Lineare Gleichungen mit 2 Variablen einfach erklärt: So findest du x und y

Darum geht's

Stell dir vor, du planst mit deinem Freund einen Kinobesuch. Ihr wollt zusammen genau 30 CHF ausgeben. Ein Popcorn kostet 8 CHF, ein Getränk 5 CHF. Die Frage ist: Wie viele Popcorn und wie viele Getränke könnt ihr kaufen, damit ihr exakt 30 CHF ausgebt?

Du merkst schnell: Es gibt nicht nur eine Antwort. Ihr könntet 0 Popcorn und 6 Getränke nehmen. Oder 5 Getränke und ein halbes Popcorn – aber wer kauft schon halbes Popcorn? Die Mathematik hinter diesem Rätsel nennt sich “lineare Gleichung mit 2 Variablen”. Sie beschreibt Situationen, in denen zwei unbekannte Grössen zusammenhängen und gemeinsam eine Bedingung erfüllen müssen.

Vom Kinosnack zur mathematischen Gleichung

Greifen wir das Kinobeispiel nochmal auf. Du weisst:

• Ein Popcorn kostet 8 CHF
• Ein Getränk kostet 5 CHF
• Zusammen sollt ihr genau 30 CHF ausgeben

Nennen wir die Anzahl der Popcorn $x$ und die Anzahl der Getränke $y$. Dann lässt sich die Bedingung “Gesamtkosten = 30 CHF” so aufschreiben:

$$8x + 5y = 30$$

Das ist bereits eine lineare Gleichung mit 2 Variablen! Sie heisst “linear”, weil $x$ und $y$ nur in der ersten Potenz vorkommen. Es gibt kein $x^2$, kein $y^3$ und kein $x \cdot y$.

Aber was bedeutet es, diese Gleichung zu “lösen”? Anders als bei Gleichungen mit einer Variablen gibt es hier nicht nur eine Lösung. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare $(x, y)$, die die Gleichung erfüllen.

Was ist eine lineare Gleichung mit 2 Variablen?

Definition

Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen hat die allgemeine Form:

$$ax + by = c$$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ bekannte Zahlen (Koeffizienten). Die Variablen $x$ und $y$ sind die gesuchten Unbekannten. Eine Lösung ist jedes Zahlenpaar $(x, y)$, das die Gleichung wahr macht.

Die Koeffizienten verraten dir viel über die Gleichung:

• $a$ ist der Faktor vor $x$ (im Kinobeispiel: 8, der Preis pro Popcorn)
• $b$ ist der Faktor vor $y$ (im Kinobeispiel: 5, der Preis pro Getränk)
• $c$ ist das Ergebnis auf der rechten Seite (im Kinobeispiel: 30, das Budget)

Lösungen finden: Die Wertetabelle

Wie findest du nun konkrete Zahlenpaare, die eine lineare Gleichung mit 2 Variablen erfüllen? Die einfachste Methode ist das systematische Einsetzen. Du wählst einen Wert für $x$ und berechnest dann $y$ – oder umgekehrt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Gleichung nach einer Variablen umstellen – Bringe $y$ allein auf eine Seite.
2. Werte für die andere Variable einsetzen – Wähle verschiedene Werte für $x$.
3. Den zugehörigen $y$-Wert berechnen – Setze jeden $x$-Wert in die umgestellte Gleichung ein.
4. Lösungspaare notieren – Schreibe die Ergebnisse als geordnete Paare $(x, y)$.

Schauen wir uns das an unserer Gleichung $8x + 5y = 30$ an.

Schritt 1: Wir stellen nach $y$ um:

$$8x + 5y = 30$$ $$5y = 30 - 8x$$ $$y = \frac{30 - 8x}{5}$$

Schritt 2 bis 4: Wir setzen verschiedene Werte für $x$ ein:

$x$	Rechnung	$y$	Lösungspaar
0	$y = \frac{30 - 8 \cdot 0}{5} = \frac{30}{5}$	6	$(0, 6)$
5	$y = \frac{30 - 8 \cdot 5}{5} = \frac{-10}{5}$	-2	$(5, -2)$
2.5	$y = \frac{30 - 8 \cdot 2.5}{5} = \frac{10}{5}$	2	$(2.5, 2)$

Jedes dieser Paare ist eine gültige Lösung der Gleichung. Im Alltag würden wir natürlich nur ganze, positive Zahlen akzeptieren. Mathematisch sind aber auch Brüche und negative Zahlen erlaubt.

Die grafische Darstellung: Eine Gerade entsteht

Hier kommt der Clou: Wenn du alle Lösungspaare einer linearen Gleichung mit 2 Variablen in ein Koordinatensystem einträgst, liegen sie alle auf einer Geraden!

