Gleichungssysteme grafisch lösen: So findest du den Schnittpunkt zweier Geraden

Stell dir vor, du planst mit einem Freund ein Treffen in der Stadt. Du startest von zu Hause und gehst Richtung Zentrum. Dein Freund kommt von der Schule und läuft ebenfalls ins Zentrum. Ihr wisst beide, welchen Weg ihr nehmt – aber wo genau werdet ihr euch treffen? Genau an dem Punkt, wo sich eure beiden Wege kreuzen.

In der Mathematik beschreiben wir solche Wege oft mit Geraden. Wenn zwei Personen unterschiedliche Routen nehmen, haben wir zwei Geraden. Der Treffpunkt ist nichts anderes als der Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Und genau das lernst du heute: Wie du aus zwei linearen Gleichungen die Geraden zeichnest und ihren Schnittpunkt abliest.

Von zwei Gleichungen zu zwei Geraden

Erinnern wir uns an das Treffen in der Stadt. Jeder Weg lässt sich als Gerade beschreiben. In der Mathematik schreiben wir eine Gerade in der Form $y = mx + q$. Dabei ist $m$ die Steigung (wie steil der Weg ist) und $q$ der y-Achsenabschnitt (wo der Weg die senkrechte Achse kreuzt).

Wenn du und dein Freund verschiedene Wege habt, dann habt ihr zwei verschiedene Gleichungen. Zusammen bilden diese ein lineares Gleichungssystem. Es sieht zum Beispiel so aus:

$$y = 2x + 1$$ $$y = -x + 4$$

Die spannende Frage lautet: Gibt es einen Punkt $(x|y)$, der auf beiden Geraden liegt? Falls ja, dann ist das der Schnittpunkt – also euer Treffpunkt.

Warum eine Grafik hilft

Eine Gleichung ist abstrakt. Zwei Gleichungen zusammen können verwirrend wirken. Aber sobald du beide Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest, wird alles sichtbar. Du siehst sofort, ob sich die Geraden schneiden, wo sie sich schneiden oder ob sie parallel verlaufen.

Das grafische Lösen ist wie ein Schnappschuss der mathematischen Situation. Du bekommst ein Bild davon, was die Zahlen bedeuten.

Gleichungssysteme grafisch lösen – Schritt für Schritt

Hier ist deine Anleitung, um jedes lineare Gleichungssystem grafisch zu lösen:

1. Bringe beide Gleichungen in die Form $y = mx + q$. So erkennst du Steigung und y-Achsenabschnitt direkt.

2. Zeichne ein Koordinatensystem. Wähle einen sinnvollen Massstab. Die Achsen sollten gross genug sein, damit beide Geraden und ihr möglicher Schnittpunkt sichtbar werden.

3. Zeichne die erste Gerade. Markiere zuerst den y-Achsenabschnitt $q$ auf der y-Achse. Gehe dann von diesem Punkt aus entsprechend der Steigung $m$ weiter: Bei $m = 2$ gehst du 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

4. Zeichne die zweite Gerade nach demselben Prinzip.

5. Lies den Schnittpunkt ab. Der Punkt, an dem sich beide Geraden treffen, ist die Lösung. Notiere seine Koordinaten $(x|y)$.

6. Überprüfe dein Ergebnis. Setze die abgelesenen Werte in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Stimmen beide Gleichungen, hast du richtig gearbeitet.

DEFINITION

Die grafische Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden. Der Schnittpunkt hat Koordinaten $(x|y)$, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

• $x$: Die horizontale Koordinate des Schnittpunkts (Wert auf der x-Achse)
• $y$: Die vertikale Koordinate des Schnittpunkts (Wert auf der y-Achse)

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die Steigung falsch ablesen oder einzeichnen

Viele Schüler verwechseln Zähler und Nenner bei der Steigung. Bei $m = \frac{2}{3}$ gehst du 3 Einheiten nach rechts und 2 nach oben – nicht umgekehrt. Merke dir: Die Steigung ist «Änderung in y geteilt durch Änderung in x».

