Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken

Nimm ein Blatt Papier und schneide ein Dreieck aus. Riss nun alle drei Ecken ab und lege sie nebeneinander. Die Spitzen zeigen alle zur Mitte. Was fällt dir auf?

Die drei Ecken bilden zusammen eine gerade Linie. Egal wie schief oder spitz dein Dreieck war – das funktioniert immer. Dieses Experiment zeigt eine wichtige Regel der Geometrie. Die Winkel in einem Dreieck ergeben zusammen immer denselben Wert.

Das Experiment in Zahlen

Eine gerade Linie entspricht einem gestreckten Winkel. Dieser Winkel beträgt genau $180°$. Wenn die drei Ecken des Dreiecks zusammen eine gerade Linie bilden, dann ist ihre Summe $180°$.

Das ist kein Zufall und gilt für jedes Dreieck. Gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig, stumpfwinklig – die Summe bleibt immer gleich. Diese Tatsache heisst Innenwinkelsumme des Dreiecks.

DEFINITION

Winkelsumme im Dreieck:

Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer $180°$.

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Dabei sind $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die drei Innenwinkel des Dreiecks.

Die Buchstaben $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta) und $\gamma$ (gamma) sind griechische Buchstaben. In der Geometrie werden sie oft für Winkel verwendet.

Warum genau 180 Grad?

Stell dir vor, du läufst entlang der Kanten eines Dreiecks. An jeder Ecke drehst du dich, um der nächsten Kante zu folgen. Nach drei Ecken bist du wieder am Start – und schaust in die ursprüngliche Richtung.

Die Drehungen an den Ecken hängen mit den Innenwinkeln zusammen. Die Mathematik dahinter zeigt: Egal wie das Dreieck aussieht, die Innenwinkel summieren sich immer zu $180°$.

Ein anschaulicher Beweis nutzt parallele Linien. Zeichne durch eine Ecke des Dreiecks eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite. Die entstehenden Wechselwinkel und Stufenwinkel zeigen, dass alle drei Winkel zusammen einen gestreckten Winkel bilden.

Die Winkelsumme im Viereck

Was passiert bei vier Ecken? Schneide ein Viereck aus und riss alle vier Ecken ab. Lege sie mit den Spitzen zusammen. Sie bilden einen vollen Kreis – also $360°$.

DEFINITION

Winkelsumme im Viereck:

Die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks beträgt immer $360°$.

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Dabei sind $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ die vier Innenwinkel des Vierecks.

Warum gerade $360°$? Jedes Viereck lässt sich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme $180°$. Zwei Dreiecke ergeben $2 \cdot 180° = 360°$.

Häufige Fehler bei Winkelsummen:

1. Verwechslung: Im Dreieck $180°$, im Viereck $360°$ – nicht umgekehrt!
2. Bei der Berechnung eines fehlenden Winkels die Summe vergessen: Du musst von $180°$ (oder $360°$) subtrahieren.
3. Bei Gleichungen mit Variablen: Erst alle bekannten Winkel addieren, dann von der Winkelsumme abziehen.

Merkhilfe: Dreieck → $180°$ (einmal herum wie auf einer Linie). Viereck → $360°$ (einmal herum wie im Kreis).

Fehlende Winkel berechnen

Die Winkelsumme ist ein mächtiges Werkzeug. Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks kennst, kannst du den dritten berechnen. Das gleiche gilt für Vierecke mit drei bekannten Winkeln.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Figur erkennen: Ist es ein Dreieck ($180°$) oder ein Viereck ($360°$)?
2. Bekannte Winkel addieren: Rechne alle gegebenen Winkel zusammen.
3. Subtrahieren: Ziehe die Summe von der Gesamtwinkelsumme ab.
4. Ergebnis prüfen: Der fehlende Winkel muss positiv sein und zur Figur passen.

Die Formel für beliebige Vielecke

Es gibt auch Fünfecke, Sechsecke und so weiter. Die Winkelsumme lässt sich für jedes Vieleck berechnen.

Ein Vieleck mit $n$ Ecken lässt sich in $(n-2)$ Dreiecke zerlegen. Jedes Dreieck trägt $180°$ bei.

$$\text{Winkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$$

Für $n = 3$ (Dreieck): $(3-2) \cdot 180° = 180°$

Für $n = 4$ (Viereck): $(4-2) \cdot 180° = 360°$

Für $n = 5$ (Fünfeck): $(5-2) \cdot 180° = 540°$

Beispiel:

Beispiel 1: Fehlender Winkel im Dreieck

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 65°$ und $\beta = 45°$.

Aufgabe: Berechne den dritten Winkel $\gamma$.

Lösung: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$.

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$$$65° + 45° + \gamma = 180°$$$$110° + \gamma = 180°$$$$\gamma = 180° - 110° = 70°$$

Beispiel:

Beispiel 2: Fehlender Winkel im Viereck

Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 90°$, $\beta = 85°$ und $\gamma = 110°$.

Aufgabe: Berechne den vierten Winkel $\delta$.

Lösung: Die Winkelsumme im Viereck beträgt $360°$.

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$$$90° + 85° + 110° + \delta = 360°$$$$285° + \delta = 360°$$$$\delta = 360° - 285° = 75°$$

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich gross. Der dritte Winkel (an der Spitze) beträgt $\gamma = 40°$.

Aufgabe: Wie gross sind die beiden Basiswinkel?

Lösung: Die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ sind gleich gross: $\alpha = \beta$.

Die Winkelsumme beträgt $180°$:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$$$\alpha + \alpha + 40° = 180°$$$$2\alpha = 140°$$$$\alpha = 70°$$

Beide Basiswinkel betragen $70°$.

Zusammenfassung

Die Winkelsumme ist eine fundamentale Eigenschaft geometrischer Figuren. Im Dreieck beträgt sie immer $180°$. Im Viereck sind es $360°$.

Diese Werte ändern sich nie – egal wie die Figur geformt ist. Du kannst sie nutzen, um fehlende Winkel zu berechnen.

Für Vielecke mit $n$ Ecken gilt die allgemeine Formel $(n-2) \cdot 180°$. Sie basiert auf der Zerlegung in Dreiecke.

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 30°$ und $\beta = 90°$. Wie gross ist $\gamma$?

Lösung anzeigen

$\gamma = 180° - 30° - 90° = 60°$

❓ Frage: Ein Viereck hat drei rechte Winkel (je $90°$). Wie gross ist der vierte Winkel?

Lösung anzeigen

$\delta = 360° - 3 \cdot 90° = 360° - 270° = 90°$. Das Viereck ist ein Rechteck.

❓ Frage: Wie gross ist die Winkelsumme in einem Sechseck ($n = 6$)?

Lösung anzeigen

$(6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$