Anteile und Prozente verstehen: So rechnest du sicher mit Prozent

Stell dir vor, du gehst mit deiner Klasse ins Kino. Von den 25 Schülern wählen 15 einen Actionfilm und 10 eine Komödie. Dein Lehrer fragt: “Wie viele Schüler haben sich prozentual für den Actionfilm entschieden?” Du weisst, dass es mehr als die Hälfte sind – aber wie drückst du das in Prozent aus?

Prozentangaben begegnen dir überall: beim Rabatt im Laden, bei Testergebnissen in der Schule oder bei den Akkuladeständen deines Handys. Sie helfen uns, Anteile zu vergleichen und auf einen Blick zu verstehen. In diesem Artikel lernst du, was Prozent wirklich bedeutet, wie du zwischen Anteilen und Prozenten umrechnest und wie du die drei wichtigsten Grössen der Prozentrechnung sicher berechnest.

Was bedeutet “Prozent” eigentlich?

Das Wort “Prozent” kommt aus dem Lateinischen. “Pro centum” heisst übersetzt “von Hundert”. Wenn du also sagst, dass 60 % der Klasse den Actionfilm gewählt haben, meinst du: Von je 100 Schülern hätten 60 den Actionfilm gewählt.

Das Praktische an Prozentangaben: Sie machen Anteile vergleichbar. Ob eine Klasse 25 oder 30 Schüler hat – 60 % bedeutet immer denselben Anteil am Ganzen.

Vom Anteil zum Prozentsatz

Ein Anteil beschreibt, wie gross ein Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. Du kannst ihn als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben.

Im Kino-Beispiel haben 15 von 25 Schülern den Actionfilm gewählt. Als Bruch geschrieben:

$$\text{Anteil} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$

Um diesen Bruch in Prozent umzurechnen, erweiterst du ihn auf den Nenner 100:

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{60}{100} = 60 \, \%$$

Der schnellere Weg führt über die Dezimalzahl. Du teilst den Zähler durch den Nenner und multiplizierst mit 100:

$$\frac{15}{25} = 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad 0{,}6 \cdot 100 = 60 \, \%$$

DEFINITION

Der Prozentsatz $p \, \%$ gibt an, wie viele Hundertstel ein Teil vom Ganzen ausmacht. Du berechnest ihn, indem du den Anteil mit 100 multiplizierst:

$$p \, \% = \text{Anteil} \cdot 100 = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}} \cdot 100$$

Dabei ist der Anteil eine Zahl zwischen 0 und 1 (als Dezimalzahl) oder ein Bruch. Der Prozentsatz $p$ ist die Zahl vor dem Prozentzeichen.

Die drei Grundgrössen der Prozentrechnung

Bei jeder Prozentaufgabe arbeitest du mit drei Grössen. Zwei davon sind gegeben, die dritte suchst du.

Der Grundwert $G$ ist das Ganze, also 100 %. Im Kino-Beispiel ist der Grundwert die gesamte Klasse mit 25 Schülern.

Der Prozentwert $W$ ist der Teil des Ganzen. Das sind die 15 Schüler, die den Actionfilm gewählt haben.

Der Prozentsatz $p$ gibt an, wie viel Prozent der Prozentwert vom Grundwert ausmacht. In unserem Fall sind das 60 %.

Diese drei Grössen hängen durch eine einfache Formel zusammen:

$$W = G \cdot \frac{p}{100}$$

Aus dieser Grundformel lassen sich die anderen beiden ableiten:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 \qquad \text{und} \qquad G = \frac{W \cdot 100}{p}$$

So erkennst du die gesuchte Grösse

Lies die Aufgabe genau. Das Wort “von” steht meist beim Grundwert. Die Prozentzahl erkennst du am %-Zeichen. Der Prozentwert ist die konkrete Menge, die du berechnest oder die gegeben ist.

Häufige Fehler bei der Prozentrechnung:

1. Grundwert und Prozentwert verwechseln: Der Grundwert ist immer das Ganze (100 %). Frage dich: “Wovon wird der Prozentsatz berechnet?”

2. Division statt Multiplikation: Wenn du den Prozentwert suchst, multiplizierst du. Wenn du den Grundwert suchst, dividierst du.

3. Prozentsatz falsch einsetzen: 60 % bedeutet $\frac{60}{100} = 0{,}6$. Vergiss nicht, durch 100 zu teilen, bevor du multiplizierst.

4. Einheiten vergessen: Dein Ergebnis hat dieselbe Einheit wie der Grundwert (CHF, kg, Personen, …).

3 Beispiele zur Prozentrechnung

Beispiel 1: Prozentwert berechnen – Der Rabatt

Beispiel 1: Prozentwert berechnen – Der Rabatt

Eine Jacke kostet regulär 120 CHF. Sie ist um 25 % reduziert. Wie viel sparst du?

