Lernkarten: Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
Grundlagen der Äquivalenzumformung
Abschnitt betitelt „Grundlagen der Äquivalenzumformung“Was ist das grundlegende Prinzip der Äquivalenzumformung beim Lösen von Gleichungen?
Jede Operation muss immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden, um das Gleichgewicht zu wahren.
Welche vier Operationen sind bei der Äquivalenzumformung erlaubt?
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren (ausser mit 0) und Dividieren (ausser durch 0) derselben Zahl auf beiden Seiten.
Was ist der letzte und wichtigste Schritt beim Lösen einer linearen Gleichung, um die Korrektheit zu überprüfen?
Die Probe, bei der die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird.
Was bedeutet es, wenn beim Umformen einer Gleichung eine falsche Aussage wie entsteht?
Die Gleichung hat keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
Was bedeutet es, wenn beim Umformen einer Gleichung eine wahre Aussage wie entsteht?
Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Abschnitt betitelt „Lineare Gleichungen mit zwei Variablen“In welcher allgemeinen Form wird eine lineare Gleichung mit zwei Variablen oft dargestellt?
Wie viele Lösungen hat eine einzelne lineare Gleichung mit zwei Variablen?
Unendlich viele, die als Zahlenpaare dargestellt werden.
Was stellen die unendlich vielen Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen grafisch dar?
Eine Gerade im Koordinatensystem.
Wie berechnet man den y-Achsenabschnitt einer Geraden aus ihrer Gleichung?
Man setzt in die Gleichung ein und löst nach auf.
Wie berechnet man den x-Achsenabschnitt (Nullstelle) einer Geraden aus ihrer Gleichung?
Man setzt in die Gleichung ein und löst nach auf.
Die Geradengleichung
Abschnitt betitelt „Die Geradengleichung y=mx+qy = mx + qy=mx+q“In welche Form sollte man lineare Gleichungen bringen, um sie einfach zeichnen zu können?
In die Form (Steigungs-Achsenabschnitts-Form).
Was bedeuten die Variablen und in der Geradengleichung ?
ist die Steigung und ist der y-Achsenabschnitt.
Bei der Geradengleichung ist die Steigung :
Bei der Geradengleichung ist der y-Achsenabschnitt :
Bei der Steigung , wie bewegt man sich von einem Punkt zum nächsten?
Man geht 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben.
Grafisches Lösen von Gleichungssystemen
Abschnitt betitelt „Grafisches Lösen von Gleichungssystemen“Was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems grafisch interpretiert?
Der Schnittpunkt der Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden.
Was ist der erste Schritt, um ein Gleichungssystem grafisch zu lösen, wenn die Gleichungen nicht in der Form gegeben sind?
Beide Gleichungen nach auflösen, um sie in die Form zu bringen.
Wie lautet die Bedingung dafür, dass ein lineares Gleichungssystem keine Lösung hat (grafische Sicht)?
Die Geraden sind parallel, was bedeutet, sie haben dieselbe Steigung , aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte .
Wie lautet die Bedingung dafür, dass ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat (grafische Sicht)?
Die Geraden sind identisch, was bedeutet, sie haben dieselbe Steigung und denselben y-Achsenabschnitt .
Woran erkennt man grafisch, dass zwei Geraden parallel sind?
Sie haben exakt dieselbe Steigung, aber schneiden die y-Achse an unterschiedlichen Punkten.
Was ist der Hauptnachteil des grafischen Lösungsverfahrens?
Es ist ungenau bei nicht-ganzzahligen Lösungen und fehleranfällig beim Zeichnen.
Das Gleichsetzungsverfahren
Abschnitt betitelt „Das Gleichsetzungsverfahren“Was ist die Grundidee des Gleichsetzungsverfahrens?
Zwei Gleichungen werden nach derselben Variable aufgelöst und die resultierenden Terme werden gleichgesetzt.
Nenne den ersten Schritt des Gleichsetzungsverfahrens.
Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen.
Nachdem man beim Gleichsetzungsverfahren die Terme gleichgesetzt und eine Variable berechnet hat, was ist der nächste Schritt?
Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu berechnen.
In welchen Situationen eignet sich das Gleichsetzungsverfahren besonders gut?
Wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variable aufgelöst sind oder sich leicht danach umformen lassen.
Im Gleichungssystem und eignet sich welches Verfahren am besten?
