Lineare Gleichungen einfach erklärt: Dein Schlüssel zur Algebra

Stell dir eine klassische Balkenwaage vor. Auf der linken Schale liegen ein paar Äpfel und ein Gewichtsstein. Auf der rechten Schale liegen nur Gewichtssteine. Die Waage ist im Gleichgewicht – beide Seiten wiegen exakt gleich viel. Deine Aufgabe: Herausfinden, wie schwer ein einzelner Apfel ist.

Was tust du? Du nimmst vorsichtig von beiden Seiten das Gleiche weg. Vielleicht zuerst den Gewichtsstein von links und einen gleichschweren von rechts. Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Dann teilst du beide Seiten, bis nur noch ein Apfel übrig ist.

Genau so funktioniert das Lösen einer linearen Gleichung. Die Waage ist dein Gleichheitszeichen. Die Äpfel sind deine Unbekannte. Und die Regel “von beiden Seiten das Gleiche tun” ist dein mächtigstes Werkzeug. Lass uns gemeinsam lernen, wie du mit dieser Methode jede lineare Gleichung meisterst.

Was ist eine lineare Gleichung?

Bevor du Gleichungen lösen kannst, musst du verstehen, was eine lineare Gleichung überhaupt ist. Greifen wir unser Waagen-Beispiel noch einmal auf.

Die Äpfel auf der Waage haben ein unbekanntes Gewicht. In der Mathematik nennen wir diese Unbekannte $x$. Die Gewichtssteine haben bekannte Werte – das sind unsere Zahlen. Das Gleichgewicht der Waage beschreiben wir mit einem Gleichheitszeichen.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte $x$ nur “normal” vorkommt. Das bedeutet: kein $x^2$, kein $x^3$, kein $\sqrt{x}$. Nur $x$ selbst, eventuell multipliziert mit einer Zahl.

Typische Beispiele für lineare Gleichungen sind:

$$3x + 5 = 14$$ $$2x - 7 = x + 3$$ $$4 \cdot (x + 2) = 20$$

Der Name “linear” kommt übrigens daher, dass der Graph einer solchen Gleichung immer eine gerade Linie ergibt. Aber dazu später mehr.

DEFINITION

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $ax + b = c$, wobei $a$, $b$ und $c$ bekannte Zahlen sind und $a \neq 0$ gilt. Die Variable $x$ kommt nur in der ersten Potenz vor. Das Ziel ist es, den Wert von $x$ zu finden, der die Gleichung wahr macht.

Die Äquivalenzumformung: Dein Werkzeugkasten

Zurück zur Waage. Du hast gelernt: Wenn du von beiden Seiten das Gleiche wegnimmst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Das Gleiche gilt, wenn du auf beiden Seiten etwas Gleiches hinzufügst.

Dieses Prinzip nennen wir Äquivalenzumformung. “Äquivalent” bedeutet “gleichwertig”. Eine Äquivalenzumformung verändert die Gleichung, ohne ihre Lösung zu verändern.

Du hast vier erlaubte Operationen:

1. Addieren: Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren
2. Subtrahieren: Von beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren
3. Multiplizieren: Beide Seiten mit derselben Zahl (ausser 0) multiplizieren
4. Dividieren: Beide Seiten durch dieselbe Zahl (ausser 0) dividieren

Der Schlüssel zum Erfolg: Du musst die Operation immer auf beiden Seiten gleichzeitig durchführen. Sonst gerät deine Waage aus dem Gleichgewicht.

Die Schritt-für-Schritt-Methode zum Lösen

Jetzt wird es konkret. Hier ist dein “Kochrezept” zum Lösen linearer Gleichungen:

1. Klammern auflösen: Falls vorhanden, multipliziere alle Klammern aus.
2. Terme zusammenfassen: Fasse auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen.
3. Variable isolieren: Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.
4. Nach $x$ auflösen: Dividiere durch den Koeffizienten vor $x$.
5. Probe machen: Setze dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein.

Der letzte Schritt ist besonders wichtig. Die Probe zeigt dir, ob du richtig gerechnet hast. Sie kostet nur wenige Sekunden und kann dir viel Ärger ersparen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Nur eine Seite verändern Wenn du auf der linken Seite 5 subtrahierst, musst du auch rechts 5 subtrahieren. Viele Schüler vergessen die rechte Seite. Schreibe dir bei jedem Schritt auf, welche Operation du auf beiden Seiten durchführst.

