Einsetzungsverfahren einfach erklärt: So löst du lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt

Stell dir vor, du gehst mit einem Freund in die Bäckerei. Zusammen kauft ihr Gipfeli und Brötchen. Dein Freund sagt: “Ich weiss genau, wie viel ein Gipfeli kostet – nämlich doppelt so viel wie ein Brötchen.” Die Verkäuferin nennt euch den Gesamtpreis für alles zusammen. Jetzt habt ihr zwei Informationen: eine Beziehung zwischen den Preisen und einen Gesamtbetrag. Mit diesen beiden Hinweisen könnt ihr herausfinden, was jedes einzelne Gebäckstück kostet.

Genau so funktioniert das Einsetzungsverfahren in der Mathematik. Du hast zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine Gleichung verrät dir, wie die Unbekannten zusammenhängen. Diese Information setzt du in die andere Gleichung ein – und plötzlich hast du nur noch eine Unbekannte. Das Problem wird lösbar.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bevor wir das Einsetzungsverfahren anwenden, müssen wir verstehen, womit wir arbeiten. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Unbekannten. In der 8. Klasse arbeitest du meist mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Zurück zu unserem Bäckerei-Beispiel: Die Aussage “Ein Gipfeli kostet doppelt so viel wie ein Brötchen” lässt sich mathematisch ausdrücken. Nennen wir den Preis eines Gipfelis $x$ und den Preis eines Brötchens $y$. Dann gilt:

$x = 2y$

Die zweite Information – der Gesamtpreis – könnte lauten: “3 Gipfeli und 4 Brötchen kosten zusammen 10 CHF.” Das ergibt:

$3x + 4y = 10$

Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem. Die Lösung ist das Wertepaar $(x, y)$, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Das Einsetzungsverfahren: Dein Werkzeugkasten

Das Einsetzungsverfahren ist eine von drei Methoden, um solche Gleichungssysteme zu lösen. Es eignet sich besonders gut, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist – wie in unserem Beispiel $x = 2y$.

So gehst du vor: Die Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen. Falls noch nicht geschehen, forme eine der beiden Gleichungen so um, dass eine Variable allein auf einer Seite steht.

2. Einsetzen. Nimm den Term, der für die aufgelöste Variable steht, und setze ihn in die andere Gleichung ein. Ersetze dabei die Variable vollständig.

3. Die neue Gleichung lösen. Jetzt hast du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Löse sie nach dieser Unbekannten auf.

4. Die zweite Variable berechnen. Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Berechne die zweite Variable.

5. Probe machen. Setze beide Werte in beide Gleichungen ein. Stimmen die Gleichungen? Dann hast du richtig gerechnet.

DEFINITION

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die du direkt lösen kannst. Mit dem gefundenen Wert berechnest du anschliessend die zweite Variable.

Warum funktioniert das Einsetzungsverfahren?

Der Kern dieser Methode ist ein einfacher logischer Gedanke: Wenn zwei Dinge gleich sind, kannst du das eine durch das andere ersetzen.

In unserem Beispiel wissen wir, dass $x$ und $2y$ den gleichen Wert haben. Überall, wo $x$ vorkommt, könnten wir also auch $2y$ schreiben. Genau das tun wir beim Einsetzen. Wir ersetzen $x$ in der zweiten Gleichung durch $2y$:

$3 \cdot (2y) + 4y = 10$

Jetzt kommt nur noch $y$ vor. Das können wir ausrechnen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Klammern vergessen beim Einsetzen Wenn du einen Term einsetzt, der aus mehreren Teilen besteht, musst du Klammern setzen. Aus $3x$ wird $3 \cdot (2y)$, nicht $3 \cdot 2y$. Bei einfachen Termen wie $x = 2y$ macht das keinen Unterschied. Aber bei $x = y + 3$ wird aus $3x$ dann $3 \cdot (y + 3) = 3y + 9$. Ohne Klammern rechnest du falsch.

Fehler 2: In die falsche Gleichung einsetzen Setze den aufgelösten Term immer in die andere Gleichung ein. Wenn du $x = 2y$ aus der ersten Gleichung hast, setze es in die zweite ein. Setzt du es in die erste ein, erhältst du nur eine wahre Aussage wie $2y = 2y$ – aber keine Lösung.

