Gleichsetzungsverfahren einfach erklärt: So löst du lineare Gleichungssysteme

Darum geht's

Stell dir vor, du und dein bester Freund spart beide auf ein neues Videospiel. Du hast schon 40 CHF gespart und legst jede Woche 5 CHF dazu. Dein Freund startet mit 20 CHF, spart aber 10 CHF pro Woche. Die spannende Frage: Wann habt ihr beide genau gleich viel Geld?

Genau solche Fragen beantwortet das Gleichsetzungsverfahren. Es ist ein mächtiges Werkzeug, um herauszufinden, wo sich zwei mathematische Zusammenhänge treffen. In diesem Artikel lernst du, wie du dieses Verfahren sicher anwendest und typische Fehler vermeidest.

Vom Sparproblem zur Mathematik

Übersetzen wir das Sparproblem in die Sprache der Mathematik. Dein Sparstand lässt sich als Gleichung beschreiben. Nach $x$ Wochen hast du:

$y = 40 + 5x$

Dein Freund hat nach $x$ Wochen:

$y = 20 + 10x$

Beide Gleichungen beschreiben, wie sich das Guthaben $y$ in Abhängigkeit von der Zeit $x$ entwickelt. Du suchst den Zeitpunkt, an dem beide denselben Betrag haben. Mathematisch ausgedrückt: Du suchst die Werte für $x$ und $y$, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Ein solches Paar von Gleichungen nennt man ein lineares Gleichungssystem. Das Gleichsetzungsverfahren ist eine von mehreren Methoden, um die Lösung zu finden.

Das Gleichsetzungsverfahren: Dein Lösungsrezept

Die Grundidee ist bestechend einfach: Wenn beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst sind, kannst du die rechten Seiten gleichsetzen. Warum? Weil beide Seiten denselben Wert haben müssen – nämlich den Wert dieser Variable.

Hier ist dein Schritt-für-Schritt-Rezept:

1. Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen. Wähle die Variable, bei der das am einfachsten geht. Oft ist das $y$.

2. Die rechten Seiten gleichsetzen. Da beide Ausdrücke gleich $y$ sind, müssen sie auch untereinander gleich sein.

3. Die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable lösen. Jetzt hast du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten.

4. Den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen. So berechnest du die zweite Variable.

5. Probe machen. Setze beide Werte in die andere Gleichung ein, um dein Ergebnis zu überprüfen.

Definition

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen eines linearen Gleichungssystems nach derselben Variable auf. Dann setzt du die rechten Seiten gleich und löst die entstehende Gleichung. Das Ergebnis setzt du ein, um die zweite Variable zu berechnen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Vorzeichenfehler beim Umformen Viele Schüler vergessen das Vorzeichen, wenn sie Terme auf die andere Seite bringen. Aus $+5x$ wird $-5x$, nicht $+5x$. Tipp: Schreibe jeden Umformungsschritt einzeln auf.

Fehler 2: Falsche Gleichung für das Einsetzen wählen Manche setzen den gefundenen Wert versehentlich wieder in die Gleichung ein, die sie gerade zum Gleichsetzen verwendet haben. Das funktioniert zwar, aber du verlierst die Kontrolle. Setze immer in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.

Fehler 3: Probe vergessen Die Probe ist kein Bonus, sondern Pflicht. Sie zeigt dir, ob du richtig gerechnet hast. Ohne Probe kannst du einen Fehler nicht erkennen.

Beispiele

Beispiel 1: Das Sparproblem lösen

Gegeben sind die Gleichungen aus dem Einstieg:

$y = 40 + 5x$

$y = 20 + 10x$

Schritt 1: Beide Gleichungen sind bereits nach $y$ aufgelöst.

Schritt 2: Rechte Seiten gleichsetzen:

$40 + 5x = 20 + 10x$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen:

$40 + 5x = 20 + 10x \quad | -5x$

$40 = 20 + 5x \quad | -20$

$20 = 5x \quad | \div 5$

$x = 4$

Schritt 4: $x = 4$ in die erste Gleichung einsetzen:

$y = 40 + 5 \cdot 4 = 40 + 20 = 60$

Schritt 5: Probe in der zweiten Gleichung:

$y = 20 + 10 \cdot 4 = 20 + 40 = 60 \quad \checkmark$

Lösung: Nach 4 Wochen haben beide 60 CHF. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{(4; 60)\}$.