Gegeben:

• Grundwert $G = 120 \, \text{CHF}$
• Prozentsatz $p = 25 \, \%$

Gesucht: Prozentwert $W$ (der Rabattbetrag)

Rechnung:

$$W = G \cdot \frac{p}{100} = 120 \cdot \frac{25}{100} = 120 \cdot 0{,}25 = 30 \, \text{CHF}$$

Antwort: Du sparst 30 CHF. Die Jacke kostet also $120 - 30 = 90$ CHF.

Beispiel 2: Prozentsatz berechnen – Die Klassenarbeit

Beispiel 2: Prozentsatz berechnen – Die Klassenarbeit

Bei einer Mathearbeit erreicht Lena 72 von 80 möglichen Punkten. Wie viel Prozent hat sie erreicht?

Gegeben:

• Grundwert $G = 80 \, \text{Punkte}$ (maximale Punktzahl)
• Prozentwert $W = 72 \, \text{Punkte}$ (erreichte Punktzahl)

Gesucht: Prozentsatz $p$

Rechnung:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 = \frac{72}{80} \cdot 100 = 0{,}9 \cdot 100 = 90 \, \%$$

Antwort: Lena hat 90 % der Punkte erreicht.

Beispiel 3: Grundwert berechnen – Das Sonderangebot

Beispiel 3: Grundwert berechnen – Das Sonderangebot

Im Ausverkauf kostet ein Smartphone nur noch 450 CHF. Das entspricht 75 % des ursprünglichen Preises. Was hat das Smartphone vorher gekostet?

Gegeben:

• Prozentwert $W = 450 \, \text{CHF}$ (reduzierter Preis)
• Prozentsatz $p = 75 \, \%$

Gesucht: Grundwert $G$ (ursprünglicher Preis)

Rechnung:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p} = \frac{450 \cdot 100}{75} = \frac{45000}{75} = 600 \, \text{CHF}$$

Antwort: Das Smartphone kostete ursprünglich 600 CHF.

Kontrolle: $600 \cdot 0{,}75 = 450$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

• Prozent bedeutet “von Hundert”: 1 % entspricht einem Hundertstel, also $\frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Drei Grundgrössen: Grundwert $G$ (das Ganze), Prozentwert $W$ (der Teil) und Prozentsatz $p$ (der Anteil in Prozent).
• Die Grundformel: $W = G \cdot \frac{p}{100}$. Daraus leitest du die Formeln für $p$ und $G$ ab.
• Vom Anteil zum Prozentsatz: Multipliziere den Bruch oder die Dezimalzahl mit 100.
• Kontrolle: Setze dein Ergebnis in die Grundformel ein. Stimmt die Gleichung?

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Ein Fahrrad kostet 480 CHF. Du bekommst 15 % Rabatt. Wie viel musst du bezahlen?

Lösung anzeigen

Rabattbetrag: $W = 480 \cdot \frac{15}{100} = 480 \cdot 0{,}15 = 72 \, \text{CHF}$

Endpreis: $480 - 72 = 408 \, \text{CHF}$

❓ Frage: Der Grundwert verdoppelt sich, der Prozentsatz bleibt gleich. Was passiert mit dem Prozentwert?

Lösung anzeigen

Der Prozentwert verdoppelt sich ebenfalls.

Begründung: $W = G \cdot \frac{p}{100}$. Wenn $G$ doppelt so gross wird und $p$ gleich bleibt, wird auch $W$ doppelt so gross.

❓ Frage: Marco sagt: “Ich habe 120 % der Punkte erreicht.” Ist das möglich?

Lösung anzeigen

Ja, das ist möglich – aber nur unter bestimmten Bedingungen.

120 % wären mehr als das Ganze (100 %). Das geht nur, wenn es Bonuspunkte gibt oder sich der Grundwert geändert hat.

Achtung: Bei klassischen Aufgaben ohne Bonus kann der Prozentsatz nicht über 100 % liegen. Wenn du ein solches Ergebnis erhältst, hast du vermutlich Grundwert und Prozentwert vertauscht.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Jetzt kannst du mit Anteilen und Prozenten rechnen. Im nächsten Schritt lernst du die Zinsrechnung kennen. Dabei berechnest du, wie viel Geld du auf einem Sparkonto nach einer bestimmten Zeit erhältst – oder wie viel ein Kredit wirklich kostet.

Die Zinsrechnung ist eine direkte Anwendung der Prozentrechnung: Der Zinssatz ist ein Prozentsatz, das Kapital ist der Grundwert und die Zinsen sind der Prozentwert. Mit deinem heutigen Wissen bist du bestens darauf vorbereitet.