Fehler 2: Den y-Achsenabschnitt vergessen oder falsch einzeichnen

Der y-Achsenabschnitt $q$ liegt immer auf der y-Achse, also bei $x = 0$. Wenn $q = -3$ ist, liegt der Punkt bei $(0|-3)$, also unterhalb des Ursprungs.

Fehler 3: Ungenauer Massstab führt zu falschen Ablesewerten

Wenn du den Massstab nicht sauber wählst oder die Achsen ungleichmässig einteilst, liest du den Schnittpunkt falsch ab. Verwende Millimeterpapier oder zeichne mit Lineal. Kontrolliere immer durch Einsetzen.

Fehler 4: Parallele Geraden nicht erkennen

Haben beide Gleichungen dieselbe Steigung $m$, aber verschiedene y-Achsenabschnitte $q$, dann sind die Geraden parallel. Sie schneiden sich nie. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung.

Beispiele

Beispiel 1: Zwei Geraden mit ganzzahligem Schnittpunkt

Löse das folgende Gleichungssystem grafisch:

$$y = x + 1$$$$y = -x + 5$$

Schritt 1: Gleichungen analysieren

Erste Gerade: Steigung $m_1 = 1$, y-Achsenabschnitt $q_1 = 1$

Zweite Gerade: Steigung $m_2 = -1$, y-Achsenabschnitt $q_2 = 5$

Schritt 2: Erste Gerade zeichnen

Starte bei $(0|1)$. Mit Steigung $1$ gehst du 1 nach rechts und 1 nach oben. Das ergibt $(1|2)$. Weiter: $(2|3)$, $(3|4)$. Zeichne die Gerade durch diese Punkte.

Schritt 3: Zweite Gerade zeichnen

Starte bei $(0|5)$. Mit Steigung $-1$ gehst du 1 nach rechts und 1 nach unten. Das ergibt $(1|4)$. Weiter: $(2|3)$, $(3|2)$. Zeichne die Gerade.

Schritt 4: Schnittpunkt ablesen

Beide Geraden schneiden sich bei $(2|3)$.

Schritt 5: Probe

Erste Gleichung: $y = 2 + 1 = 3$ ✓

Zweite Gleichung: $y = -2 + 5 = 3$ ✓

Lösung: $x = 2$ und $y = 3$, also der Punkt $(2|3)$

Beispiel 2: Schnittpunkt mit nicht-ganzzahligen Koordinaten

Löse grafisch:

$$y = 2x - 1$$$$y = \frac{1}{2}x + 2$$

Schritt 1: Gleichungen analysieren

Erste Gerade: $m_1 = 2$, $q_1 = -1$

Zweite Gerade: $m_2 = \frac{1}{2}$, $q_2 = 2$

Schritt 2: Erste Gerade zeichnen

Starte bei $(0|-1)$. Mit $m = 2$: 1 nach rechts, 2 nach oben → $(1|1)$. Weiter: $(2|3)$.

Schritt 3: Zweite Gerade zeichnen

Starte bei $(0|2)$. Mit $m = \frac{1}{2}$: 2 nach rechts, 1 nach oben → $(2|3)$. Oder: 4 nach rechts, 2 nach oben → $(4|4)$.

Schritt 4: Schnittpunkt ablesen

Die Geraden schneiden sich bei $(2|3)$.

Schritt 5: Probe

Erste Gleichung: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$ ✓

Zweite Gleichung: $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 1 + 2 = 3$ ✓

Lösung: $(2|3)$

Beispiel 3: Eine Gleichung muss zuerst umgeformt werden

Löse grafisch:

$$y = 3x - 2$$$$2x + y = 8$$

Schritt 1: Zweite Gleichung in die Form $y = mx + q$ bringen

$$2x + y = 8$$$$y = -2x + 8$$

Jetzt haben wir:

• Erste Gerade: $m_1 = 3$, $q_1 = -2$
• Zweite Gerade: $m_2 = -2$, $q_2 = 8$

Schritt 2: Erste Gerade zeichnen

Starte bei $(0|-2)$. Mit $m = 3$: 1 nach rechts, 3 nach oben → $(1|1)$. Weiter: $(2|4)$.

