Quadratwurzelfunktion einfach erklärt: Graphen, Eigenschaften und Beispiele

Darum geht's

Stell dir vor, du baust einen quadratischen Garten und kennst die Fläche – aber wie lang ist dann jede Seite? Wenn dein Garten $25 \, \text{m}^2$ gross ist, musst du herausfinden, welche Zahl mit sich selbst multipliziert $25$ ergibt. Die Antwort ist $5$, denn $5 \cdot 5 = 25$. Genau diesen Prozess – das Rückwärtsrechnen vom Quadrat zur Seitenlänge – beschreibt die Quadratwurzelfunktion. Sie ist sozusagen die “Umkehrung” des Quadrierens und eröffnet dir eine ganz neue Welt von Funktionen mit überraschenden Eigenschaften.

Vom Quadrat zurück zur Seitenlänge

Erinnere dich an die quadratische Funktion $f(x) = x^2$. Diese Funktion nimmt eine Zahl und quadriert sie. Wenn du $3$ einsetzt, erhältst du $9$. Wenn du $4$ einsetzt, erhältst du $16$.

Die Quadratwurzelfunktion macht genau das Gegenteil. Sie beantwortet die Frage: Welche positive Zahl ergibt quadriert diesen Wert?

Schauen wir uns das in einer Tabelle an:

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$\sqrt{x}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

Fällt dir etwas auf? Die Werte unter dem Wurzelzeichen sind Quadratzahlen. Und die Ergebnisse sind genau die Zahlen, die quadriert diese Werte ergeben.

Die Quadratwurzelfunktion und ihr Graph

Die Quadratwurzelfunktion schreibst du als:

$f(x) = \sqrt{x}$

Diese Schreibweise bedeutet: Für jeden $x$-Wert berechnest du die Quadratwurzel.

Schritt für Schritt zum Graphen

So zeichnest du den Graphen der Quadratwurzelfunktion:

1. Wertetabelle erstellen: Wähle mehrere $x$-Werte und berechne die zugehörigen $y$-Werte.
2. Punkte einzeichnen: Trage jeden Punkt $(x \mid y)$ ins Koordinatensystem ein.
3. Kurve verbinden: Verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve.

Hier ist eine ausführliche Wertetabelle:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$\sqrt{x}$	$0$	$1$	$\approx 1.41$	$\approx 1.73$	$2$	$\approx 2.24$	$\approx 2.45$	$\approx 2.65$	$\approx 2.83$	$3$

Der Graph beginnt im Ursprung $(0 \mid 0)$ und steigt nach rechts an. Er verläuft immer oberhalb der $x$-Achse und wird mit zunehmendem $x$ immer flacher.

Definition

Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ heisst Quadratwurzelfunktion. Sie ordnet jeder nicht-negativen Zahl $x$ ihre positive Quadratwurzel zu. Der Graph beginnt im Ursprung, steigt monoton und verläuft ausschliesslich im ersten Quadranten des Koordinatensystems.

Definitionsbereich und Wertebereich

Bei der Quadratwurzelfunktion darfst du nicht jede beliebige Zahl einsetzen. Warum? Weil du aus negativen Zahlen keine reelle Quadratwurzel ziehen kannst.

Versuche einmal, $\sqrt{-4}$ zu berechnen. Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt $-4$? Es gibt keine solche reelle Zahl. Denn jede positive Zahl mal sich selbst ergibt etwas Positives. Und jede negative Zahl mal sich selbst ergibt ebenfalls etwas Positives.

Deshalb gilt:

• Definitionsbereich: $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}$ oder kurz $D = [0; \infty)$
• Wertebereich: $W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}$ oder kurz $W = [0; \infty)$

Der Definitionsbereich sagt dir, welche $x$-Werte du einsetzen darfst. Der Wertebereich zeigt dir, welche $y$-Werte die Funktion annehmen kann.

Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion

Die Quadratwurzelfunktion hat einige besondere Eigenschaften, die du kennen solltest:

Startpunkt: Der Graph beginnt immer im Punkt $(0 \mid 0)$.

Monotonie: Die Funktion ist streng monoton steigend. Das bedeutet: Je grösser der $x$-Wert, desto grösser der $y$-Wert. Der Graph geht immer nach oben rechts.

Krümmung: Der Graph ist rechtsgekrümmt (nach unten gekrümmt). Er steigt am Anfang steil an und wird dann immer flacher.

Keine Symmetrie: Anders als die Parabel $f(x) = x^2$ ist der Wurzelgraph weder achsen- noch punktsymmetrisch.

Wachstum: Die Funktion wächst unbegrenzt, aber immer langsamer. Der Graph nähert sich keiner waagerechten Asymptote, sondern steigt für immer weiter an – nur eben sehr langsam.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Negative Zahlen unter der Wurzel Manche Schüler setzen negative Zahlen in $\sqrt{x}$ ein und wundern sich über das Ergebnis. Merke dir: Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Prüfe immer zuerst, ob dein $x$-Wert grösser oder gleich null ist.

Fehler 2: Verwechslung mit dem Quadrieren Die Wurzelfunktion ist nicht dasselbe wie das Quadrieren! Es gilt $\sqrt{x^2} = |x|$ und nicht einfach $x$. Bei negativen Zahlen ist das wichtig: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ und nicht $-3$.

