Kongruente Dreiecke einfach erklärt: Die 4 Kongruenzsätze verstehen und anwenden

Stell dir vor, du arbeitest in einer Schreinerei und sollst ein dreieckiges Regal nachbauen. Du hast das Original vor dir, aber du kannst es nicht einfach kopieren – du musst es neu konstruieren. Welche Masse musst du messen, damit dein neues Regal exakt gleich wird wie das Original? Reichen die drei Seitenlängen? Oder brauchst du auch die Winkel? Und wenn ja, welche?

Genau diese Fragen beantwortet die Kongruenzlehre. Sie zeigt dir, welche Mindestinformationen du brauchst, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen – und wann zwei Dreiecke tatsächlich “identisch” sind.

Was bedeutet Kongruenz überhaupt?

Das Wort “kongruent” stammt aus dem Lateinischen und bedeutet “übereinstimmend” oder “deckungsgleich”. Zwei geometrische Figuren sind kongruent, wenn sie in Form und Grösse exakt übereinstimmen.

Zurück zu unserem Regal-Beispiel: Wenn dein nachgebautes Regal kongruent zum Original ist, dann könntest du es theoretisch so auf das Original legen, dass beide perfekt übereinanderpassen. Dabei darfst du das Regal drehen, verschieben oder sogar umdrehen (spiegeln) – aber nicht vergrössern oder verkleinern.

Bei Dreiecken bedeutet das konkret:

• Alle drei Seiten sind gleich lang
• Alle drei Winkel sind gleich gross

Das mathematische Symbol für Kongruenz ist $\cong$. Wenn das Dreieck $ABC$ kongruent zum Dreieck $DEF$ ist, schreiben wir:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Dabei ist die Reihenfolge der Buchstaben wichtig! Sie zeigt dir, welche Ecken einander entsprechen: $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$ und $C$ entspricht $F$.

Die zentrale Frage: Wie viel Information braucht man?

Ein Dreieck hat insgesamt sechs Bestimmungsstücke: drei Seiten ($a$, $b$, $c$) und drei Winkel ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Musst du alle sechs kennen, um ein Dreieck eindeutig zu beschreiben?

Die Antwort ist: Nein! Du brauchst nur drei passende Bestimmungsstücke – aber nicht jede beliebige Kombination funktioniert.

Die vier Kongruenzsätze sagen dir genau, welche Kombinationen ausreichen, um ein Dreieck eindeutig festzulegen. Wenn zwei Dreiecke in diesen drei Bestimmungsstücken übereinstimmen, dann sind sie automatisch kongruent.

DEFINITION

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer der folgenden Kombinationen übereinstimmen:

• SSS (Seite-Seite-Seite): Alle drei Seiten sind gleich lang.
• SWS (Seite-Winkel-Seite): Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gleich.
• WSW (Winkel-Seite-Winkel): Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite sind gleich.
• SSW (Seite-Seite-Winkel): Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite sind gleich.

Der SSS-Satz: Drei Seiten genügen

Der einfachste Kongruenzsatz ist SSS. Er besagt: Wenn du die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks kennst, ist das Dreieck eindeutig bestimmt.

Warum ist das so? Stell dir vor, du hast drei Stäbe mit den Längen $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und $c = 8 \, \text{cm}$. Wenn du diese zu einem Dreieck zusammenlegst, gibt es nur eine einzige Möglichkeit, wie sie zusammenpassen. Du kannst das Dreieck nicht “verbiegen” – die Form ist fix.

Anwendung: Zwei Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ sind kongruent nach SSS, wenn gilt:

$\overline{AB} = \overline{DE}, \quad \overline{BC} = \overline{EF}, \quad \overline{CA} = \overline{FD}$

Der SWS-Satz: Zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Der SWS-Satz verlangt zwei Seiten und den Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird. Dieser Winkel liegt also genau zwischen den zwei Seiten.

Warum funktioniert das? Wenn du zwei Stäbe nimmst und sie in einem festen Winkel zusammenhältst, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit, das Dreieck zu schliessen: Du verbindest die freien Enden.

Anwendung: Zwei Dreiecke sind kongruent nach SWS, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zum Beispiel:

$\overline{AB} = \overline{DE}, \quad \angle B = \angle E, \quad \overline{BC} = \overline{EF}$

Hier ist $\angle B$ der Winkel zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$.

Der WSW-Satz: Zwei Winkel und die Seite dazwischen

Beim WSW-Satz kennst du zwei Winkel und die Seite, die diese beiden Winkel verbindet. Die Seite liegt also zwischen den zwei Winkeln.