Fehler 2: Vorzeichenfehler beim Auflösen von Klammern Bei $-(3x + 2)$ wird oft $-3x + 2$ geschrieben statt $-3x - 2$. Merke: Das Minuszeichen vor der Klammer dreht alle Vorzeichen in der Klammer um.

Fehler 3: Falsch dividieren bei negativen Koeffizienten Bei $-2x = 10$ ist die Lösung $x = -5$, nicht $x = 5$. Minus durch Minus ergibt Plus, aber hier dividierst du Plus durch Minus.

Fehler 4: Die Probe vergessen Ohne Probe weisst du nie, ob dein Ergebnis stimmt. Nimm dir immer die Zeit dafür.

Beispiele

Beispiel 1: Eine einfache Gleichung

Löse die Gleichung $3x + 7 = 22$.

Schritt 1: Subtrahiere 7 auf beiden Seiten, um die Zahl loszuwerden.

$$3x + 7 - 7 = 22 - 7$$$$3x = 15$$

Schritt 2: Dividiere beide Seiten durch 3, um $x$ allein zu haben.

$$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$$$$x = 5$$

Probe: Setze $x = 5$ in die ursprüngliche Gleichung ein.

$$3 \cdot 5 + 7 = 15 + 7 = 22 \checkmark$$

Die Lösung ist $x = 5$.

Beispiel 2: Variable auf beiden Seiten

Löse die Gleichung $5x - 3 = 2x + 9$.

Schritt 1: Bringe alle $x$-Terme auf eine Seite. Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten.

$$5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x$$$$3x - 3 = 9$$

Schritt 2: Addiere 3 auf beiden Seiten.

$$3x - 3 + 3 = 9 + 3$$$$3x = 12$$

Schritt 3: Dividiere durch 3.

$$x = 4$$

Probe: Linke Seite: $5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17$. Rechte Seite: $2 \cdot 4 + 9 = 8 + 9 = 17$. Beide Seiten sind gleich. $\checkmark$

Die Lösung ist $x = 4$.

Beispiel 3: Mit Klammern und Brüchen

Löse die Gleichung $2 \cdot (x - 4) = \frac{x + 2}{2}$.

Schritt 1: Multipliziere die linke Klammer aus.

$$2x - 8 = \frac{x + 2}{2}$$

Schritt 2: Beseitige den Bruch. Multipliziere beide Seiten mit 2.

$$2 \cdot (2x - 8) = 2 \cdot \frac{x + 2}{2}$$$$4x - 16 = x + 2$$

Schritt 3: Bringe die $x$-Terme auf eine Seite. Subtrahiere $x$ auf beiden Seiten.

$$4x - 16 - x = x + 2 - x$$$$3x - 16 = 2$$

Schritt 4: Addiere 16 auf beiden Seiten.

$$3x = 18$$

Schritt 5: Dividiere durch 3.

$$x = 6$$

Probe: Linke Seite: $2 \cdot (6 - 4) = 2 \cdot 2 = 4$. Rechte Seite: $\frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$. $\checkmark$

Die Lösung ist $x = 6$.

Beispiel 4: Textaufgabe aus dem Alltag

Maria kauft im Laden Äpfel und Birnen. Ein Apfel kostet 0.50 CHF. Sie kauft 6 Äpfel und einige Birnen. Eine Birne kostet 0.80 CHF. Insgesamt bezahlt sie 7.00 CHF. Wie viele Birnen hat sie gekauft?

Schritt 1: Definiere die Variable. Sei $x$ die Anzahl der Birnen.

Schritt 2: Stelle die Gleichung auf.

Kosten für Äpfel: $6 \cdot 0.50 = 3.00$ CHF

Kosten für Birnen: $x \cdot 0.80$ CHF

Gesamtkosten: $3.00 + 0.80x = 7.00$

Schritt 3: Löse die Gleichung.

$$0.80x = 7.00 - 3.00$$$$0.80x = 4.00$$$$x = \frac{4.00}{0.80} = 5$$

Probe: $6 \cdot 0.50 + 5 \cdot 0.80 = 3.00 + 4.00 = 7.00$ CHF $\checkmark$

Maria hat 5 Birnen gekauft.