Das ist kein Zufall. Es ist der Grund, warum diese Gleichungen “linear” heissen. Das Wort kommt vom lateinischen “linea” – die Linie.

So zeichnest du die Gerade

1. Berechne mindestens zwei Lösungspaare – Zwei Punkte bestimmen eine Gerade.
2. Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein – Der $x$-Wert bestimmt die horizontale Position, der $y$-Wert die vertikale.
3. Verbinde die Punkte mit einer Geraden – Verlängere die Linie über die Punkte hinaus.

Für unsere Gleichung $8x + 5y = 30$ könntest du die Punkte $(0, 6)$ und $(2.5, 2)$ verwenden. Die Verbindungslinie ist die grafische Darstellung aller Lösungen.

Die Achsenabschnitte: Wichtige Orientierungspunkte

Zwei besondere Punkte auf jeder Geraden sind leicht zu finden und sehr nützlich:

Der $y$-Achsenabschnitt: Das ist der Punkt, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet. Hier ist $x = 0$. Setze $x = 0$ in die Gleichung ein und berechne $y$.

Der $x$-Achsenabschnitt: Das ist der Punkt, wo die Gerade die $x$-Achse schneidet. Hier ist $y = 0$. Setze $y = 0$ in die Gleichung ein und berechne $x$.

Für $8x + 5y = 30$:

• $y$-Achsenabschnitt: Bei $x = 0$ gilt $5y = 30$, also $y = 6$. Der Punkt ist $(0, 6)$.
• $x$-Achsenabschnitt: Bei $y = 0$ gilt $8x = 30$, also $x = 3.75$. Der Punkt ist $(3.75, 0)$.

Diese beiden Punkte reichen aus, um die gesamte Gerade zu zeichnen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Nur eine Lösung suchen Bei Gleichungen mit einer Variablen gibt es meist genau eine Lösung. Bei zwei Variablen gibt es unendlich viele! Vergiss nicht: Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.

Fehler 2: Beim Umstellen Vorzeichen vertauschen Wenn du die Gleichung umstellst, achte genau auf Plus und Minus. Aus $8x + 5y = 30$ wird $5y = 30 - 8x$, nicht $5y = 30 + 8x$. Prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen!

Fehler 3: Die Achsenabschnitte verwechseln Der $y$-Achsenabschnitt liegt auf der senkrechten Achse (wo $x = 0$). Der $x$-Achsenabschnitt liegt auf der waagerechten Achse (wo $y = 0$). Merke dir: Der Name sagt, auf welcher Achse der Punkt liegt.

Fehler 4: Bei der Steigung die Reihenfolge vertauschen Die Steigung berechnet sich als “Änderung in $y$ geteilt durch Änderung in $x$”. Nicht umgekehrt!

Beispiele

Beispiel 1: Lösungspaare durch Einsetzen finden

Gegeben ist die Gleichung $3x + 2y = 12$. Finde drei Lösungspaare.

Lösung:

Wir stellen nach $y$ um:

$$2y = 12 - 3x$$$$y = \frac{12 - 3x}{2}$$

Nun setzen wir verschiedene Werte für $x$ ein:

Für $x = 0$:

$$y = \frac{12 - 3 \cdot 0}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Lösungspaar: $(0, 6)$

Für $x = 2$:

$$y = \frac{12 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Lösungspaar: $(2, 3)$

Für $x = 4$:

$$y = \frac{12 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{12 - 12}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

Lösungspaar: $(4, 0)$

Probe für $(2, 3)$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$ ✓

Beispiel 2: Achsenabschnitte bestimmen

Bestimme die Achsenabschnitte der Geraden $5x - 4y = 20$.

Lösung:

$y$-Achsenabschnitt (setze $x = 0$):

$$5 \cdot 0 - 4y = 20$$$$-4y = 20$$$$y = \frac{20}{-4} = -5$$

Der $y$-Achsenabschnitt ist $(0, -5)$.

$x$-Achsenabschnitt (setze $y = 0$):

$$5x - 4 \cdot 0 = 20$$$$5x = 20$$$$x = \frac{20}{5} = 4$$

Der $x$-Achsenabschnitt ist $(4, 0)$.

Die Gerade schneidet die $y$-Achse bei $-5$ und die $x$-Achse bei $4$.

Beispiel 3: Prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt

Liegt der Punkt $P(3, 7)$ auf der Geraden $2x + y = 13$?

