Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen

Stell dir vor, du backst Weihnachtsplätzchen. Du drückst einen Stern-Ausstecher in den Teig – einmal, zweimal, dreimal. Jeder ausgestochene Stern hat exakt die gleiche Form und Grösse wie der Ausstecher. Wenn du zwei dieser Sterne übereinanderlegst, passen sie perfekt aufeinander. Kein Stern ist grösser, keiner hat längere Zacken.

Genau dieses Prinzip der perfekten Übereinstimmung nutzen Mathematiker täglich. Ob Architekten, die identische Fenster entwerfen, oder Ingenieure, die Ersatzteile für Maschinen konstruieren – überall braucht man die Gewissheit, dass zwei Formen wirklich exakt gleich sind. In der Mathematik nennen wir diese perfekte Deckungsgleichheit Kongruenz. Und wenn sich geometrische Figuren schneiden, entstehen dabei neue Formen – die Schnittfiguren. Heute lernst du, wie du Kongruenz erkennst und welche spannenden Eigenschaften Schnittfiguren haben.

Von Plätzchenformen zu geometrischen Figuren

Kehren wir zu unseren Plätzchen zurück. Der Ausstecher ist wie eine Schablone. Jedes Plätzchen, das du damit ausstichst, ist eine Kopie dieser Schablone. In der Geometrie funktioniert das ähnlich: Wenn zwei Figuren kongruent sind, dann ist eine Figur quasi die “Kopie” der anderen.

Aber was bedeutet das genau? Zwei Figuren sind kongruent, wenn du sie so verschieben, drehen oder spiegeln kannst, dass sie perfekt übereinanderliegen. Die Form bleibt dabei immer gleich – du veränderst nur die Position oder Ausrichtung.

Stell dir zwei Dreiecke vor. Das eine liegt auf deinem Tisch, das andere hängt an der Wand. Wenn du das Wanddreieck abnimmst, umdrehst und auf den Tisch legst, und es dann genau auf das andere Dreieck passt – dann sind beide kongruent.

Eigenschaft	Bei Kongruenz
Seitenlängen	Alle entsprechenden Seiten sind gleich lang
Winkel	Alle entsprechenden Winkel sind gleich gross
Flächeninhalt	Identisch
Form	Identisch

Was bedeutet Kongruenz mathematisch?

DEFINITION

Zwei geometrische Figuren heissen kongruent (Zeichen: $\cong$), wenn sie durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren haben die gleiche Form und die gleiche Grösse. Alle entsprechenden Seiten sind gleich lang, und alle entsprechenden Winkel sind gleich gross.

Das Zeichen $\cong$ liest du als “ist kongruent zu”. Wenn Dreieck $ABC$ kongruent zu Dreieck $DEF$ ist, schreibst du:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Wichtig: Die Reihenfolge der Buchstaben verrät dir, welche Ecken einander entsprechen. Bei $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ gilt:

• Ecke $A$ entspricht Ecke $D$
• Ecke $B$ entspricht Ecke $E$
• Ecke $C$ entspricht Ecke $F$

Das bedeutet auch:

• Seite $\overline{AB}$ entspricht Seite $\overline{DE}$
• Seite $\overline{BC}$ entspricht Seite $\overline{EF}$
• Seite $\overline{CA}$ entspricht Seite $\overline{FD}$

Die Kongruenzsätze für Dreiecke

Wie beweist du, dass zwei Dreiecke kongruent sind? Musst du alle sechs Stücke (drei Seiten und drei Winkel) überprüfen? Zum Glück nicht! Die Mathematik hat herausgefunden, dass bestimmte Kombinationen von drei Stücken bereits ausreichen.

Der SSS-Satz (Seite-Seite-Seite)

Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks genauso lang sind wie die drei Seiten eines anderen Dreiecks, dann sind die Dreiecke kongruent.

$a_1 = a_2, \quad b_1 = b_2, \quad c_1 = c_2 \quad \Rightarrow \quad \triangle_1 \cong \triangle_2$

Der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite)

Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel eines Dreiecks mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines anderen Dreiecks übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent.

Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel zwischen den beiden betrachteten Seiten.

Der WSW-Satz (Winkel-Seite-Winkel)

Wenn zwei Winkel und die eingeschlossene Seite eines Dreiecks mit zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite eines anderen Dreiecks übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent.

Der SsW-Satz (Seite-Seite-Winkel)

Wenn zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent. Das kleine “s” erinnert dich daran, dass dieser Satz nur unter bestimmten Bedingungen gilt.

Schnittfiguren verstehen

Was passiert, wenn sich zwei geometrische Figuren überlappen? Der Bereich, in dem beide Figuren gleichzeitig liegen, heisst Schnittfigur oder Schnittmenge.

DEFINITION

Die Schnittfigur (auch Schnittmenge genannt) zweier geometrischer Figuren $A$ und $B$ ist die Menge aller Punkte, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. Man schreibt: $A \cap B$ (gelesen: “A geschnitten B”).

