Grundwert berechnen: So findest du das Ganze aus dem Prozentanteil

Stell dir vor, dein Freund erzählt dir stolz: „Ich habe bei meinem neuen Handy 45 Franken gespart – das waren 15 % Rabatt!” Du fragst dich: Wie teuer war das Handy eigentlich ursprünglich? Oder ein anderes Beispiel: In deiner Klasse haben 12 Schüler eine Eins in der Matheprüfung geschrieben. Die Lehrerin sagt, das seien 40 % der Klasse gewesen. Wie viele Schüler sind insgesamt in deiner Klasse?

In beiden Fällen kennst du einen Teil (den Rabatt oder die Anzahl der Einser-Schüler) und den Prozentsatz. Du suchst aber das Ganze – also die ursprüngliche Summe oder die gesamte Klasse. Dieses „Ganze” nennt man in der Mathematik den Grundwert. Er ist eine der wichtigsten Grössen in der Prozentrechnung. Du wirst lernen, wie du ihn mit einer einfachen Formel berechnest.

Was bedeutet Grundwert in der Prozentrechnung?

Bevor du den Grundwert berechnen kannst, musst du die drei Hauptgrössen der Prozentrechnung verstehen. Sie hängen eng zusammen:

Der Grundwert $G$ ist das Ganze, also 100 %. Er ist die Ausgangsgrösse, von der du einen bestimmten Anteil berechnest. Im Handy-Beispiel ist der Grundwert der ursprüngliche Preis vor dem Rabatt.

Der Prozentwert $W$ ist der Anteil vom Grundwert in absoluten Zahlen. Im Beispiel sind das die 45 Franken Ersparnis.

Der Prozentsatz $p$ gibt an, wie viel Prozent der Prozentwert vom Grundwert ausmacht. Im Beispiel sind das die 15 %.

Diese drei Grössen stehen in einem festen Verhältnis zueinander. Wenn du zwei davon kennst, kannst du die dritte berechnen.

Die Formel für den Grundwert

Die zentrale Beziehung der Prozentrechnung lautet:

$$W = G \cdot \frac{p}{100}$$

Diese Formel sagt: Der Prozentwert $W$ ergibt sich, wenn du den Grundwert $G$ mit dem Prozentsatz $p$ (geteilt durch 100) multiplizierst.

Wenn du nun den Grundwert suchst, musst du diese Formel umstellen. Du teilst beide Seiten durch $\frac{p}{100}$:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$

DEFINITION

Der Grundwert $G$ berechnet sich aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p$ mit der Formel:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$

Dabei gilt:

• $G$ = Grundwert (das Ganze, also 100 %)
• $W$ = Prozentwert (der bekannte Anteil in absoluten Zahlen)
• $p$ = Prozentsatz (der bekannte Anteil in Prozent)

Merke dir: Du multiplizierst den Prozentwert mit 100 und teilst durch den Prozentsatz.

So wendest du die Formel Schritt für Schritt an

Die Berechnung des Grundwerts folgt immer dem gleichen Schema. Halte dich an diese drei Schritte:

Schritt 1: Identifiziere die gegebenen Grössen. Lies die Aufgabe genau. Welche Zahl ist der Prozentwert $W$? Welche Zahl ist der Prozentsatz $p$? Der Prozentsatz erkennst du am %-Zeichen.

Schritt 2: Setze in die Formel ein. Schreibe die Grundwert-Formel auf und setze deine Werte ein.

Schritt 3: Rechne aus und prüfe das Ergebnis. Führe die Rechnung durch. Prüfe am Ende: Ist der Grundwert grösser als der Prozentwert? Das muss so sein, denn der Grundwert ist ja das Ganze.

Häufige Fehler bei der Grundwert-Berechnung

1. Grundwert und Prozentwert verwechselt: Der Grundwert ist immer das Ganze (100 %). Der Prozentwert ist der Anteil davon. Frage dich: „Was ist das Ganze, das ich suche?”

