Kongruenz einfach erklärt: So erkennst du kongruente Figuren

Stell dir vor, du backst Weihnachtsplätzchen mit deiner Lieblings-Ausstechform. Jeder Teig-Stern, der aus der Form kommt, sieht exakt gleich aus. Gleiche Grösse, gleiche Zacken, gleiche Winkel. Wenn du zwei dieser Sterne übereinanderlegst, decken sie sich perfekt. In der Mathematik nennen wir solche Figuren kongruent. Dieses Konzept ist nicht nur für Plätzchen nützlich. Es hilft dir zu beweisen, dass zwei geometrische Figuren identisch sind – selbst wenn eine davon gedreht, gespiegelt oder verschoben wurde.

Von der Ausstechform zur mathematischen Kongruenz

Kehren wir zu unseren Plätzchen zurück. Die Ausstechform ist wie eine Schablone. Egal, wie oft du sie benutzt, das Ergebnis ist immer dasselbe. Die Plätzchen sind deckungsgleich.

Jetzt übertragen wir das auf die Geometrie. Stell dir zwei Dreiecke vor. Eines liegt auf deinem Blatt. Das andere ist gedreht und befindet sich in einer Ecke. Sehen sie gleich aus? Vielleicht. Aber sind sie wirklich identisch? Um das herauszufinden, könntest du eines ausschneiden und auf das andere legen. Passen alle Seiten und alle Winkel genau aufeinander? Dann sind die Dreiecke kongruent.

In der Mathematik können wir Figuren nicht einfach ausschneiden. Wir brauchen präzise Werkzeuge. Wir messen Seitenlängen und Winkel. Wir vergleichen diese Masse systematisch.

Was bedeutet Kongruenz genau?

Zwei Figuren heissen kongruent, wenn sie in Form und Grösse vollständig übereinstimmen. Das bedeutet konkret:

• Alle entsprechenden Seiten haben die gleiche Länge.
• Alle entsprechenden Winkel haben die gleiche Grösse.

DEFINITION

Zwei geometrische Figuren sind kongruent, wenn sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung gebracht werden können. Alle entsprechenden Seiten und Winkel stimmen überein. Das mathematische Symbol für Kongruenz ist $\cong$. Wenn Dreieck $ABC$ kongruent zu Dreieck $DEF$ ist, schreiben wir: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Wichtig ist dabei die Reihenfolge der Buchstaben. Wenn wir $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ schreiben, bedeutet das:

• Punkt $A$ entspricht Punkt $D$
• Punkt $B$ entspricht Punkt $E$
• Punkt $C$ entspricht Punkt $F$

Daraus folgt:

• Seite $\overline{AB}$ entspricht Seite $\overline{DE}$
• Seite $\overline{BC}$ entspricht Seite $\overline{EF}$
• Seite $\overline{CA}$ entspricht Seite $\overline{FD}$
• Winkel $\angle A$ entspricht Winkel $\angle D$
• Winkel $\angle B$ entspricht Winkel $\angle E$
• Winkel $\angle C$ entspricht Winkel $\angle F$

Kongruenz vs. Ähnlichkeit: Der wichtige Unterschied

Bevor wir weitergehen, klären wir einen Begriff, der oft verwechselt wird. Ähnliche Figuren haben die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Grösse. Denke an ein Foto und seine Vergrösserung. Die Proportionen stimmen, aber die Masse sind unterschiedlich.

Kongruente Figuren hingegen sind wie Kopien im Massstab 1:1. Gleiche Form und gleiche Grösse.

Ein kleines Dreieck und ein grosses Dreieck mit denselben Winkeln sind ähnlich. Aber nur zwei Dreiecke mit identischen Seitenlängen und Winkeln sind kongruent.

Die Kongruenzsätze für Dreiecke

Bei Dreiecken gibt es eine praktische Abkürzung. Du musst nicht alle sechs Masse (drei Seiten und drei Winkel) vergleichen. Es reichen bestimmte Kombinationen aus drei Angaben. Diese Regeln heissen Kongruenzsätze.

Der SSS-Satz (Seite-Seite-Seite)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle drei Seiten des einen Dreiecks gleich lang sind wie die entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks.

$$a_1 = a_2, \quad b_1 = b_2, \quad c_1 = c_2 \implies \triangle_1 \cong \triangle_2$$

Warum funktioniert das? Wenn du drei Stäbe mit festen Längen hast, kannst du daraus nur ein einziges Dreieck bauen. Die Form ist eindeutig bestimmt.

Der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Der eingeschlossene Winkel liegt zwischen den beiden Seiten.

$$a_1 = a_2, \quad \gamma_1 = \gamma_2, \quad b_1 = b_2 \implies \triangle_1 \cong \triangle_2$$

Hier ist $\gamma$ der Winkel zwischen den Seiten $a$ und $b$.

Der WSW-Satz (Winkel-Seite-Winkel)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eine Seite und die beiden anliegenden Winkel übereinstimmen.

$$\alpha_1 = \alpha_2, \quad c_1 = c_2, \quad \beta_1 = \beta_2 \implies \triangle_1 \cong \triangle_2$$

Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ liegen an den Enden der Seite $c$.