Lösung:

Wir setzen die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

$$2 \cdot 3 + 7 = 6 + 7 = 13$$

Das Ergebnis ist $13$, und das entspricht der rechten Seite der Gleichung.

Antwort: Ja, der Punkt $P(3, 7)$ liegt auf der Geraden, weil er die Gleichung erfüllt.

Beispiel 4: Aus einem Sachverhalt eine Gleichung aufstellen

Ein Baumarkt verkauft Schrauben und Dübel. Eine Packung Schrauben kostet 4 CHF, eine Packung Dübel 6 CHF. Lisa gibt insgesamt 48 CHF aus. Stelle die Gleichung auf und finde drei mögliche Einkaufskombinationen.

Lösung:

Sei $x$ die Anzahl der Schraubenpackungen und $y$ die Anzahl der Dübelpackungen.

Die Gleichung für die Gesamtkosten lautet:

$$4x + 6y = 48$$

Wir stellen nach $y$ um:

$$6y = 48 - 4x$$$$y = \frac{48 - 4x}{6}$$

Da Lisa nur ganze Packungen kaufen kann, suchen wir ganzzahlige Lösungen:

Für $x = 0$: $y = \frac{48}{6} = 8$ → Lisa kauft 0 Schrauben und 8 Dübel.

Für $x = 3$: $y = \frac{48 - 12}{6} = \frac{36}{6} = 6$ → Lisa kauft 3 Schrauben und 6 Dübel.

Für $x = 6$: $y = \frac{48 - 24}{6} = \frac{24}{6} = 4$ → Lisa kauft 6 Schrauben und 4 Dübel.

Probe für $(3, 6)$: $4 \cdot 3 + 6 \cdot 6 = 12 + 36 = 48$ ✓

Beispiel 5: Gleichung aus zwei Punkten aufstellen

Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A(1, 5)$ und $B(3, 1)$. Stelle die Gleichung der Geraden in der Form $ax + by = c$ auf.

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Steigung $m$.

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$$

Schritt 2: Nutze die Punkt-Steigungsform mit Punkt $A(1, 5)$.

$$y - y_1 = m \cdot (x - x_1)$$$$y - 5 = -2 \cdot (x - 1)$$$$y - 5 = -2x + 2$$$$y = -2x + 7$$

Schritt 3: Bringe die Gleichung in die Form $ax + by = c$.

$$2x + y = 7$$

Probe mit Punkt $B(3, 1)$: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ ✓

Die Gleichung der Geraden lautet $2x + y = 7$.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen hat die Form $ax + by = c$ und besitzt unendlich viele Lösungen.
• Jede Lösung ist ein Zahlenpaar $(x, y)$, das die Gleichung erfüllt.
• Grafisch stellen alle Lösungen eine Gerade im Koordinatensystem dar.
• Die Achsenabschnitte findest du, indem du $x = 0$ bzw. $y = 0$ setzt.
• Du kannst systematisch Lösungen finden, indem du die Gleichung nach einer Variablen umstellst und dann Werte einsetzt.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welches der folgenden Zahlenpaare ist eine Lösung der Gleichung $2x + 3y = 12$?

Lösung anzeigen

Wir prüfen, welches Paar die Gleichung erfüllt:

$(3, 2)$: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12$ ✓

Das Zahlenpaar $(3, 2)$ ist eine Lösung, weil $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ ergibt.

❓ Frage: Wo schneidet die Gerade $4x + 2y = 8$ die $y$-Achse?

Lösung anzeigen

Auf der $y$-Achse ist $x = 0$. Wir setzen ein:

$$4 \cdot 0 + 2y = 8$$$$2y = 8$$$$y = 4$$

Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0, 4)$.

❓ Frage: Liegt der Punkt $P(5, -3)$ auf der Geraden $x - 2y = 11$? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Wir setzen die Koordinaten in die Gleichung ein:

$$5 - 2 \cdot (-3) = 5 + 6 = 11$$

Das Ergebnis $11$ stimmt mit der rechten Seite überein.

Antwort: Ja, der Punkt $P(5, -3)$ liegt auf der Geraden, weil er die Gleichung erfüllt.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast gelernt, dass eine einzelne lineare Gleichung mit 2 Variablen unendlich viele Lösungen hat. Aber was passiert, wenn zwei solche Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen?

Das führt dich zu den linearen Gleichungssystemen. Dort suchst du das eine Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig löst. Grafisch bedeutet das: Du suchst den Schnittpunkt zweier Geraden.

Für Gleichungssysteme lernst du dann mächtige Lösungsverfahren wie das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Diese Methoden sind wichtige Werkzeuge, die dir in der Physik, Chemie und Wirtschaft immer wieder begegnen werden.