Fehler 3: Die Probe vergessen Viele Schüler berechnen die Werte und hören dann auf. Aber erst die Probe zeigt, ob du richtig gerechnet hast. Setze beide Werte in beide Originalgleichungen ein. Nur wenn beide Gleichungen aufgehen, ist deine Lösung korrekt.

Beispiele

Beispiel 1: Das Bäckerei-Problem

Wir lösen unser Eingangsbeispiel vollständig.

Gleichungssystem: $x = 2y$ $3x + 4y = 10$

Schritt 1: Die erste Gleichung ist bereits nach $x$ aufgelöst.

Schritt 2: Wir setzen $2y$ für $x$ in die zweite Gleichung ein: $3 \cdot (2y) + 4y = 10$

Schritt 3: Wir lösen nach $y$ auf: $6y + 4y = 10$ $10y = 10$ $y = 1$

Schritt 4: Wir setzen $y = 1$ in die erste Gleichung ein: $x = 2 \cdot 1 = 2$

Schritt 5: Probe in beiden Gleichungen:

• Erste Gleichung: $x = 2y$ → $2 = 2 \cdot 1$ → $2 = 2$ ✓
• Zweite Gleichung: $3x + 4y = 10$ → $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10$ ✓

Lösung: Ein Gipfeli kostet 2 CHF, ein Brötchen kostet 1 CHF.

Beispiel 2: Erst auflösen, dann einsetzen

Manchmal ist keine Gleichung von Anfang an aufgelöst. Dann musst du zuerst umformen.

Gleichungssystem: $2x + y = 7$ $x - y = 2$

Schritt 1: Wir lösen die zweite Gleichung nach $x$ auf: $x - y = 2$ $x = y + 2$

Schritt 2: Wir setzen $y + 2$ für $x$ in die erste Gleichung ein: $2 \cdot (y + 2) + y = 7$

Schritt 3: Wir lösen nach $y$ auf: $2y + 4 + y = 7$ $3y + 4 = 7$ $3y = 3$ $y = 1$

Schritt 4: Wir setzen $y = 1$ in $x = y + 2$ ein: $x = 1 + 2 = 3$

Schritt 5: Probe:

• Erste Gleichung: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ ✓
• Zweite Gleichung: $3 - 1 = 2$ ✓

Lösung: $x = 3$ und $y = 1$, also die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{(3; 1)\}$.

Beispiel 3: Mit Brüchen und negativen Zahlen

Bei diesem Beispiel wird es etwas anspruchsvoller. Die Zahlen sind nicht mehr so “schön”.

Gleichungssystem: $y = 3x - 5$ $4x + 2y = 8$

Schritt 1: Die erste Gleichung ist bereits nach $y$ aufgelöst.

Schritt 2: Wir setzen $3x - 5$ für $y$ in die zweite Gleichung ein: $4x + 2 \cdot (3x - 5) = 8$

Schritt 3: Wir lösen nach $x$ auf: $4x + 6x - 10 = 8$ $10x - 10 = 8$ $10x = 18$ $x = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Schritt 4: Wir setzen $x = \frac{9}{5}$ in die erste Gleichung ein: $y = 3 \cdot \frac{9}{5} - 5$ $y = \frac{27}{5} - \frac{25}{5}$ $y = \frac{2}{5}$

Schritt 5: Probe:

• Erste Gleichung: $y = 3x - 5$ → $\frac{2}{5} = 3 \cdot \frac{9}{5} - 5 = \frac{27}{5} - \frac{25}{5} = \frac{2}{5}$ ✓
• Zweite Gleichung: $4x + 2y = 8$ → $4 \cdot \frac{9}{5} + 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{36}{5} + \frac{4}{5} = \frac{40}{5} = 8$ ✓

Lösung: $x = \frac{9}{5}$ und $y = \frac{2}{5}$, also $\mathbb{L} = \left\{\left(\frac{9}{5}; \frac{2}{5}\right)\right\}$.

Beispiel 4: Eine Textaufgabe aus dem Alltag

Textaufgaben erfordern einen zusätzlichen Schritt: Du musst zuerst die Gleichungen aufstellen.

Aufgabe: In einem Kino kosten Erwachsenentickets und Kindertickets unterschiedlich viel. Eine Familie mit 2 Erwachsenen und 3 Kindern zahlt 49 CHF. Eine andere Gruppe mit 4 Erwachsenen und 1 Kind zahlt 61 CHF. Wie viel kostet jedes Ticket?