Besondere Fälle: Keine oder unendlich viele Lösungen

Manchmal passiert beim Lösen etwas Unerwartetes. Schauen wir uns zwei besondere Situationen an.

Fall 1: Keine Lösung

Betrachte die Gleichung $2x + 3 = 2x + 7$.

Wenn du auf beiden Seiten $2x$ subtrahierst, erhältst du:

$$3 = 7$$

Das ist offensichtlich falsch. Es gibt keine Zahl $x$, die diese Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat keine Lösung. Man sagt auch: Die Lösungsmenge ist leer.

Fall 2: Unendlich viele Lösungen

Betrachte die Gleichung $3x + 6 = 3 \cdot (x + 2)$.

Löse die Klammer auf: $3x + 6 = 3x + 6$.

Subtrahiere $3x$ auf beiden Seiten: $6 = 6$.

Das ist immer wahr, egal welchen Wert $x$ hat. Jede Zahl ist eine Lösung. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Diese besonderen Fälle kommen in Prüfungen gerne vor. Lass dich davon nicht verwirren. Wenn am Ende eine wahre Aussage wie $5 = 5$ steht, gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn eine falsche Aussage wie $3 = 8$ steht, gibt es keine Lösung.

Wozu brauche ich das?

Lineare Gleichungen begegnen dir überall im Alltag:

• Geld: Wie viele Monate musst du sparen, um dir ein neues Handy leisten zu können?
• Rezepte: Wenn ein Rezept für 4 Personen 200 g Mehl braucht, wie viel brauchst du für 7 Personen?
• Physik: Wann treffen sich zwei Züge, die aufeinander zufahren?
• Technik: Wie lange dauert ein Download bei einer bestimmten Geschwindigkeit?

In all diesen Situationen suchst du einen unbekannten Wert. Du stellst eine Gleichung auf und löst sie.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine lineare Gleichung enthält eine Variable in der ersten Potenz (z.B. $x$, aber nicht $x^2$).
• Das Gleichheitszeichen ist wie eine Waage: Was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen tun.
• Äquivalenzumformungen verändern die Form der Gleichung, aber nicht ihre Lösung.
• Das Ziel ist immer, $x$ allein auf einer Seite zu haben.
• Die Probe am Ende zeigt dir, ob deine Lösung stimmt.
• Es gibt Gleichungen mit einer, keiner oder unendlich vielen Lösungen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Löse die Gleichung $4x - 10 = 2x + 6$. Was ist der Wert von $x$?

Lösung anzeigen

Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $2x - 10 = 6$.

Addiere 10 auf beiden Seiten: $2x = 16$.

Dividiere durch 2: $x = 8$.

Die Lösung ist $x = 8$.

❓ Frage: Was ist der erste Schritt beim Lösen der Gleichung $3 \cdot (2x + 1) = 15$?

Lösung anzeigen

Der erste Schritt ist das Auflösen der Klammer.

$3 \cdot (2x + 1) = 6x + 3$

Die Gleichung wird zu: $6x + 3 = 15$.

Danach kannst du normal weiterrechnen.

❓ Frage: Die Gleichung $5x + 2 = 5x + 8$ führt nach Umformung zu $2 = 8$. Was bedeutet das für die Lösungsmenge?

Lösung anzeigen

Die Aussage $2 = 8$ ist falsch.

Das bedeutet: Es gibt keine Zahl $x$, die diese Gleichung erfüllt.

Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt: $\mathbb{L} = \{\}$ oder $\mathbb{L} = \emptyset$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt das Lösen einfacher linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Im nächsten Schritt wirst du lineare Gleichungssysteme kennenlernen. Dabei hast du zwei oder mehr Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten gleichzeitig.

Stell dir vor: Du weisst, dass 3 Äpfel und 2 Birnen zusammen 4.10 CHF kosten. Und 2 Äpfel und 3 Birnen kosten 4.40 CHF. Was kostet ein Apfel? Was kostet eine Birne?

Für solche Aufgaben brauchst du zwei Gleichungen und lernst neue Methoden wie das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die gute Nachricht: Das Prinzip der Äquivalenzumformung, das du heute gelernt hast, bleibt dein wichtigstes Werkzeug.