Normalparabel strecken und spiegeln: So veränderst du quadratische Funktionen

Stell dir vor, du fotografierst einen Springbrunnen. Der Wasserstrahl zeichnet einen eleganten Bogen in die Luft – eine Parabel. Jetzt zoomst du mit deiner Kamera: Der Bogen wird breiter oder schmaler, je nachdem wie du zoomst. Und wenn du das Foto auf den Kopf drehst? Dann zeigt der Bogen plötzlich nach unten statt nach oben.

Genau das kannst du auch mit mathematischen Parabeln machen. Mit einem einzigen Faktor – dem Parameter $a$ – veränderst du die Form und Ausrichtung jeder quadratischen Funktion. Dieser Faktor ist wie ein Regler, mit dem du die Parabel nach Belieben anpassen kannst.

Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel

Du kennst bereits die Normalparabel mit der Gleichung $f(x) = x^2$. Sie ist symmetrisch, öffnet sich nach oben und hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung. Aber was passiert, wenn wir diese Grundform verändern wollen?

Hier kommt der Parameter $a$ ins Spiel. Die erweiterte Form lautet:

$f(x) = a \cdot x^2$

Der Faktor $a$ steht vor dem $x^2$ und beeinflusst das Aussehen der Parabel entscheidend. Je nachdem, welchen Wert $a$ hat, passieren unterschiedliche Dinge mit deiner Parabel.

Schauen wir uns zunächst an, was bei verschiedenen Werten von $a$ passiert:

Wert von $a$	Wirkung auf die Parabel
$a = 1$	Normalparabel (keine Veränderung)
$a > 1$	Parabel wird schmaler (gestreckt)
$0 < a < 1$	Parabel wird breiter (gestaucht)
$a < 0$	Parabel wird an der $x$-Achse gespiegelt

Strecken und Stauchen – Der Betrag von a entscheidet

Wenn du den Betrag von $a$ veränderst, beeinflusst du die “Öffnungsweite” der Parabel. Das funktioniert so:

1. Berechne für jeden $x$-Wert den ursprünglichen $y$-Wert: $y = x^2$
2. Multipliziere diesen $y$-Wert mit $a$: $y_{\text{neu}} = a \cdot x^2$
3. Der neue Punkt liegt höher oder tiefer als der ursprüngliche

DEFINITION

Bei der Funktion $f(x) = a \cdot x^2$ bestimmt der Betrag $|a|$ die Form der Parabel:

• Ist $|a| > 1$, wird die Parabel in $y$-Richtung gestreckt. Sie erscheint schmaler.
• Ist $|a| < 1$, wird die Parabel in $y$-Richtung gestaucht. Sie erscheint breiter.

Der Scheitelpunkt bleibt dabei immer im Ursprung $(0|0)$.

Warum erscheint eine gestreckte Parabel schmaler? Denk an das Springbrunnen-Beispiel: Wenn das Wasser mit mehr Druck nach oben schiesst, steigt es steiler an. Die Kurve wird enger. Mathematisch bedeutet das: Die $y$-Werte wachsen schneller, wenn $|a|$ grösser wird.

Vergleichen wir konkrete Funktionen:

• Bei $f(x) = x^2$ gilt: $f(2) = 4$
• Bei $g(x) = 2x^2$ gilt: $g(2) = 8$
• Bei $h(x) = 0.5x^2$ gilt: $h(2) = 2$

Am gleichen $x$-Wert liefert $g$ einen doppelt so hohen $y$-Wert wie $f$. Die Parabel steigt also steiler an und wirkt schmaler.

Spiegeln an der x-Achse – Das Vorzeichen von a

Was passiert, wenn $a$ negativ ist? Dann wird jeder $y$-Wert mit einer negativen Zahl multipliziert. Positive $y$-Werte werden negativ und umgekehrt.

Das Ergebnis: Die Parabel wird an der $x$-Achse gespiegelt. Statt nach oben öffnet sie sich nun nach unten.

DEFINITION

Bei der Funktion $f(x) = a \cdot x^2$ bestimmt das Vorzeichen von $a$ die Öffnungsrichtung:

• Ist $a > 0$, öffnet sich die Parabel nach oben. Der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt.
• Ist $a < 0$, öffnet sich die Parabel nach unten. Der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt.

Die Funktion $f(x) = -x^2$ ist die an der $x$-Achse gespiegelte Normalparabel. Für $x = 2$ ergibt sich $f(2) = -4$ statt $+4$.