2. Multiplikation statt Division (oder umgekehrt): Viele Schüler multiplizieren $W$ mit $p$ statt zu dividieren. Merke: Wenn du das Ganze aus einem Teil berechnest, wird das Ergebnis grösser – du musst also dividieren.

3. Die 100 vergessen: Der Prozentsatz muss immer durch 100 geteilt werden (oder äquivalent: der Prozentwert mit 100 multipliziert). Sonst ist dein Ergebnis um den Faktor 100 falsch.

4. Einheiten nicht beachtet: Der Grundwert hat dieselbe Einheit wie der Prozentwert. Wenn $W$ in Franken angegeben ist, ist auch $G$ in Franken.

3 Beispiele für die Grundwert-Berechnung

Beispiel 1: Der Handy-Rabatt

Beispiel 1: Der Handy-Rabatt

Aufgabe: Beim Kauf eines Handys sparst du 45 CHF. Das entspricht einem Rabatt von 15 %. Wie teuer war das Handy ursprünglich?

Schritt 1: Gegeben

• Prozentwert $W = 45 \, \text{CHF}$ (die Ersparnis)
• Prozentsatz $p = 15$ (der Rabatt in Prozent)
• Gesucht: Grundwert $G$ (der Originalpreis)

Schritt 2: Formel anwenden

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$$$G = \frac{45 \cdot 100}{15}$$

Schritt 3: Ausrechnen

$$G = \frac{4500}{15} = 300$$

Antwort: Das Handy kostete ursprünglich 300 CHF.

Probe: 15 % von 300 CHF = $300 \cdot 0{,}15 = 45$ CHF ✓

Beispiel 2: Klassenergebnis bei der Prüfung

Beispiel 2: Klassenergebnis bei der Prüfung

Aufgabe: In einer Matheprüfung haben 18 Schüler bestanden. Die Lehrerin sagt, dass 72 % der Klasse bestanden haben. Wie viele Schüler sind in der Klasse?

Schritt 1: Gegeben

• Prozentwert $W = 18$ (Anzahl der Schüler, die bestanden haben)
• Prozentsatz $p = 72$
• Gesucht: Grundwert $G$ (Gesamtzahl der Schüler)

Schritt 2: Formel anwenden

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$$$G = \frac{18 \cdot 100}{72}$$

Schritt 3: Ausrechnen

$$G = \frac{1800}{72} = 25$$

Antwort: Die Klasse hat 25 Schüler.

Probe: 72 % von 25 = $25 \cdot 0{,}72 = 18$ ✓

Beachte: Bei Personenanzahlen muss das Ergebnis eine ganze Zahl sein. Wenn du eine Kommazahl erhältst, prüfe deine Rechnung.

Beispiel 3: Gehaltserhöhung

Beispiel 3: Gehaltserhöhung

Aufgabe: Marias Mutter erzählt, dass sie eine Gehaltserhöhung von 180 CHF pro Monat bekommen hat. Das entspricht einer Erhöhung von 4,5 %. Wie hoch war ihr Gehalt vor der Erhöhung?

Schritt 1: Gegeben

• Prozentwert $W = 180 \, \text{CHF}$ (die Erhöhung)
• Prozentsatz $p = 4{,}5$
• Gesucht: Grundwert $G$ (das ursprüngliche Gehalt)

Schritt 2: Formel anwenden

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$$$G = \frac{180 \cdot 100}{4{,}5}$$

Schritt 3: Ausrechnen

$$G = \frac{18000}{4{,}5} = 4000$$

Antwort: Das ursprüngliche Gehalt betrug 4000 CHF pro Monat.

Probe: 4,5 % von 4000 CHF = $4000 \cdot 0{,}045 = 180$ CHF ✓

Dieses Beispiel zeigt: Die Formel funktioniert auch mit Dezimalzahlen beim Prozentsatz.

Alternative Rechenwege

Neben der Formel gibt es zwei weitere Methoden, den Grundwert zu berechnen. Beide führen zum gleichen Ergebnis.