Variablen festlegen:

• $e$ = Preis für ein Erwachsenenticket
• $k$ = Preis für ein Kinderticket

Gleichungen aufstellen: $2e + 3k = 49$ $4e + k = 61$

Schritt 1: Wir lösen die zweite Gleichung nach $k$ auf: $k = 61 - 4e$

Schritt 2: Wir setzen dies in die erste Gleichung ein: $2e + 3 \cdot (61 - 4e) = 49$

Schritt 3: Wir lösen nach $e$ auf: $2e + 183 - 12e = 49$ $-10e + 183 = 49$ $-10e = -134$ $e = 13.4$

Schritt 4: Wir berechnen $k$: $k = 61 - 4 \cdot 13.4 = 61 - 53.6 = 7.4$

Schritt 5: Probe:

• $2 \cdot 13.4 + 3 \cdot 7.4 = 26.8 + 22.2 = 49$ ✓
• $4 \cdot 13.4 + 1 \cdot 7.4 = 53.6 + 7.4 = 61$ ✓

Lösung: Ein Erwachsenenticket kostet 13.40 CHF, ein Kinderticket kostet 7.40 CHF.

Wann eignet sich das Einsetzungsverfahren besonders gut?

Das Einsetzungsverfahren ist die beste Wahl, wenn:

• Eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist (z.B. $y = 2x + 1$)
• Eine Variable den Koeffizienten 1 oder -1 hat (z.B. $x + 3y = 5$), weil sich diese leicht auflösen lässt
• Du mit Termen arbeiten möchtest, die du direkt einsetzen kannst

Bei anderen Gleichungssystemen sind manchmal das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren praktischer. Aber das Einsetzungsverfahren funktioniert immer – es ist die universelle Methode.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Lösung ist das Wertepaar, das beide Gleichungen erfüllt.
• Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den Term in die andere Gleichung ein.
• Durch das Einsetzen entsteht eine Gleichung mit einer Unbekannten, die du direkt lösen kannst.
• Klammern beim Einsetzen sind Pflicht, wenn der einzusetzende Term mehrere Summanden enthält.
• Die Probe am Ende ist unverzichtbar – setze beide Werte in beide Originalgleichungen ein.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Gegeben ist das Gleichungssystem: $y = x + 3$ und $2x + y = 9$. Welchen Wert hat $x$?

Lösung anzeigen

Wir setzen $y = x + 3$ in die zweite Gleichung ein: $2x + (x + 3) = 9$ $3x + 3 = 9$ $3x = 6$ $x = 2$

❓ Frage: Warum ist es ein Fehler, den aufgelösten Term in dieselbe Gleichung einzusetzen, aus der er stammt?

Lösung anzeigen

Wenn du den Term in dieselbe Gleichung einsetzt, erhältst du eine Identität – eine Aussage, die immer wahr ist, wie $x + 3 = x + 3$. Du bekommst keine Information über den Wert der Variablen. Das Ziel ist es, die eine Gleichung in die andere einzusetzen, um eine lösbare Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten.

❓ Frage: Löse das Gleichungssystem vollständig: $x = 2y - 1$ und $3x + y = 11$. Gib die Lösungsmenge an.

Lösung anzeigen

Einsetzen: $3 \cdot (2y - 1) + y = 11$ $6y - 3 + y = 11$ $7y = 14$ $y = 2$

Rückrechnung: $x = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Probe:

• $x = 2y - 1$ → $3 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓
• $3x + y = 11$ → $3 \cdot 3 + 2 = 11$ ✓

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{(3; 2)\}$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du beherrschst jetzt das Einsetzungsverfahren – eine mächtige Methode, um Gleichungssysteme zu knacken. Im nächsten Schritt lernst du das Additionsverfahren kennen. Bei dieser Methode addierst oder subtrahierst du die beiden Gleichungen so geschickt, dass eine Variable komplett wegfällt. Das ist besonders praktisch, wenn keine Gleichung bereits aufgelöst ist und die Koeffizienten sich gut ergänzen.

Später wirst du Gleichungssysteme auch graphisch lösen können. Dabei zeichnest du beide Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung. So bekommst du ein anschauliches Bild davon, was du rechnest.

Mit allen drei Verfahren im Gepäck kannst du jedes lineare Gleichungssystem lösen – egal, welche Methode sich am besten eignet.