Stell dir vor, du legst ein rotes und ein blaues Blatt Papier übereinander, sodass sie sich teilweise überlappen. Der Bereich, der sowohl rot als auch blau ist (also lila erscheint), ist die Schnittfigur.

Arten von Schnittfiguren

Je nachdem, welche Figuren sich schneiden und wie sie zueinander liegen, entstehen unterschiedliche Schnittfiguren:

Ausgangsfiguren	Mögliche Schnittfigur
Zwei Kreise	Linsenform, ein Punkt, leere Menge
Kreis und Gerade	Strecke (Sehne), ein Punkt, leere Menge
Zwei Rechtecke	Rechteck, Strecke, Punkt, leere Menge
Zwei Dreiecke	Vieleck (3- bis 6-eckig), Strecke, Punkt, leere Menge

Die leere Menge bedeutet, dass sich die Figuren gar nicht berühren. Man schreibt dafür $\emptyset$ oder $\{\}$.

Kongruenz bei Schnittfiguren

Hier wird es richtig spannend: Schnittfiguren und Kongruenz hängen eng zusammen. Wenn du zwei kongruente Figuren auf bestimmte Weise übereinander legst, entstehen Schnittfiguren mit besonderen Eigenschaften.

Symmetrische Schnittfiguren

Legst du zwei kongruente Figuren so übereinander, dass sie sich teilweise überlappen, ist die entstehende Schnittfigur oft symmetrisch. Das liegt daran, dass kongruente Figuren spiegelbildlich aufgebaut sind.

Schnittfiguren bei parallelen Geraden

Wenn eine Gerade zwei parallele Geraden schneidet, entstehen interessante Winkelbeziehungen:

• Stufenwinkel sind gleich gross
• Wechselwinkel sind gleich gross
• Nebenwinkel ergänzen sich zu $180°$

Diese Eigenschaften nutzt du, um zu beweisen, dass bestimmte Dreiecke kongruent sind.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Buchstabenreihenfolge ignorieren Bei $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ist die Reihenfolge entscheidend! $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$. Wenn du die Reihenfolge vertauschst, vergleichst du die falschen Seiten und Winkel miteinander.

Fehler 2: Ähnlichkeit mit Kongruenz verwechseln Ähnliche Figuren haben die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Grösse. Ein kleines und ein grosses Quadrat sind ähnlich, aber nicht kongruent! Kongruenz erfordert gleiche Form und gleiche Grösse.

Fehler 3: Beim SsW-Satz den falschen Winkel wählen Der Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben – dann gilt der Kongruenzsatz nicht!

Beispiele

Beispiel 1: Kongruenz mit dem SSS-Satz nachweisen

Aufgabe: Zeige, dass die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ kongruent sind, wenn gilt: $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 7 \, \text{cm}$, $\overline{CA} = 6 \, \text{cm}$ $\overline{DE} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 7 \, \text{cm}$, $\overline{FD} = 6 \, \text{cm}$

Lösung:

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

$\overline{AB} = \overline{DE} = 5 \, \text{cm}$

$\overline{BC} = \overline{EF} = 7 \, \text{cm}$

$\overline{CA} = \overline{FD} = 6 \, \text{cm}$

Alle drei Seitenpaare sind gleich lang. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Beispiel 2: Kongruenzsatz identifizieren

Aufgabe: Welcher Kongruenzsatz passt? Gegeben sind zwei Dreiecke mit:

• Seite $a = 8 \, \text{cm}$
• Seite $b = 6 \, \text{cm}$
• Der eingeschlossene Winkel $\gamma = 45°$

Lösung:

Wir haben zwei Seiten ($a$ und $b$) und einen Winkel ($\gamma$).

Der Winkel $\gamma$ liegt bei der Ecke $C$. Das ist genau die Ecke, an der die Seiten $a$ und $b$ zusammentreffen.

Also ist $\gamma$ der eingeschlossene Winkel zwischen $a$ und $b$.

Das entspricht dem SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite).

Wenn ein zweites Dreieck dieselben Masse hat ($a = 8 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, $\gamma = 45°$), dann sind beide Dreiecke kongruent.

Beispiel 3: Schnittfigur zweier Quadrate bestimmen

Aufgabe: Zwei kongruente Quadrate mit Seitenlänge $4 \, \text{cm}$ überlappen sich. Das zweite Quadrat ist um $1 \, \text{cm}$ nach rechts und $1 \, \text{cm}$ nach oben verschoben. Bestimme die Form und den Flächeninhalt der Schnittfigur.

Lösung:

Schritt 1: Die Ausgangssituation verstehen

Das erste Quadrat hat die Ecken bei $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, 4)$ und $(0, 4)$.

Das zweite Quadrat ist verschoben und hat die Ecken bei $(1, 1)$, $(5, 1)$, $(5, 5)$ und $(1, 5)$.