Der SsW-Satz (Seite-Seite-Winkel gegenüber der grösseren Seite)

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite übereinstimmen. Dieser Satz ist etwas kniffliger und wird manchmal auch als SSW-Satz bezeichnet.

$$a_1 = a_2, \quad b_1 = b_2, \quad \alpha_1 = \alpha_2 \implies \triangle_1 \cong \triangle_2$$

Dabei muss $a > b$ gelten und $\alpha$ ist der Winkel gegenüber der Seite $a$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Falsche Zuordnung der Eckpunkte Wenn du $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ schreibst, müssen die Buchstaben in der richtigen Reihenfolge stehen. $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$. Eine falsche Zuordnung führt zu falschen Schlussfolgerungen über Seiten und Winkel.

Fehler 2: WSW mit SWS verwechseln Beim SWS-Satz muss der Winkel zwischen den beiden Seiten liegen. Beim WSW-Satz müssen die Winkel an der gegebenen Seite liegen. Diese Unterscheidung ist entscheidend.

Fehler 3: Den WWW-”Satz” anwenden Drei gleiche Winkel beweisen keine Kongruenz! Dreiecke mit identischen Winkeln können unterschiedlich gross sein. Das beweist nur Ähnlichkeit, nicht Kongruenz. Mindestens eine Seitenlänge muss übereinstimmen.

Beispiele

Beispiel 1: Kongruenz mit dem SSS-Satz prüfen

Gegeben sind zwei Dreiecke mit folgenden Seitenlängen:

Dreieck $ABC$: $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$, $c = 8 \, \text{cm}$

Dreieck $DEF$: $d = 7 \, \text{cm}$, $e = 8 \, \text{cm}$, $f = 5 \, \text{cm}$

Frage: Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung: Wir vergleichen die Seitenlängen und suchen eine passende Zuordnung.

• Seite $a = 5 \, \text{cm}$ im ersten Dreieck. Im zweiten Dreieck hat Seite $f = 5 \, \text{cm}$.
• Seite $b = 7 \, \text{cm}$ im ersten Dreieck. Im zweiten Dreieck hat Seite $d = 7 \, \text{cm}$.
• Seite $c = 8 \, \text{cm}$ im ersten Dreieck. Im zweiten Dreieck hat Seite $e = 8 \, \text{cm}$.

Die Seiten stimmen überein, wenn wir die Zuordnung $A \leftrightarrow F$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow E$ wählen.

Nach dem SSS-Satz gilt:

$$\triangle ABC \cong \triangle FDE$$

Die Dreiecke sind kongruent.

Beispiel 2: Kongruenz mit dem SWS-Satz beweisen

In einem Viereck $ABCD$ schneiden sich die Diagonalen im Punkt $M$. Es gilt:

$$\overline{AM} = \overline{CM} = 4 \, \text{cm}$$$$\overline{BM} = \overline{DM} = 3 \, \text{cm}$$

Frage: Sind die Dreiecke $ABM$ und $CDM$ kongruent?

Lösung: Wir untersuchen die Dreiecke $ABM$ und $CDM$.

Schritt 1: Identifiziere die Seiten und Winkel.

• In $\triangle ABM$: Seite $\overline{AM} = 4 \, \text{cm}$, Seite $\overline{BM} = 3 \, \text{cm}$
• In $\triangle CDM$: Seite $\overline{CM} = 4 \, \text{cm}$, Seite $\overline{DM} = 3 \, \text{cm}$

Schritt 2: Untersuche die eingeschlossenen Winkel. Die Winkel $\angle AMB$ und $\angle CMD$ sind Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich gross.

$$\angle AMB = \angle CMD$$

Schritt 3: Wende den SWS-Satz an.

• $\overline{AM} = \overline{CM} = 4 \, \text{cm}$
• $\angle AMB = \angle CMD$ (Scheitelwinkel)
• $\overline{BM} = \overline{DM} = 3 \, \text{cm}$

Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten. Nach dem SWS-Satz gilt:

$$\triangle ABM \cong \triangle CDM$$

Beispiel 3: Den passenden Kongruenzsatz auswählen

Von zwei Dreiecken kennst du folgende Informationen:

Dreieck $PQR$: $\angle P = 50°$, $\overline{PQ} = 6 \, \text{cm}$, $\angle Q = 70°$

Dreieck $XYZ$: $\angle X = 50°$, $\overline{XY} = 6 \, \text{cm}$, $\angle Y = 70°$

Frage: Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar? Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung: Schritt 1: Analysiere die gegebenen Informationen. Wir haben jeweils einen Winkel, eine Seite und einen weiteren Winkel.

Schritt 2: Prüfe die Lage der Winkel zur Seite.

• Im Dreieck $PQR$ liegt die Seite $\overline{PQ}$ zwischen den Punkten $P$ und $Q$.
• Der Winkel $\angle P = 50°$ liegt am Punkt $P$ (an der Seite $\overline{PQ}$).
• Der Winkel $\angle Q = 70°$ liegt am Punkt $Q$ (an der Seite $\overline{PQ}$).