Fehler 3: Falsches Vereinfachen Ein häufiger Irrtum: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Zum Beispiel ist $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Die Wurzel aus einer Summe kannst du nicht einfach aufspalten.

Beispiele

Beispiel 1: Funktionswerte berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$. Berechne $f(0)$, $f(16)$ und $f(50)$.

Lösung:

Für $f(0)$: $f(0) = \sqrt{0} = 0$

Für $f(16)$: $f(16) = \sqrt{16} = 4$

Für $f(50)$: $f(50) = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07$

Die Funktionswerte sind $f(0) = 0$, $f(16) = 4$ und $f(50) \approx 7.07$.

Beispiel 2: Punkt auf dem Graphen überprüfen

Liegt der Punkt $P(9 \mid 4)$ auf dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$?

Lösung:

Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Wir setzen $x = 9$ ein und prüfen, ob $y = 4$ herauskommt.

$f(9) = \sqrt{9} = 3$

Das Ergebnis ist $3$, nicht $4$. Der Punkt $P(9 \mid 4)$ liegt also nicht auf dem Graphen.

Der Punkt mit $x = 9$, der tatsächlich auf dem Graphen liegt, ist $(9 \mid 3)$.

Beispiel 3: Definitionsbereich einer erweiterten Wurzelfunktion bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich der Funktion $g(x) = \sqrt{x - 3}$.

Lösung:

Unter der Wurzel darf kein negativer Wert stehen. Wir müssen also herausfinden, für welche $x$-Werte der Term $x - 3$ nicht negativ ist.

$x - 3 \geq 0$

Wir lösen nach $x$ auf: $x \geq 3$

Der Definitionsbereich ist $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3\}$ oder $D = [3; \infty)$.

Das bedeutet: Diese Funktion ist erst ab $x = 3$ definiert. Ihr Graph startet im Punkt $(3 \mid 0)$.

Beispiel 4: Anwendung – Seitenlänge berechnen

Ein quadratisches Grundstück hat eine Fläche von $200 \, \text{m}^2$. Wie lang ist jede Seite?

Lösung:

Die Fläche eines Quadrats berechnet sich mit $A = a^2$, wobei $a$ die Seitenlänge ist.

Wir kennen die Fläche und suchen die Seitenlänge. Dazu ziehen wir die Wurzel: $a = \sqrt{A} = \sqrt{200}$

Wir vereinfachen: $a = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$

Jede Seite des Grundstücks ist etwa $14.14 \, \text{m}$ lang.

Beispiel 5: Schnittpunkt mit einer Geraden

Bestimme den Schnittpunkt der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ mit der Geraden $g(x) = \frac{1}{2}x$.

Lösung:

Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte gleich: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}x$

Wir quadrieren beide Seiten: $x = \frac{1}{4}x^2$

Wir multiplizieren mit $4$: $4x = x^2$

Wir bringen alles auf eine Seite: $x^2 - 4x = 0$

Wir klammern aus: $x(x - 4) = 0$

Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 4$.

Wir berechnen die zugehörigen $y$-Werte:

• Für $x = 0$: $y = \sqrt{0} = 0$
• Für $x = 4$: $y = \sqrt{4} = 2$

Die Schnittpunkte sind $S_1(0 \mid 0)$ und $S_2(4 \mid 2)$.

Probe: Wir prüfen $S_2$ in beiden Funktionen:

• $f(4) = \sqrt{4} = 2$ ✓
• $g(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ ✓

Das Wichtigste in Kürze

• Die Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion des Quadrierens für nicht-negative Zahlen.
• Der Definitionsbereich umfasst nur Werte $x \geq 0$, da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht reell ist.
• Der Graph startet im Ursprung, ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt.
• Die Wurzel aus einer Summe lässt sich nicht in die Summe der Wurzeln aufspalten: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Was ist der Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \sqrt{x + 5}$?

Lösung anzeigen

Unter der Wurzel muss der Ausdruck nicht-negativ sein: $x + 5 \geq 0$, also $x \geq -5$.

Der Definitionsbereich ist $D = [-5; \infty)$.

❓ Frage: Berechne $f(81)$ für die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$.

Lösung anzeigen

$f(81) = \sqrt{81} = 9$

Die Lösung ist $9$, denn $9 \cdot 9 = 81$.

❓ Frage: Liegt der Punkt $P(25 \mid 5)$ auf dem Graphen von $f(x) = \sqrt{x}$? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Wir setzen $x = 25$ in die Funktion ein: $f(25) = \sqrt{25} = 5$

Das Ergebnis ist $5$, und genau das ist die $y$-Koordinate des Punktes $P$.

Ja, der Punkt $P(25 \mid 5)$ liegt auf dem Graphen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast nun die Grundform der Quadratwurzelfunktion kennengelernt. Im nächsten Schritt wirst du sehen, wie sich der Graph verändert, wenn du Parameter hinzufügst. Funktionen wie $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ verschieben und strecken den Graphen auf unterschiedliche Weisen. Ausserdem wirst du Wurzelfunktionen mit höheren Wurzeln kennenlernen, etwa die Kubikwurzel $\sqrt[3]{x}$, die auch negative Zahlen verarbeiten kann. Diese Erweiterungen bauen direkt auf dem auf, was du heute gelernt hast.