Anwendung: Zwei Dreiecke sind kongruent nach WSW, wenn zwei Winkel und die eingeschlossene Seite übereinstimmen:

$\angle A = \angle D, \quad \overline{AB} = \overline{DE}, \quad \angle B = \angle E$

Interessanter Nebeneffekt: Da die Winkelsumme im Dreieck immer $180°$ beträgt, ist der dritte Winkel automatisch auch festgelegt. Deshalb funktioniert auch die Variante “SWW” (Seite-Winkel-Winkel), bei der die Seite einer der beiden Winkel gegenüberliegt.

Der SSW-Satz: Der Sonderfall

Der SSW-Satz ist der kniffligste der vier Kongruenzsätze. Er besagt: Zwei Seiten und ein Winkel reichen zur Kongruenz – aber nur, wenn der Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt.

Warum diese Einschränkung? Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei verschiedene Lösungen geben. Diesen Fall nennt man auch den “zweideutigen Fall” der Dreiecksbestimmung.

Anwendung: Zwei Dreiecke sind kongruent nach SSW, wenn gilt:

$\overline{AB} = \overline{DE}, \quad \overline{BC} = \overline{EF}, \quad \angle A = \angle D$

Dabei muss $\overline{BC}$ die längere der beiden Seiten sein (die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel $\angle A$).

Häufige Fehler bei den Kongruenzsätzen:

1. SWS mit dem falschen Winkel: Der Winkel muss zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen. Wenn der Winkel einer Seite gegenüberliegt, ist es kein SWS-Fall!

2. WSW mit der falschen Seite: Die Seite muss zwischen den beiden Winkeln liegen, also die beiden Winkel verbinden.

3. SSW ohne Prüfung der Seitenlängen: Beim SSW-Satz musst du immer überprüfen, ob der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Sonst ist die Kongruenz nicht garantiert.

4. WWW ist kein Kongruenzsatz: Drei gleiche Winkel bedeuten nicht, dass zwei Dreiecke kongruent sind! Sie haben zwar die gleiche Form, können aber unterschiedlich gross sein (man nennt sie dann “ähnlich”, nicht “kongruent”).

Beispiele

Beispiel 1: Kongruenz nach SSS erkennen

Gegeben sind zwei Dreiecke mit folgenden Seitenlängen:

Dreieck $ABC$: $\overline{AB} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 6 \, \text{cm}$, $\overline{CA} = 5 \, \text{cm}$

Dreieck $DEF$: $\overline{DE} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 6 \, \text{cm}$, $\overline{FD} = 5 \, \text{cm}$

Lösung:

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

• $\overline{AB} = \overline{DE} = 4 \, \text{cm}$ ✓
• $\overline{BC} = \overline{EF} = 6 \, \text{cm}$ ✓
• $\overline{CA} = \overline{FD} = 5 \, \text{cm}$ ✓

Alle drei Seiten stimmen überein. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Beispiel 2: Kongruenzsatz bestimmen und anwenden

In einem Dreieck $ABC$ gilt: $\overline{AB} = 7 \, \text{cm}$, $\angle A = 50°$ und $\overline{AC} = 9 \, \text{cm}$.

Ein Dreieck $PQR$ hat folgende Masse: $\overline{PQ} = 7 \, \text{cm}$, $\angle P = 50°$ und $\overline{PR} = 9 \, \text{cm}$.

Sind die Dreiecke kongruent? Wenn ja, nach welchem Satz?

Lösung:

Analysieren wir die gegebenen Stücke im Dreieck $ABC$:

• Seite $\overline{AB}$
• Winkel $\angle A$ (bei Ecke $A$)
• Seite $\overline{AC}$

Der Winkel $\angle A$ liegt zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$. Es handelt sich also um den Fall Seite-Winkel-Seite (SWS).

Vergleich der entsprechenden Stücke:

• $\overline{AB} = \overline{PQ} = 7 \, \text{cm}$ ✓
• $\angle A = \angle P = 50°$ ✓
• $\overline{AC} = \overline{PR} = 9 \, \text{cm}$ ✓

Nach dem SWS-Satz sind die Dreiecke kongruent:

$\triangle ABC \cong \triangle PQR$

Beispiel 3: SSW-Satz kritisch prüfen

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit: $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle A = 40°$.

Ein Dreieck $XYZ$ hat: $\overline{XY} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{YZ} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle X = 40°$.

Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Wir haben zwei Seiten und einen Winkel – das ist potentiell ein SSW-Fall. Aber wir müssen prüfen, ob die Bedingung erfüllt ist.

Der Winkel $\angle A$ (bzw. $\angle X$) liegt bei Ecke $A$. Die Seite gegenüber von $\angle A$ ist $\overline{BC}$.

Vergleich der beiden Seiten:

• $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$
• $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$

Die Seite $\overline{BC}$ (die dem Winkel gegenüberliegt) ist mit $8 \, \text{cm}$ tatsächlich länger als $\overline{AB}$ mit $5 \, \text{cm}$.