Beispiel 2: Gleichungen erst umformen

Löse das Gleichungssystem:

$2x + y = 7$

$3x - y = 8$

Schritt 1: Beide Gleichungen nach $y$ auflösen.

Erste Gleichung:

$2x + y = 7 \quad | -2x$

$y = 7 - 2x$

Zweite Gleichung:

$3x - y = 8 \quad | -3x$

$-y = 8 - 3x \quad | \cdot (-1)$

$y = -8 + 3x$

Schritt 2: Gleichsetzen:

$7 - 2x = -8 + 3x$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen:

$7 - 2x = -8 + 3x \quad | +2x$

$7 = -8 + 5x \quad | +8$

$15 = 5x \quad | \div 5$

$x = 3$

Schritt 4: In $y = 7 - 2x$ einsetzen:

$y = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Schritt 5: Probe in $3x - y = 8$:

$3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8 \quad \checkmark$

Lösung: $\mathbb{L} = \{(3; 1)\}$

Beispiel 3: Brüche und grössere Zahlen

Löse das Gleichungssystem:

$4x - 2y = 10$

$6x + y = 17$

Schritt 1: Die zweite Gleichung lässt sich leichter nach $y$ auflösen:

$6x + y = 17 \quad | -6x$

$y = 17 - 6x$

Erste Gleichung nach $y$ auflösen:

$4x - 2y = 10 \quad | -4x$

$-2y = 10 - 4x \quad | \div (-2)$

$y = -5 + 2x$

Schritt 2: Gleichsetzen:

$17 - 6x = -5 + 2x$

Schritt 3: Nach $x$ auflösen:

$17 - 6x = -5 + 2x \quad | +6x$

$17 = -5 + 8x \quad | +5$

$22 = 8x \quad | \div 8$

$x = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2{,}75$

Schritt 4: In $y = 17 - 6x$ einsetzen:

$y = 17 - 6 \cdot \frac{11}{4} = 17 - \frac{66}{4} = 17 - 16{,}5 = 0{,}5$

Schritt 5: Probe in $4x - 2y = 10$:

$4 \cdot 2{,}75 - 2 \cdot 0{,}5 = 11 - 1 = 10 \quad \checkmark$

Lösung: $\mathbb{L} = \left\{\left(\frac{11}{4}; \frac{1}{2}\right)\right\}$ oder $\mathbb{L} = \{(2{,}75; 0{,}5)\}$

Beispiel 4: Textaufgabe – Kinobesuch

Zwei Freunde gehen zusammen ins Kino. Sie kaufen insgesamt 5 Getränke und 3 Popcorn für 29 CHF. Ein anderes Mal kaufen sie 2 Getränke und 4 Popcorn für 26 CHF. Wie viel kostet ein Getränk und wie viel ein Popcorn?

Variablen definieren:

• $x$ = Preis eines Getränks in CHF
• $y$ = Preis eines Popcorns in CHF

Gleichungssystem aufstellen:

$5x + 3y = 29$

$2x + 4y = 26$

Schritt 1: Beide Gleichungen nach $y$ auflösen.

Erste Gleichung:

$5x + 3y = 29 \quad | -5x$

$3y = 29 - 5x \quad | \div 3$

$y = \frac{29 - 5x}{3}$

Zweite Gleichung:

$2x + 4y = 26 \quad | -2x$

$4y = 26 - 2x \quad | \div 4$

$y = \frac{26 - 2x}{4} = \frac{13 - x}{2}$

Schritt 2: Gleichsetzen:

$\frac{29 - 5x}{3} = \frac{13 - x}{2}$

Schritt 3: Brüche beseitigen durch Multiplikation mit 6:

