Winkel an Geraden – Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel
Stell dir eine Strassenkreuzung vor. Zwei Strassen treffen sich und bilden vier Ecken. Wenn du genau hinschaust, erkennst du etwas Interessantes: Die gegenüberliegenden Ecken sehen gleich aus. Die Ecken direkt nebeneinander ergänzen sich zu einer geraden Linie.
Noch spannender wird es bei Parallelstrassen. Denk an eine Hauptstrasse und eine Querstrasse, die beide kreuzt. Die Winkel an der oberen Kreuzung haben einen Zusammenhang mit den Winkeln an der unteren. Diese Muster sind kein Zufall – sie folgen festen Regeln.
Zwei Geraden schneiden sich
Abschnitt betitelt „Zwei Geraden schneiden sich“Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen vier Winkel am Schnittpunkt. Diese Winkel stehen in besonderen Beziehungen zueinander. Zwei davon lernst du jetzt kennen.
Scheitelwinkel
Abschnitt betitelt „Scheitelwinkel“Schau auf die Strassenkreuzung. Die Ecken, die sich schräg gegenüberliegen, heissen Scheitelwinkel. Sie teilen sich nur den Scheitelpunkt (den Kreuzungspunkt) – sonst nichts.
Scheitelwinkel liegen sich am Schnittpunkt zweier Geraden gegenüber.
Scheitelwinkel sind immer gleich gross.
Warum sind sie gleich? Stell dir vor, du drehst einen Winkel um den Schnittpunkt um genau eine halbe Drehung. Er landet exakt auf seinem Scheitelwinkel. Die Öffnung bleibt dabei gleich.
Nebenwinkel
Abschnitt betitelt „Nebenwinkel“Die Ecken, die direkt nebeneinander liegen, heissen Nebenwinkel. Sie teilen sich einen Schenkel – eine der beiden Geraden bildet für beide Winkel eine Seite.
Nebenwinkel liegen am Schnittpunkt zweier Geraden direkt nebeneinander.
Nebenwinkel ergänzen sich immer zu (Supplementwinkel).
Das ergibt Sinn: Beide Winkel zusammen bilden einen gestreckten Winkel. Eine Gerade ist ja nichts anderes als ein Winkel von .
Häufiger Fehler: Scheitelwinkel und Nebenwinkel verwechseln.
- Scheitelwinkel = gegenüber = gleich gross
- Nebenwinkel = nebeneinander = ergeben zusammen
Merkhilfe: Beim Scheitelwinkel schaust du quer durch den Schnittpunkt.
Eine Gerade kreuzt zwei Parallelen
Abschnitt betitelt „Eine Gerade kreuzt zwei Parallelen“Jetzt wird es interessanter. Zwei parallele Geraden und werden von einer dritten Geraden geschnitten. Diese dritte Gerade heisst Transversale (Schnittgerade).
An jeder Kreuzung entstehen vier Winkel – also insgesamt acht Winkel. Doch viele davon sind gleich gross. Die Parallelität erzwingt besondere Beziehungen.
Stufenwinkel
Abschnitt betitelt „Stufenwinkel“Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten auf der gleichen Seite der Transversalen. Sie liegen auch auf der gleichen Seite der Parallelen – wie Treppenstufen.
Stufenwinkel (auch F-Winkel) entstehen, wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet.
Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich gross.
Stell dir den Buchstaben F vor. Der obere und der untere Winkel am F sind Stufenwinkel. Sie öffnen sich in dieselbe Richtung und haben dieselbe Grösse.
Wechselwinkel
Abschnitt betitelt „Wechselwinkel“Wechselwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten auf verschiedenen Seiten der Transversalen. Sie wechseln die Seite – einer liegt oben rechts, der andere unten links (oder umgekehrt).
Wechselwinkel (auch Z-Winkel) entstehen, wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet.
Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich gross.
Stell dir den Buchstaben Z vor. Die beiden spitzen Ecken des Z sind Wechselwinkel. Sie öffnen sich in entgegengesetzte Richtungen, sind aber gleich gross.
So bestimmst du unbekannte Winkel
Abschnitt betitelt „So bestimmst du unbekannte Winkel“Wenn du einen Winkel kennst, kannst du oft alle anderen berechnen. Nutze diese Schritte:
- Identifiziere die Situation: Schneiden sich zwei Geraden? Oder kreuzt eine Gerade zwei Parallelen?
- Finde Paare: Suche Scheitelwinkel (gleich), Nebenwinkel (ergeben ), Stufenwinkel (gleich bei Parallelen) oder Wechselwinkel (gleich bei Parallelen).
- Rechne: Setze bekannte Werte ein und löse nach dem unbekannten Winkel auf.
Beispiel 1: Scheitel- und Nebenwinkel
Abschnitt betitelt „Beispiel 1: Scheitel- und Nebenwinkel“Zwei Geraden schneiden sich. Einer der vier Winkel beträgt .
Aufgabe: Bestimme die anderen drei Winkel.
Lösung:
Der Scheitelwinkel zu ist gleich gross:
Die Nebenwinkel ergänzen zu :
Der Scheitelwinkel zu :
Die vier Winkel sind: , , , .
Beispiel 2: Stufenwinkel an Parallelen
Abschnitt betitelt „Beispiel 2: Stufenwinkel an Parallelen“Die Geraden und sind parallel. Eine Transversale schneidet beide. An der oberen Kreuzung beträgt ein Winkel .
Aufgabe: Wie gross ist der Stufenwinkel an der unteren Kreuzung?
Lösung: Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich gross.
Beispiel 3: Kombinierte Aufgabe
Abschnitt betitelt „Beispiel 3: Kombinierte Aufgabe“Zwei parallele Geraden werden von einer Transversalen geschnitten. An der oberen Kreuzung misst du den Winkel . Ein Winkel an der unteren Kreuzung ist Wechselwinkel zu .
Aufgabe: Berechne und den Nebenwinkel von .
Lösung:
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross:
Der Nebenwinkel von ergänzt zu :
Übersicht der Winkelbeziehungen
Abschnitt betitelt „Übersicht der Winkelbeziehungen“Hier sind alle Regeln zusammengefasst:
An zwei sich schneidenden Geraden:
- Scheitelwinkel sind gleich gross
- Nebenwinkel ergeben zusammen
An parallelen Geraden mit Transversale:
- Stufenwinkel (F-Winkel) sind gleich gross
- Wechselwinkel (Z-Winkel) sind gleich gross
Die Regeln für Stufen- und Wechselwinkel gelten nur, wenn die Geraden tatsächlich parallel sind. Sind sie nicht parallel, sind diese Winkel unterschiedlich gross.
Zusammenfassung
Abschnitt betitelt „Zusammenfassung“Winkel an Geraden folgen festen Mustern. Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich gross. Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben .
Bei parallelen Geraden kommen Stufenwinkel und Wechselwinkel hinzu. Beide Winkelpaare sind gleich gross – aber nur bei echten Parallelen.
Mit diesen vier Winkelarten kannst du in vielen Figuren unbekannte Winkel berechnen. Du brauchst oft nur einen einzigen bekannten Winkel als Startpunkt.