Natürlich kannst du Strecken/Stauchen und Spiegeln kombinieren:

• $f(x) = -2x^2$: gespiegelt und gestreckt (schmale, nach unten geöffnete Parabel)
• $g(x) = -0.25x^2$: gespiegelt und gestaucht (breite, nach unten geöffnete Parabel)

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Verwechslung von “schmaler” und “breiter”

Viele Schüler denken: “Grösseres $a$ bedeutet breitere Parabel.” Das Gegenteil ist richtig! Ein grösserer Betrag von $a$ streckt die Parabel in $y$-Richtung, wodurch sie schmaler erscheint.

Merkhilfe: Grosses $|a|$ = grosse $y$-Werte = steiler Anstieg = schmaler.

Fehler 2: Das Vorzeichen beim Spiegeln vergessen

Beim Ablesen des Parameters $a$ aus einer Gleichung wie $f(x) = -3x^2$ übersehen manche das Minuszeichen. Hier ist $a = -3$, nicht $a = 3$. Die Parabel öffnet sich nach unten.

Tipp: Lies immer das komplette Vorzeichen mit. Schreibe $a = -3$ explizit auf.

Fehler 3: Strecken mit Verschieben verwechseln

Strecken und Stauchen verändert nur die Form der Parabel. Der Scheitelpunkt bleibt bei $f(x) = a \cdot x^2$ immer im Ursprung. Verschiebungen entstehen erst durch zusätzliche Terme wie $f(x) = x^2 + 2$.

Beispiele

Beispiel 1: Eine Parabel strecken

Aufgabe: Zeichne die Funktion $f(x) = 3x^2$ und vergleiche sie mit der Normalparabel.

Lösung:

Wir erstellen eine Wertetabelle für beide Funktionen:

$x$	$x^2$	$3x^2$
$-2$	$4$	$12$
$-1$	$1$	$3$
$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$3$
$2$	$4$	$12$

Beobachtung: Bei $f(x) = 3x^2$ sind alle $y$-Werte dreimal so gross wie bei der Normalparabel. Die Parabel steigt dreimal so steil an.

Ergebnis: Da $a = 3 > 1$, ist die Parabel gestreckt und erscheint schmaler als die Normalparabel. Sie öffnet sich nach oben, weil $a > 0$.

Beispiel 2: Eine Parabel stauchen

Aufgabe: Beschreibe die Parabel $g(x) = 0.25x^2$ im Vergleich zur Normalparabel.

Lösung:

Hier ist $a = 0.25 = \frac{1}{4}$.

Wertetabelle:

$x$	$x^2$	$0.25x^2$
$-4$	$16$	$4$
$-2$	$4$	$1$
$0$	$0$	$0$
$2$	$4$	$1$
$4$	$16$	$4$

Beobachtung: Die $y$-Werte von $g$ sind nur ein Viertel so gross wie bei der Normalparabel.

Ergebnis: Da $0 < a < 1$, ist die Parabel gestaucht und erscheint breiter. Sie öffnet sich nach oben, weil $a > 0$.

Bei $x = 4$ erreicht die Normalparabel den Wert $16$, während $g$ erst bei $4$ liegt. Die gestauchte Parabel “kriecht” also flacher entlang.

Beispiel 3: Eine Parabel spiegeln und strecken

Aufgabe: Gegeben ist $h(x) = -2x^2$. Beschreibe die Lage und Form der Parabel.

Lösung:

Wir analysieren den Parameter $a = -2$:

1. Vorzeichen: $a < 0$ → Die Parabel öffnet sich nach unten (gespiegelt an der $x$-Achse).
2. Betrag: $|a| = 2 > 1$ → Die Parabel ist gestreckt, erscheint also schmaler.

Wertetabelle:

$x$	$-2x^2$
$-2$	$-8$
$-1$	$-2$
$0$	$0$
$1$	$-2$
$2$	$-8$

Ergebnis: Die Parabel $h(x) = -2x^2$ ist eine schmale, nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Der Scheitelpunkt $(0|0)$ ist hier ein Hochpunkt, weil die Parabel nach unten zeigt.

Beispiel 4: Den Parameter a aus einem Graphen ablesen

Aufgabe: Eine Parabel verläuft durch den Punkt $P(3|18)$ und hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung. Bestimme die Funktionsgleichung.

