminderung um $p \, \%$ gilt: $q = 1 - \frac{p}{100}$
• Aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen kannst du nicht einfach addieren. Multipliziere stattdessen die einzelnen Wachstumsfaktoren.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Laptop kostet 1200 CHF. Er wird um 25 % reduziert. Wie viel kostet er jetzt?

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Lösung:

Wachstumsfaktor: $q = 1 - \frac{25}{100} = 0{,}75$

Neuer Preis: $1200 \, \text{CHF} \cdot 0{,}75 = 900 \, \text{CHF}$

Der Laptop kostet jetzt 900 CHF.

❓ Frage: Ein Produkt wird zuerst um 50 % erhöht und dann um 50 % reduziert. Ist der Endpreis gleich dem Ausgangspreis, höher oder niedriger?

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Lösung:

Der Endpreis ist niedriger als der Ausgangspreis.

Wachstumsfaktor Erhöhung: $q_1 = 1{,}50$

Wachstumsfaktor Verminderung: $q_2 = 0{,}50$

Gesamtfaktor: $q = 1{,}50 \cdot 0{,}50 = 0{,}75$

Das bedeutet: Der Endpreis beträgt nur 75 % des Ausgangspreises. Du verlierst 25 %!

Beispiel: Bei 100 CHF Ausgangspreis ergibt sich: $100 \cdot 1{,}50 = 150$, dann $150 \cdot 0{,}50 = 75$ CHF.

❓ Frage: Der Preis eines Produkts steigt von 80 CHF auf 100 CHF. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

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Lösung:

Die Änderung beträgt: $100 \, \text{CHF} - 80 \, \text{CHF} = 20 \, \text{CHF}$

Die prozentuale Änderung bezieht sich auf den Ausgangswert:

$$\text{Prozentuale Änderung} = \frac{\text{Änderung}}{\text{Ausgangswert}} \cdot 100 \, \%$$$$= \frac{20}{80} \cdot 100 \, \% = 25 \, \%$$

Der Preis ist um 25 % gestiegen.

Achtung: Nicht um 20 % – das wäre der häufige Fehler, die Änderung auf den Endwert zu beziehen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug für einzelne und aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen. Im nächsten Schritt lernst du die Zinsrechnung kennen. Dabei geht es um eine besondere Form der prozentualen Änderung: Wenn du Geld auf ein Sparkonto legst, wächst es jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz – den Zinssatz.

Das Spannende: Der Wachstumsfaktor, den du gerade gelernt hast, ist genau das Werkzeug, das du für Zinsberechnungen brauchst. Mit dem sogenannten Zinseszins erlebst du, wie mehrere aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen über Jahre hinweg wirken können. Die Formel dafür baut direkt auf dem auf, was du heute gelernt hast.