Die Bedingung für SSW ist erfüllt! Nach dem SSW-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle XYZ$

Beispiel 4: Kongruenzbeweis in einer geometrischen Figur

In einem Parallelogramm $ABCD$ wird die Diagonale $\overline{AC}$ eingezeichnet. Beweise, dass die entstehenden Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle CDA$ kongruent sind.

Lösung:

Wir sammeln die Informationen, die wir über die beiden Dreiecke haben:

Eigenschaften des Parallelogramms:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang: $\overline{AB} = \overline{CD}$ und $\overline{BC} = \overline{DA}$

Gemeinsame Elemente:

• Die Diagonale $\overline{AC}$ ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke: $\overline{AC} = \overline{CA}$

Jetzt vergleichen wir die Dreiecke:

• $\overline{AB} = \overline{CD}$ (gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm)
• $\overline{BC} = \overline{DA}$ (gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm)
• $\overline{AC} = \overline{CA}$ (dieselbe Strecke)

Wir haben drei Paare gleich langer Seiten. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

Das Wichtigste in Kürze

• Zwei Figuren sind kongruent ($\cong$), wenn sie in Form und Grösse exakt übereinstimmen – sie sind deckungsgleich.

• Ein Dreieck ist durch drei passende Bestimmungsstücke eindeutig festgelegt. Nicht jede Kombination funktioniert!

• Die vier Kongruenzsätze sind: SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel), WSW (zwei Winkel und eingeschlossene Seite), SSW (zwei Seiten und Winkel gegenüber der längeren Seite).

• Bei SWS und WSW ist es entscheidend, dass der Winkel bzw. die Seite wirklich zwischen den anderen beiden Stücken liegt.

• WWW (drei Winkel) reicht nicht für Kongruenz – die Dreiecke wären nur ähnlich, könnten aber unterschiedlich gross sein.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welcher Kongruenzsatz liegt vor, wenn du von zwei Dreiecken weisst, dass sie in den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ sowie in der Seite $c$ (gegenüber von $\gamma$) übereinstimmen?

Lösung anzeigen

Es handelt sich um WSW (Winkel-Seite-Winkel).

Die Seite $c$ liegt gegenüber dem Winkel $\gamma$. Da $\gamma$ der dritte Winkel ist, verbindet $c$ die Ecken, an denen $\alpha$ und $\beta$ liegen. Somit liegt die Seite $c$ zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ – das ist genau die Definition von WSW.

❓ Frage: Zwei Dreiecke haben folgende Masse: Dreieck 1: $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $\alpha = 30°$. Dreieck 2: $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $\alpha = 30°$. Kann man mit Sicherheit sagen, dass die Dreiecke kongruent sind?

Lösung anzeigen

Nein, nicht mit Sicherheit.

Es handelt sich um einen SSW-Fall: Zwei Seiten ($a$ und $b$) und ein Winkel ($\alpha$) sind gegeben. Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber.

Für den SSW-Satz muss der Winkel der längeren Seite gegenüberliegen. Hier ist $a = 3 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$, also liegt $\alpha$ der kürzeren Seite gegenüber.

In diesem Fall kann es zwei verschiedene Dreiecke mit diesen Massen geben – der SSW-Satz ist nicht anwendbar.

❓ Frage: Warum sind zwei Dreiecke mit den gleichen drei Winkeln nicht automatisch kongruent?

Lösung anzeigen

Weil die Winkel nur die Form eines Dreiecks bestimmen, nicht aber seine Grösse.

Zwei Dreiecke mit den gleichen Winkeln haben zwar dieselbe Form (man nennt sie ähnlich), aber sie können unterschiedlich gross sein. Stell dir vor, du vergrösserst ein Dreieck auf einem Kopierer auf 150% – alle Winkel bleiben gleich, aber die Seitenlängen ändern sich.

Für Kongruenz müssen die Dreiecke aber in Form und Grösse übereinstimmen. Deshalb ist “WWW” kein Kongruenzsatz.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Mit den Kongruenzsätzen hast du ein mächtiges Werkzeug für geometrische Beweise in der Hand. Du kannst nun zeigen, dass zwei Dreiecke exakt gleich sind – und damit auch, dass bestimmte Seiten oder Winkel gleich sein müssen.

Im nächsten Schritt wirst du die Ähnlichkeit von Dreiecken kennenlernen. Während kongruente Dreiecke in Form und Grösse übereinstimmen, haben ähnliche Dreiecke nur dieselbe Form – sie können unterschiedlich gross sein. Die Ähnlichkeitssätze (der SSS-Ähnlichkeitssatz, der SWS-Ähnlichkeitssatz und der WWW-Ähnlichkeitssatz) bauen direkt auf deinem Wissen über Kongruenz auf.

Ausserdem wirst du lernen, wie man Kongruenzbeweise systematisch aufschreibt und in komplexeren geometrischen Figuren wie Vierecken oder Kreisen anwendet. Diese Techniken sind fundamental für die gesamte Geometrie der Oberstufe.