Additionsverfahren einfach erklärt: So löst du lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt

Stell dir vor, du stehst an der Kasse eines Kiosks. Dein Freund kauft 2 Schokoriegel und 3 Kaugummis für CHF 5.50. Du kaufst 2 Schokoriegel und 1 Kaugummi für CHF 3.50. Wie teuer ist ein einzelner Schokoriegel? Und eine Packung Kaugummi?

Du merkst sofort: Mit einer einzigen Information kommst du nicht weiter. Du brauchst beide Einkäufe, um die Preise herauszufinden. Genau so funktioniert es in der Mathematik mit linearen Gleichungssystemen. Du hast zwei Unbekannte und brauchst zwei Gleichungen, um sie zu bestimmen.

Das Additionsverfahren ist eine clevere Methode, um solche Rätsel systematisch zu lösen. Du wirst lernen, wie du durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren eine Variable zum Verschwinden bringst – und damit das Problem auf eine einfache Gleichung reduzierst.

Vom Kiosk zur Mathematik: Das Problem in Gleichungen übersetzen

Greifen wir das Kiosk-Beispiel wieder auf. Nennen wir den Preis eines Schokoriegels $x$ und den Preis einer Packung Kaugummi $y$.

Der Einkauf deines Freundes lässt sich so schreiben: $2x + 3y = 5.50$

Dein Einkauf sieht mathematisch so aus: $2x + 1y = 3.50$

Du hast jetzt ein lineares Gleichungssystem vor dir. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine Wertetabelle hilft dir, die Situation zu überblicken:

Einkauf	Schokoriegel ($x$)	Kaugummi ($y$)	Gesamtpreis
Freund	2	3	CHF 5.50
Du	2	1	CHF 3.50

Schau dir die Tabelle genau an. Fällt dir etwas auf? Beide Einkäufe enthalten genau 2 Schokoriegel. Das ist der Schlüssel zum Additionsverfahren.

Das Additionsverfahren: Dein Werkzeugkasten

Die Grundidee ist bestechend einfach: Du manipulierst die Gleichungen so, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable verschwindet.

So gehst du vor:

1. Gleichungen untereinander schreiben. Achte darauf, dass gleiche Variablen untereinander stehen.

2. Koeffizienten vergleichen. Suche eine Variable, deren Koeffizienten gleich oder entgegengesetzt sind. Falls nötig, multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl.

3. Gleichungen addieren oder subtrahieren. Wähle die Operation so, dass eine Variable wegfällt.

4. Die übrig gebliebene Gleichung lösen. Du erhältst den Wert der ersten Variable.

5. Rückwärts einsetzen. Setze den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Löse nach der zweiten Variable auf.

6. Probe machen. Setze beide Werte in die andere Gleichung ein. Stimmt die Gleichung, hast du richtig gerechnet.

DEFINITION

Beim Additionsverfahren werden zwei Gleichungen eines linearen Gleichungssystems so addiert oder subtrahiert, dass eine Variable eliminiert wird. Dazu müssen die Koeffizienten dieser Variable betragsmässig gleich sein. Falls nötig, werden die Gleichungen vorher mit geeigneten Faktoren multipliziert.

Der einfache Fall: Gleiche Koeffizienten

Zurück zum Kiosk. Unsere Gleichungen lauten:

$\text{I: } 2x + 3y = 5.50$ $\text{II: } 2x + 1y = 3.50$

Die Koeffizienten von $x$ sind in beiden Gleichungen gleich: $2$. Das ist ideal.

Schritt 1: Subtrahiere Gleichung II von Gleichung I.

$\text{I} - \text{II: } (2x + 3y) - (2x + 1y) = 5.50 - 3.50$

Schritt 2: Vereinfache die linke Seite.

$2x - 2x + 3y - 1y = 2.00$ $2y = 2.00$

Schritt 3: Löse nach $y$ auf.

$y = 1.00$

Eine Packung Kaugummi kostet also CHF 1.00.

Schritt 4: Setze $y = 1.00$ in Gleichung II ein.

$2x + 1 \cdot 1.00 = 3.50$ $2x + 1.00 = 3.50$ $2x = 2.50$ $x = 1.25$

Ein Schokoriegel kostet CHF 1.25.

Schritt 5: Probe mit Gleichung I.