Lösung:

Da der Scheitelpunkt im Ursprung liegt, hat die Funktion die Form $f(x) = a \cdot x^2$.

Wir setzen den Punkt $P(3|18)$ ein:

$18 = a \cdot 3^2$

$18 = a \cdot 9$

$a = \frac{18}{9}$

$a = 2$

Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x^2$.

Probe: $f(3) = 2 \cdot 9 = 18$ ✓

Beispiel 5: Gespiegelte Parabel mit gegebenem Punkt

Aufgabe: Eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung verläuft durch $Q(2|-6)$. Bestimme $a$ und beschreibe die Parabel.

Lösung:

Ansatz: $f(x) = a \cdot x^2$

Einsetzen von $Q(2|-6)$:

$-6 = a \cdot 2^2$

$-6 = a \cdot 4$

$a = \frac{-6}{4}$

$a = -1.5$

Analyse des Parameters:

• Vorzeichen: $a = -1.5 < 0$ → Parabel öffnet sich nach unten ✓ (passt zur Aufgabe)
• Betrag: $|a| = 1.5 > 1$ → Parabel ist gestreckt, also schmaler als die Normalparabel

Ergebnis: $f(x) = -1.5x^2$. Die Parabel ist gespiegelt und leicht gestreckt.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Parameter $a$ in $f(x) = a \cdot x^2$ bestimmt Form und Öffnungsrichtung der Parabel.
• Betrag $|a| > 1$: Die Parabel wird gestreckt und erscheint schmaler.
• Betrag $|a| < 1$: Die Parabel wird gestaucht und erscheint breiter.
• Vorzeichen $a > 0$: Die Parabel öffnet sich nach oben (Scheitelpunkt = Tiefpunkt).
• Vorzeichen $a < 0$: Die Parabel öffnet sich nach unten (Scheitelpunkt = Hochpunkt).
• Der Scheitelpunkt bei $f(x) = a \cdot x^2$ liegt immer im Ursprung $(0|0)$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = 4x^2$ beschreibt eine Parabel. Ist diese Parabel schmaler oder breiter als die Normalparabel?

Lösung anzeigen

Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.

Begründung: Der Parameter $a = 4$ hat einen Betrag grösser als 1. Die Parabel wird in $y$-Richtung gestreckt, wodurch sie schmaler erscheint.

❓ Frage: Welche Aussage trifft auf die Funktion $g(x) = -0.5x^2$ zu?

A) Die Parabel öffnet sich nach oben und ist gestreckt.
B) Die Parabel öffnet sich nach unten und ist gestaucht.
C) Die Parabel öffnet sich nach oben und ist gestaucht.
D) Die Parabel öffnet sich nach unten und ist gestreckt.

Lösung anzeigen

Die richtige Antwort ist B: Die Parabel öffnet sich nach unten und ist gestaucht.

Begründung:

• $a = -0.5 < 0$ → Die Parabel ist an der $x$-Achse gespiegelt, öffnet sich also nach unten.
• $|a| = 0.5 < 1$ → Die Parabel ist gestaucht und erscheint breiter als die Normalparabel.

❓ Frage: Eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung verläuft durch den Punkt $(4|-32)$. Bestimme den Parameter $a$.

Lösung anzeigen

Lösung:

Ansatz: $f(x) = a \cdot x^2$

Einsetzen von $(4|-32)$:

$-32 = a \cdot 4^2$

$-32 = a \cdot 16$

$a = \frac{-32}{16}$

$a = -2$

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = -2x^2$. Die Parabel ist gespiegelt (öffnet sich nach unten) und gestreckt (schmaler als die Normalparabel).

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, wie der Parameter $a$ die Form und Öffnungsrichtung einer Parabel beeinflusst. Aber der Scheitelpunkt lag bisher immer im Ursprung. Das ändert sich im nächsten Schritt: Du wirst lernen, wie du Parabeln entlang der $x$- und $y$-Achse verschieben kannst.

Dazu kommen neue Parameter in die Funktionsgleichung. Die allgemeine Scheitelpunktform $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ermöglicht dir, jede beliebige Parabel zu beschreiben – gestreckt, gestaucht, gespiegelt und an jeden Punkt im Koordinatensystem verschoben. Mit diesem Wissen kannst du dann reale Wurfbahnen, Brückenbögen oder Satellitenschüsseln mathematisch modellieren.