$6 \cdot \frac{29 - 5x}{3} = 6 \cdot \frac{13 - x}{2}$

$2 \cdot (29 - 5x) = 3 \cdot (13 - x)$

$58 - 10x = 39 - 3x \quad | +10x$

$58 = 39 + 7x \quad | -39$

$19 = 7x \quad | \div 7$

$x = \frac{19}{7} \approx 2{,}71$

Schritt 4: In $y = \frac{13 - x}{2}$ einsetzen:

$y = \frac{13 - \frac{19}{7}}{2} = \frac{\frac{91 - 19}{7}}{2} = \frac{72}{14} = \frac{36}{7} \approx 5{,}14$

Schritt 5: Probe in $5x + 3y = 29$:

$5 \cdot \frac{19}{7} + 3 \cdot \frac{36}{7} = \frac{95}{7} + \frac{108}{7} = \frac{203}{7} = 29 \quad \checkmark$

Lösung: Ein Getränk kostet ca. 2,71 CHF, ein Popcorn ca. 5,14 CHF.

Wann ist das Gleichsetzungsverfahren besonders praktisch?

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich am besten, wenn:

• Beide Gleichungen bereits nach derselben Variable aufgelöst sind
• Mindestens eine Gleichung sich leicht umformen lässt
• Du eine klare, nachvollziehbare Methode bevorzugst

Bei Gleichungen mit vielen Brüchen oder komplizierten Koeffizienten kann das Additionsverfahren manchmal schneller sein. Aber keine Sorge – mathematisch führen alle Verfahren zum selben Ergebnis.

Geometrische Deutung: Was passiert hier eigentlich?

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Geraden. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.

Wenn du das Gleichsetzungsverfahren anwendest, berechnest du genau die Koordinaten dieses Schnittpunkts. Der $x$-Wert gibt an, wie weit rechts der Punkt liegt. Der $y$-Wert gibt die Höhe an.

Es gibt drei mögliche Fälle:

1. Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Das ist der Normalfall.

2. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie. Beim Gleichsetzen erhältst du eine falsche Aussage wie $5 = 3$.

3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch. Beim Gleichsetzen erhältst du eine wahre Aussage wie $0 = 0$.

Das Wichtigste in Kürze

• Das Gleichsetzungsverfahren löst lineare Gleichungssysteme, indem beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst und dann gleichgesetzt werden.
• Die fünf Schritte sind: Auflösen, Gleichsetzen, Lösen, Einsetzen, Probe machen.
• Die Probe ist unverzichtbar, um Rechenfehler zu erkennen.
• Geometrisch berechnet das Verfahren den Schnittpunkt zweier Geraden.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welchen Schritt führst du beim Gleichsetzungsverfahren zuerst aus?

Lösung anzeigen

Du löst beide Gleichungen nach derselben Variable auf (meistens nach $y$). Erst dann kannst du die rechten Seiten gleichsetzen.

❓ Frage: Löse das Gleichungssystem: $y = 2x + 1$ und $y = 4x - 3$. Wie lautet die Lösung?

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Gleichsetzen: $2x + 1 = 4x - 3$

Umformen: $1 + 3 = 4x - 2x$, also $4 = 2x$, somit $x = 2$

Einsetzen: $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

Lösung: $\mathbb{L} = \{(2; 5)\}$

❓ Frage: Beim Gleichsetzen erhältst du die Aussage $7 = 7$. Was bedeutet das für das Gleichungssystem?

Lösung anzeigen

Die Aussage $7 = 7$ ist immer wahr. Das bedeutet, dass beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Das System hat unendlich viele Lösungen – jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Gleichsetzungsverfahren gemeistert. Aber es gibt noch zwei weitere Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen: das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Jede Methode hat ihre Stärken. Wenn du alle drei beherrschst, kannst du bei jeder Aufgabe die effizienteste Methode wählen.

Im nächsten Schritt wirst du auch Gleichungssysteme mit drei Variablen kennenlernen. Das Prinzip bleibt gleich, aber du brauchst dann drei Gleichungen. Die Techniken, die du hier gelernt hast, bilden dafür die perfekte Grundlage.