Die Winkel liegen an den Endpunkten der gegebenen Seite. Das ist die Konstellation für den WSW-Satz.

Schritt 3: Vergleiche die entsprechenden Elemente.

• $\angle P = \angle X = 50°$
• $\overline{PQ} = \overline{XY} = 6 \, \text{cm}$
• $\angle Q = \angle Y = 70°$

Schritt 4: Wende den WSW-Satz an.

Nach dem WSW-Satz gilt:

$$\triangle PQR \cong \triangle XYZ$$

Die Dreiecke sind kongruent.

Beispiel 4: Anwendung im Alltag – Möbelaufbau

Du baust ein Regal zusammen. Die Anleitung zeigt ein Dreieck als Verstärkung mit den Massen: Seiten von $30 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$ und $50 \, \text{cm}$. Du hast zwei dreieckige Metallplatten geliefert bekommen.

Platte 1: Seiten $30 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$, $50 \, \text{cm}$

Platte 2: Seiten $30 \, \text{cm}$, $50 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$

Frage: Sind beide Platten identisch und passen sie zur Anleitung?

Lösung: Wir vergleichen die Seitenlängen.

• Platte 1: $\{30, 40, 50\} \, \text{cm}$
• Platte 2: $\{30, 50, 40\} \, \text{cm}$

Sortiert ergeben beide Platten die Menge $\{30, 40, 50\} \, \text{cm}$.

Die Reihenfolge, in der die Seiten aufgelistet sind, ändert nichts am Dreieck selbst. Entscheidend sind nur die Längenwerte.

Nach dem SSS-Satz sind beide Platten kongruent zueinander und zur Vorlage in der Anleitung. Beide Platten passen.

Das Wichtigste in Kürze

• Kongruente Figuren sind deckungsgleich. Sie haben die gleiche Form und die gleiche Grösse.
• Das Symbol für Kongruenz ist $\cong$.
• Bei kongruenten Figuren stimmen alle entsprechenden Seiten und Winkel überein.
• Für Dreiecke gibt es vier Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW und SsW. Mit diesen kannst du Kongruenz beweisen, ohne alle sechs Masse zu kennen.
• WWW reicht nicht! Drei gleiche Winkel beweisen nur Ähnlichkeit, keine Kongruenz.
• Die Reihenfolge der Eckpunkte in der Kongruenzaussage bestimmt die Zuordnung der entsprechenden Elemente.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$. Dreieck $DEF$ hat die Seiten $d = 6 \, \text{cm}$, $e = 8 \, \text{cm}$, $f = 10 \, \text{cm}$. Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung anzeigen

Nein, die Dreiecke sind nicht kongruent.

Die Seiten von Dreieck $DEF$ sind jeweils doppelt so lang wie die von Dreieck $ABC$:

• $d = 2 \cdot a$
• $e = 2 \cdot b$
• $f = 2 \cdot c$

Die Dreiecke haben zwar die gleichen Proportionen und sind daher ähnlich, aber sie haben unterschiedliche Grössen. Für Kongruenz müssten alle Seitenlängen exakt übereinstimmen.

❓ Frage: Von zwei Dreiecken weisst du: Dreieck 1 hat die Winkel $60°$, $60°$ und $60°$. Dreieck 2 hat ebenfalls die Winkel $60°$, $60°$ und $60°$. Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar?

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Keiner!

Drei übereinstimmende Winkel (WWW) sind kein Kongruenzsatz. Du kannst unendlich viele Dreiecke zeichnen, die alle Winkel von $60°$ haben, aber unterschiedlich gross sind.

Diese Information beweist nur, dass die Dreiecke ähnlich sind (beide sind gleichseitige Dreiecke). Für einen Kongruenzbeweis fehlt mindestens eine Seitenlänge.

❓ Frage: Gegeben: $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$ mit $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$ und $\angle C = 40°$. Was weisst du über Dreieck $XYZ$?

Lösung anzeigen

Aus der Kongruenzaussage $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$ folgt die Zuordnung:

• $A \leftrightarrow X$
• $B \leftrightarrow Y$
• $C \leftrightarrow Z$

Daraus ergibt sich:

• Die Seite $\overline{AB}$ entspricht der Seite $\overline{XY}$. Also: $\overline{XY} = 5 \, \text{cm}$
• Der Winkel $\angle C$ entspricht dem Winkel $\angle Z$. Also: $\angle Z = 40°$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt ein solides Verständnis von Kongruenz. Der nächste logische Schritt in der Geometrie ist die Ähnlichkeit von Figuren. Dort lernst du, wie du Figuren vergleichst, die zwar die gleiche Form haben, aber unterschiedlich gross sind. Du wirst sehen, dass die Kongruenz eigentlich ein Spezialfall der Ähnlichkeit ist – nämlich Ähnlichkeit mit dem Vergrösserungsfaktor $1$.

Ausserdem wirst du die Kongruenzsätze nutzen, um geometrische Beweise zu führen. Zum Beispiel kannst du damit zeigen, warum die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck immer gleich gross sind.