Der Dreisatz

Der Dreisatz ist besonders anschaulich. Du rechnest zuerst auf 1 % herunter, dann auf 100 % hoch.

Beispiel: 45 CHF entsprechen 15 %. Wie viel sind 100 %?

Prozent	Wert in CHF
15 %	45
1 %	$45 : 15 = 3$
100 %	$3 \cdot 100 = 300$

Der Proportionalitätsfaktor

Du kannst auch direkt mit dem Faktor rechnen. Wenn 15 % einem bestimmten Wert entsprechen, dann musst du diesen Wert mit $\frac{100}{15}$ multiplizieren, um auf 100 % zu kommen:

$$G = 45 \cdot \frac{100}{15} = 300 \, \text{CHF}$$

Alle drei Methoden sind mathematisch äquivalent. Wähle die Methode, die dir am besten liegt.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Grundwert $G$ ist das Ganze, also 100 %. Er ist die Ausgangsgrösse in der Prozentrechnung.

• Die Formel zur Berechnung des Grundwerts lautet: $G = \frac{W \cdot 100}{p}$

• Der Grundwert ist immer grösser als der Prozentwert (ausser bei Prozentsätzen über 100 %).

• Prüfe dein Ergebnis mit einer Probe: Berechne den Prozentwert aus deinem Grundwert und vergleiche mit der Angabe.

• Der Dreisatz ist eine anschauliche Alternative zur Formel.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Pullover ist um 20 % reduziert. Du sparst 16 CHF. Wie viel hat der Pullover ursprünglich gekostet?

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Lösung:

Gegeben: $W = 16 \, \text{CHF}$, $p = 20$

$$G = \frac{16 \cdot 100}{20} = \frac{1600}{20} = 80 \, \text{CHF}$$

Der Pullover kostete ursprünglich 80 CHF.

❓ Frage: In einer Umfrage gaben 36 Personen an, Fussball zu mögen. Das sind 45 % der Befragten. Wenn sich die Anzahl der Fussballfans verdoppelt (also 90 % statt 45 %), wie ändert sich dann der Grundwert?

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Lösung:

Der Grundwert ändert sich nicht! Der Grundwert ist die Gesamtzahl der Befragten – diese bleibt gleich, egal wie viele davon Fussball mögen.

Die Berechnung des Grundwerts ergibt:

$$G = \frac{36 \cdot 100}{45} = 80 \, \text{Personen}$$

Wenn 90 % Fussball mögen würden, wären das $80 \cdot 0{,}9 = 72$ Personen – aber der Grundwert (80 Befragte) bleibt derselbe.

❓ Frage: Tim rechnet: „24 sind 30 %, also ist der Grundwert $24 \cdot 30 = 720$.” Was hat er falsch gemacht?

Lösung anzeigen

Lösung:

Tim hat multipliziert statt dividiert und die 100 vergessen.

Der korrekte Rechenweg ist:

$$G = \frac{24 \cdot 100}{30} = \frac{2400}{30} = 80$$

Tims Fehler: Er hat den Prozentwert mit dem Prozentsatz multipliziert. Aber wenn 24 nur 30 % vom Ganzen sind, muss das Ganze grösser als 24 sein – nicht etwa 720.

Merke: Bei der Grundwert-Berechnung wird der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt (und mit 100 multipliziert).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt die Berechnung des Grundwerts. Damit hast du eine der drei Grundaufgaben der Prozentrechnung gemeistert. Als Nächstes wirst du lernen, den Prozentsatz zu berechnen – also herauszufinden, wie viel Prozent ein bestimmter Anteil vom Ganzen ausmacht.

Danach folgt die Zinsrechnung. Sie baut direkt auf der Prozentrechnung auf. Das Kapital entspricht dem Grundwert, die Zinsen dem Prozentwert und der Zinssatz dem Prozentsatz. Mit deinem jetzigen Wissen wirst du die Zinsformeln schnell verstehen.