Schritt 2: Die Schnittfigur bestimmen

Die Überlappung liegt dort, wo beide Quadrate gleichzeitig sind:

• Horizontal: von $x = 1$ bis $x = 4$ (Breite: $3 \, \text{cm}$)
• Vertikal: von $y = 1$ bis $y = 4$ (Höhe: $3 \, \text{cm}$)

Die Schnittfigur ist ein Quadrat mit Seitenlänge $3 \, \text{cm}$.

Schritt 3: Den Flächeninhalt berechnen

$A = 3 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 9 \, \text{cm}^2$

Die Schnittfigur ist ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $9 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 4: Kongruente Dreiecke in einer Schnittfigur finden

Aufgabe: Zwei Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S$. Zeige, dass die gegenüberliegenden Dreiecke, die durch eine weitere Gerade entstehen, kongruent sind.

Lösung:

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel. Die gegenüberliegenden Winkel heissen Scheitelwinkel und sind immer gleich gross.

Schritt 1: Winkel benennen

Bezeichne die Winkel bei $S$ als $\alpha$, $\beta$, $\alpha'$ und $\beta'$.

Es gilt: $\alpha = \alpha'$ und $\beta = \beta'$ (Scheitelwinkel).

Schritt 2: Eine dritte Gerade hinzufügen

Eine Gerade $f$ schneidet $g$ in Punkt $P$ und $h$ in Punkt $Q$.

Es entstehen zwei Dreiecke: $\triangle SP X_1$ und $\triangle SQ X_2$ auf gegenüberliegenden Seiten.

Schritt 3: Kongruenz prüfen

In den gegenüberliegenden Dreiecken gilt:

• Scheitelwinkel bei $S$ sind gleich
• Wenn $\overline{SP} = \overline{SQ}$, haben wir gleiche Seiten
• Die Winkel bei $P$ und $Q$ können als Wechselwinkel gleich sein

Nach dem WSW-Satz oder SWS-Satz (je nach gegebenen Informationen) sind die Dreiecke kongruent.

Das Wichtigste in Kürze

• Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit: Zwei Figuren sind kongruent ($\cong$), wenn sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung gebracht werden können.
• Die Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW) erlauben es, die Kongruenz von Dreiecken mit nur drei passenden Angaben zu beweisen.
• Die Schnittfigur zweier geometrischer Figuren ist die Fläche, die zu beiden Figuren gehört (Schreibweise: $A \cap B$).
• Bei der Buchstabenreihenfolge (z.B. $\triangle ABC \cong \triangle DEF$) entsprechen die Buchstaben an gleicher Position einander.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welcher Kongruenzsatz gilt, wenn zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen?

Lösung anzeigen

Der SSS-Satz (Seite-Seite-Seite). Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks genauso lang sind wie die entsprechenden drei Seiten eines anderen Dreiecks, dann sind die beiden Dreiecke kongruent.

❓ Frage: Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$ und den Winkel $\angle ABC = 60°$. Ein zweites Dreieck $DEF$ hat $\overline{DE} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle DEF = 60°$. Sind die Dreiecke kongruent? Begründe!

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Ja, die Dreiecke sind kongruent nach dem SWS-Satz.

Der Winkel $\angle ABC$ liegt bei Ecke $B$, also zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$. Es handelt sich um den eingeschlossenen Winkel zwischen zwei bekannten Seiten.

Ebenso liegt $\angle DEF$ zwischen $\overline{DE}$ und $\overline{EF}$.

Da zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen, gilt: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

❓ Frage: Zwei Kreise mit Radius $r = 3 \, \text{cm}$ haben ihre Mittelpunkte $4 \, \text{cm}$ voneinander entfernt. Beschreibe die Schnittfigur.

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Die Schnittfigur hat die Form einer Linse (auch “Vesica Piscis” genannt).

Da der Abstand der Mittelpunkte ($4 \, \text{cm}$) kleiner ist als die Summe der Radien ($3 + 3 = 6 \, \text{cm}$), aber grösser als die Differenz ($3 - 3 = 0 \, \text{cm}$), überlappen sich die Kreise teilweise.

Die Schnittfigur wird von zwei Kreisbögen begrenzt und sieht aus wie ein Auge oder eine Linse. Sie hat zwei Spitzen, dort wo sich die Kreisränder schneiden.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, wann zwei Figuren kongruent sind und wie du Schnittfiguren bestimmst. Im nächsten Schritt wirst du dich mit Ähnlichkeit beschäftigen. Während kongruente Figuren exakt gleich gross sind, haben ähnliche Figuren nur die gleiche Form – sie können aber unterschiedlich gross sein.

Die Ähnlichkeit ist das Werkzeug, mit dem du masstabsgetreue Vergrösserungen und Verkleinerungen verstehst. Du wirst den Strahlensatz kennenlernen und ihn nutzen, um Längen zu berechnen, die du nicht direkt messen kannst – zum Beispiel die Höhe eines Baumes oder die Breite eines Flusses. Die Konzepte der Kongruenz bilden dafür die perfekte Grundlage!