$2 \cdot 1.25 + 3 \cdot 1.00 = 2.50 + 3.00 = 5.50 \checkmark$

Die Lösung stimmt.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Vorzeichenfehler beim Subtrahieren Wenn du Gleichung II von Gleichung I subtrahierst, musst du jeden Term der zweiten Gleichung mit $-1$ multiplizieren. Viele Schüler vergessen das Minuszeichen beim konstanten Term. Schreibe dir die Subtraktion am besten in Klammern auf: $(2x + 3y) - (2x + 1y)$.

Fehler 2: Falsche Gleichung für die Probe verwenden Die Probe musst du mit der Gleichung machen, die du nicht zum Einsetzen verwendet hast. Sonst prüfst du nur, ob du korrekt umgeformt hast – nicht, ob deine Lösung das ganze System erfüllt.

Fehler 3: Multiplikation nicht auf alle Terme anwenden Wenn du eine Gleichung mit einem Faktor multiplizierst, gilt dieser für jeden Term – auch für die Zahl auf der rechten Seite. Bei $3 \cdot (2x + y = 5)$ erhältst du $6x + 3y = 15$, nicht $6x + 3y = 5$.

Beispiele

Beispiel 1: Direktes Addieren

Löse das Gleichungssystem:

$\text{I: } 3x + 2y = 12$ $\text{II: } 3x - 2y = 6$

Analyse: Die Koeffizienten von $y$ sind $+2$ und $-2$. Sie sind entgegengesetzt gleich. Beim Addieren fällt $y$ weg.

Lösung:

$\text{I} + \text{II: } (3x + 2y) + (3x - 2y) = 12 + 6$ $6x = 18$ $x = 3$

Einsetzen in Gleichung I:

$3 \cdot 3 + 2y = 12$ $9 + 2y = 12$ $2y = 3$ $y = 1.5$

Probe mit Gleichung II:

$3 \cdot 3 - 2 \cdot 1.5 = 9 - 3 = 6 \checkmark$

Lösung: $x = 3$ und $y = 1.5$

Beispiel 2: Eine Gleichung multiplizieren

Löse das Gleichungssystem:

$\text{I: } 4x + 3y = 22$ $\text{II: } 2x + y = 8$

Analyse: Keine Koeffizienten sind direkt gleich oder entgegengesetzt. Der Koeffizient von $x$ in Gleichung II ist $2$. Wenn wir Gleichung II mit $2$ multiplizieren, erhalten wir den Koeffizienten $4$.

Schritt 1: Multipliziere Gleichung II mit $2$.

$\text{II}': 2 \cdot (2x + y) = 2 \cdot 8$ $\text{II}': 4x + 2y = 16$

Schritt 2: Subtrahiere die neue Gleichung II’ von Gleichung I.

$\text{I} - \text{II}': (4x + 3y) - (4x + 2y) = 22 - 16$ $4x - 4x + 3y - 2y = 6$ $y = 6$

Schritt 3: Setze $y = 6$ in Gleichung II ein.

$2x + 6 = 8$ $2x = 2$ $x = 1$

Probe mit Gleichung I:

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 6 = 4 + 18 = 22 \checkmark$

Lösung: $x = 1$ und $y = 6$

Beispiel 3: Beide Gleichungen multiplizieren

Löse das Gleichungssystem:

$\text{I: } 3x + 4y = 25$ $\text{II: } 5x + 6y = 39$

Analyse: Die Koeffizienten lassen sich nicht durch einfache Multiplikation einer Gleichung angleichen. Wir müssen beide Gleichungen multiplizieren.

Für $x$: Das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $5$ ist $15$.

• Gleichung I mit $5$ multiplizieren: Koeffizient von $x$ wird $15$.
• Gleichung II mit $3$ multiplizieren: Koeffizient von $x$ wird $15$.

Schritt 1: Multipliziere beide Gleichungen.

$\text{I}': 5 \cdot (3x + 4y) = 5 \cdot 25$ $\text{I}': 15x + 20y = 125$

$\text{II}': 3 \cdot (5x + 6y) = 3 \cdot 39$ $\text{II}': 15x + 18y = 117$

Schritt 2: Subtrahiere II’ von I’.

$\text{I}' - \text{II}': (15x + 20y) - (15x + 18y) = 125 - 117$ $15x - 15x + 20y - 18y = 8$ $2y = 8$ $y = 4$

Schritt 3: Setze $y = 4$ in Gleichung I ein.