Das Gleichsetzungsverfahren.
Das Einsetzungsverfahren
Abschnitt betitelt „Das Einsetzungsverfahren“Was ist die Grundidee des Einsetzungsverfahrens?
Eine Gleichung wird nach einer Variable aufgelöst und der resultierende Term wird in die andere Gleichung eingesetzt.
Für welche Art von Gleichungssystemen ist das Einsetzungsverfahren besonders effizient?
Wenn eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst ist oder eine Variable den Koeffizienten 1 oder -1 hat.
Was ist der zweite Schritt beim Einsetzungsverfahren, nachdem eine Gleichung nach einer Variable aufgelöst wurde?
Den Term für die Variable in die andere Gleichung einsetzen.
Was passiert, wenn man beim Einsetzungsverfahren den aufgelösten Term fälschlicherweise in dieselbe Gleichung einsetzt, aus der er stammt?
Man erhält eine wahre Aussage (z.B. ), aber keine Lösung für eine Variable.
Warum sind Klammern beim Einsetzen eines Terms, der aus mehreren Teilen besteht, so wichtig?
Um sicherzustellen, dass jeder Teil des Terms mit dem entsprechenden Faktor multipliziert wird (Distributivgesetz).
Im Gleichungssystem und eignet sich welches Verfahren am besten?
Das Einsetzungsverfahren.
Das Additionsverfahren
Abschnitt betitelt „Das Additionsverfahren“Was ist die Grundidee des Additionsverfahrens?
Gleichungen werden so addiert oder subtrahiert, dass eine der Variablen wegfällt.
Welche Bedingung müssen die Koeffizienten einer Variable erfüllen, damit diese durch Addition oder Subtraktion eliminiert werden kann?
Die Koeffizienten müssen betragsmässig gleich sein (entweder identisch oder entgegengesetzt).
Wann addiert man die Gleichungen beim Additionsverfahren?
Wenn die Koeffizienten der zu eliminierenden Variable entgegengesetzt sind (z.B. und ).
Wann subtrahiert man die Gleichungen beim Additionsverfahren?
Wenn die Koeffizienten der zu eliminierenden Variable identisch sind (z.B. und ).
Was muss man tun, wenn bei einem Gleichungssystem zunächst keine Koeffizienten übereinstimmen für das Additionsverfahren?
Man muss eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren, sodass die Koeffizienten einer Variable übereinstimmen.
Um das Gleichungssystem und mit dem Additionsverfahren zu lösen, was tut man?
Man addiert die beiden Gleichungen.
Um das Gleichungssystem und mit dem Additionsverfahren zu lösen, was tut man?
Man subtrahiert Gleichung II von I.
Um das System und für das Additionsverfahren vorzubereiten, womit muss man Gleichung II multiplizieren?
Mit 2.
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von im System und ?
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Häufige Fehler und Tipps
Abschnitt betitelt „Häufige Fehler und Tipps“Ein häufiger Fehler beim Multiplizieren einer Gleichung ist, dass die Multiplikation nicht auf alle Terme angewendet wird. Welcher Term wird oft vergessen?
Der Term auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens.
Warum sollte man die Probe immer mit der Gleichung machen, die man nicht zum Rückwärts-Einsetzen verwendet hat?
Um zu prüfen, ob die Lösung für das gesamte System gilt und nicht nur, ob man beim Umformen einen Fehler gemacht hat.
Der erste Schritt beim Lösen der Gleichung ist das _____ der Klammer.
Auflösen
Was ist der erste Schritt beim Lösen einer Gleichung, wenn sie Terme auf beiden Seiten enthält, z.B. ?
Alle Terme mit der Variable auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen.
Begriffe und Grundkonzepte
Abschnitt betitelt „Begriffe und Grundkonzepte“Was ist eine ‘lineare’ Gleichung?
Eine Gleichung, in der die Unbekannte (z.B. ) nur in der ersten Potenz vorkommt (kein , etc.).
Begriff: Lösungsmenge
Die Menge aller Werte, die eine gegebene Gleichung oder ein Gleichungssystem wahr machen.
Welchen Wert hat die x-Koordinate an jedem Punkt auf der y-Achse?
0
Welchen Wert hat die y-Koordinate an jedem Punkt auf der x-Achse?
0
Das Lösen einer linearen Gleichung wird oft mit dem Ausbalancieren einer _____ verglichen.
Waage