Schritt 3: Zweite Gerade zeichnen

Starte bei $(0|8)$. Mit $m = -2$: 1 nach rechts, 2 nach unten → $(1|6)$. Weiter: $(2|4)$, $(3|2)$.

Schritt 4: Schnittpunkt ablesen

Beide Geraden schneiden sich bei $(2|4)$.

Schritt 5: Probe

Erste Gleichung: $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$ ✓

Zweite Gleichung: $2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 = 8$ ✓

Lösung: $(2|4)$

Beispiel 4: Parallele Geraden – keine Lösung

Untersuche grafisch:

$$y = 2x + 3$$$$y = 2x - 1$$

Schritt 1: Gleichungen analysieren

Erste Gerade: $m_1 = 2$, $q_1 = 3$

Zweite Gerade: $m_2 = 2$, $q_2 = -1$

Beide Geraden haben dieselbe Steigung!

Schritt 2: Erste Gerade zeichnen

Starte bei $(0|3)$. Mit $m = 2$: $(1|5)$, $(2|7)$.

Schritt 3: Zweite Gerade zeichnen

Starte bei $(0|-1)$. Mit $m = 2$: $(1|1)$, $(2|3)$.

Schritt 4: Schnittpunkt suchen

Die beiden Geraden verlaufen parallel. Sie haben denselben Anstieg, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Egal wie weit du die Geraden verlängerst – sie treffen sich nie.

Lösung: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Man sagt auch: Die Lösungsmenge ist leer.

Beispiel 5: Identische Geraden – unendlich viele Lösungen

Untersuche grafisch:

$$y = -x + 4$$$$2y + 2x = 8$$

Schritt 1: Zweite Gleichung umformen

$$2y + 2x = 8$$$$2y = -2x + 8$$$$y = -x + 4$$

Schritt 2: Vergleich

Beide Gleichungen sind identisch! $m_1 = m_2 = -1$ und $q_1 = q_2 = 4$.

Schritt 3: Zeichnen

Wenn du beide Geraden zeichnest, liegen sie exakt übereinander. Es gibt nicht einen Schnittpunkt, sondern unendlich viele gemeinsame Punkte – nämlich alle Punkte auf der Geraden.

Lösung: Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf der Geraden $y = -x + 4$ ist eine Lösung.

Was bedeuten die verschiedenen Fälle?

Beim grafischen Lösen gibt es drei mögliche Situationen:

Fall	Grafische Darstellung	Anzahl Lösungen
Verschiedene Steigungen	Geraden schneiden sich in einem Punkt	Genau eine Lösung
Gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte	Geraden sind parallel	Keine Lösung
Gleiche Steigung, gleicher y-Achsenabschnitt	Geraden sind identisch	Unendlich viele Lösungen

Der häufigste Fall in Übungsaufgaben ist der erste: ein eindeutiger Schnittpunkt.

Tipps für präzises Zeichnen

Das grafische Verfahren hat einen Nachteil: Die Genauigkeit hängt von deiner Zeichnung ab. Hier sind Strategien für bessere Ergebnisse:

Verwende kariertes Papier oder Millimeterpapier. Die Linien helfen dir, Punkte exakt einzutragen.

Wähle einen passenden Massstab. Wenn die Zahlen in den Gleichungen zwischen $-10$ und $10$ liegen, sollte dein Koordinatensystem diesen Bereich gut abdecken.

Berechne mehrere Punkte pro Gerade. Zwei Punkte definieren eine Gerade, aber ein dritter Punkt dient als Kontrolle.

Verlängere die Geraden über den erwarteten Schnittpunkt hinaus. So erkennst du Zeichenfehler leichter.