$3x + 4 \cdot 4 = 25$ $3x + 16 = 25$ $3x = 9$ $x = 3$

Probe mit Gleichung II:

$5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 15 + 24 = 39 \checkmark$

Lösung: $x = 3$ und $y = 4$

Beispiel 4: Textaufgabe mit negativen Zahlen

In einem Freizeitpark kosten Eintrittskarten für Erwachsene und Kinder unterschiedlich viel. Eine Familie mit 2 Erwachsenen und 3 Kindern zahlt CHF 86. Eine andere Familie mit 4 Erwachsenen und 2 Kindern zahlt CHF 124.

Wie viel kostet eine Erwachsenenkarte? Wie viel eine Kinderkarte?

Aufstellen der Gleichungen:

Sei $e$ der Preis einer Erwachsenenkarte und $k$ der Preis einer Kinderkarte.

$\text{I: } 2e + 3k = 86$ $\text{II: } 4e + 2k = 124$

Strategie: Multipliziere Gleichung I mit $2$, um bei $e$ den Koeffizienten $4$ zu erhalten.

$\text{I}': 4e + 6k = 172$

Subtrahiere Gleichung II von I’:

$\text{I}' - \text{II}: (4e + 6k) - (4e + 2k) = 172 - 124$ $4k = 48$ $k = 12$

Einsetzen in Gleichung I:

$2e + 3 \cdot 12 = 86$ $2e + 36 = 86$ $2e = 50$ $e = 25$

Probe mit Gleichung II:

$4 \cdot 25 + 2 \cdot 12 = 100 + 24 = 124 \checkmark$

Lösung: Eine Erwachsenenkarte kostet CHF 25, eine Kinderkarte CHF 12.

Das Wichtigste in Kürze

• Das Additionsverfahren eliminiert eine Variable durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren zweier Gleichungen.
• Die Koeffizienten der zu eliminierenden Variable müssen betragsmässig gleich sein. Falls nötig, multipliziere eine oder beide Gleichungen vorher.
• Nach dem Eliminieren löst du die verbleibende Gleichung nach der einen Variable. Dann setzt du den Wert in eine ursprüngliche Gleichung ein.
• Die Probe erfolgt immer mit der Gleichung, die du nicht zum Einsetzen verwendet hast.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Gegeben ist das Gleichungssystem: $\text{I: } 5x + 2y = 19$ und $\text{II: } 5x - 2y = 11$. Welche Operation eliminiert eine Variable am schnellsten?

Lösung anzeigen

Die Gleichungen addieren. Die Koeffizienten von $y$ sind $+2$ und $-2$. Beim Addieren erhältst du: $10x = 30$, also $x = 3$.

❓ Frage: Du möchtest im Gleichungssystem $\text{I: } 3x + 2y = 10$ und $\text{II: } 4x + 5y = 23$ die Variable $x$ eliminieren. Mit welchen Faktoren musst du die Gleichungen multiplizieren?

Lösung anzeigen

Gleichung I mit $4$ und Gleichung II mit $3$ multiplizieren. Dann haben beide Gleichungen den Koeffizienten $12$ bei $x$. Alternativ: Gleichung I mit $-4$ und Gleichung II mit $3$, dann kannst du direkt addieren.

❓ Frage: Ein Schüler löst ein Gleichungssystem und erhält $x = 2$ und $y = 5$. Er setzt beide Werte in Gleichung I ein und die Gleichung stimmt. Hat er sicher richtig gerechnet?

Lösung anzeigen

Nein, das reicht nicht aus. Die Probe muss mit der anderen Gleichung gemacht werden. Wenn er $x$ und $y$ aus Gleichung I berechnet hat, muss er die Werte in Gleichung II einsetzen. Nur wenn beide Gleichungen erfüllt sind, ist die Lösung korrekt.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Additionsverfahren gemeistert. Doch es gibt noch andere Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Einsetzungsverfahren löst eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt den Term in die andere Gleichung ein. Das Gleichsetzungsverfahren löst beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt die Terme gleich.

Später wirst du auch Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen kennenlernen. Die Prinzipien bleiben dieselben, doch du brauchst dann mehr Gleichungen und mehr Schritte.

In der Oberstufe wirst du lineare Gleichungssysteme auch graphisch lösen. Jede lineare Gleichung beschreibt eine Gerade. Der Schnittpunkt zweier Geraden ist die Lösung des Systems. Das gibt dir ein völlig neues Verständnis dafür, was du hier algebraisch berechnet hast.