Mache immer die Probe. Setze die abgelesenen Koordinaten in beide Gleichungen ein. Nur wenn beide stimmen, ist deine Lösung korrekt.

Wann ist das grafische Verfahren sinnvoll?

Das grafische Lösen ist ideal zum Verstehen und Visualisieren. Du siehst buchstäblich, was «Lösung eines Gleichungssystems» bedeutet. Allerdings ist es nicht immer die praktischste Methode:

Vorteile:

• Anschaulich und verständlich
• Zeigt sofort, ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt
• Gut für einfache Gleichungssysteme mit «schönen» Lösungen

Nachteile:

• Ungenau bei nicht-ganzzahligen Lösungen
• Zeitaufwendig bei komplizierten Zahlen
• Braucht Platz und Zeichenmaterial

Für Gleichungssysteme mit krummen Lösungen wie $x = 2{,}347$ lernst du später rechnerische Verfahren wie das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade.
• Die Lösung ist der Schnittpunkt beider Geraden. Seine Koordinaten erfüllen beide Gleichungen gleichzeitig.
• Zum grafischen Lösen bringst du beide Gleichungen in die Form $y = mx + q$, zeichnest die Geraden und liest den Schnittpunkt ab.
• Es gibt drei Fälle: genau eine Lösung (Geraden schneiden sich), keine Lösung (parallele Geraden), unendlich viele Lösungen (identische Geraden).
• Kontrolliere dein Ergebnis immer durch Einsetzen in beide Gleichungen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Gegeben sind die Gleichungen $y = x + 2$ und $y = -x + 6$. Welchen y-Wert hat der Schnittpunkt?

Lösung anzeigen

Der Schnittpunkt liegt bei $x = 2$ und $y = 4$.

Erklärung: Die erste Gerade startet bei $(0|2)$ mit Steigung $1$. Die zweite startet bei $(0|6)$ mit Steigung $-1$. Sie treffen sich bei $(2|4)$.

Probe: $4 = 2 + 2$ ✓ und $4 = -2 + 6$ ✓

❓ Frage: Zwei Geraden haben die Gleichungen $y = 3x + 1$ und $y = 3x - 5$. Wie viele Lösungen hat dieses Gleichungssystem?

Lösung anzeigen

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Erklärung: Beide Geraden haben die gleiche Steigung $m = 3$, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte ($q_1 = 1$ und $q_2 = -5$). Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie.

❓ Frage: Du liest aus einer Zeichnung den Schnittpunkt $(3|2)$ ab. Die Gleichungen lauten $y = x - 1$ und $y = -2x + 7$. Ist deine Ablesung korrekt?

Lösung anzeigen

Ja, die Ablesung ist korrekt.

Probe für die erste Gleichung: $y = 3 - 1 = 2$ ✓

Probe für die zweite Gleichung: $y = -2 \cdot 3 + 7 = -6 + 7 = 1$

Moment – das ergibt $y = 1$, nicht $y = 2$!

Korrektur: Die Ablesung ist falsch. Der zweite Wert stimmt nicht. Du musst deine Zeichnung überprüfen.

Der korrekte Schnittpunkt liegt bei $x = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ und $y = \frac{5}{3} \approx 1{,}67$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Handwerkszeug, um Gleichungssysteme grafisch zu lösen. Das ist der perfekte Einstieg, weil du siehst, was eine Lösung geometrisch bedeutet.

Im nächsten Schritt lernst du rechnerische Verfahren: das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt). Diese Methoden liefern exakte Ergebnisse – auch wenn der Schnittpunkt bei $x = \frac{17}{23}$ liegt.

Ausserdem wirst du sehen, wie Gleichungssysteme in Textaufgaben vorkommen: Zwei Handytarife vergleichen, Mischungsaufgaben lösen oder Geschwindigkeitsprobleme bearbeiten. Das grafische Verständnis hilft dir dabei enorm, denn du kannst dir immer vorstellen, was mathematisch passiert.