Umkreis und Inkreis eines Dreiecks verstehen

Die Geometrie deiner Gartenplanung: Inkreis und Umkreis

Stell dir vor, du planst ein dreieckiges Blumenbeet in deinem Garten und möchtest einen runden Springbrunnen darin integrieren. Für die Platzierung hast du zwei grundlegende Möglichkeiten, die beide auf besonderen geometrischen Gesetzmässigkeiten beruhen.

Idee 1: Der Inkreis – Maximale Harmonie im Inneren

In diesem Szenario soll der Brunnen so gross wie möglich sein und genau in das Dreieck hineinpassen, sodass er alle drei Seiten von innen berührt.

• Der Fachbegriff: Man nennt diesen Kreis den Inkreis.
• Die Konstruktion: Um den Mittelpunkt zu finden, zeichnest du die Winkelhalbierenden der drei Ecken. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, ist das exakte Zentrum deines Brunnens.
• Der Effekt: Der Brunnen wirkt wie eingebettet und lässt an den Ecken des Dreiecks noch Platz für kleinere Pflanzen.

Idee 2: Der Umkreis – Das Beet als Zentrum

Hier soll der Brunnen das gesamte Dreieck umschliessen. Alle drei Ecken des Beetes liegen dabei exakt auf dem Rand des Brunnens.

• Der Fachbegriff: Dies ist der sogenannte Umkreis.
• Die Konstruktion: Hierfür benötigst du die Mittelsenkrechten. Du ermittelst die Mitte jeder Beetseite und ziehst dort eine Linie im -Winkel. Ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt.
• Der Effekt: Das gesamte Beet befindet sich im Wasser oder wird vom Brunnenrand eingerahmt. Je nach Form des Dreiecks kann das Zentrum dieses Brunnens sogar ausserhalb der Beetfläche liegen.

Vergleich der beiden Möglichkeiten

Beide Kreise existieren für jedes beliebige Dreieck und lassen sich mit Zirkel und Lineal (oder Schnur und Pflöcken im Garten) exakt konstruieren:

Merkmal	Inkreis (Idee 1)	Umkreis (Idee 2)
Kontaktpunkte	Berührt die drei Seiten	Berührt die drei Ecken
Werkzeug	Winkelhalbierende	Mittelsenkrechte
Position	Immer innerhalb des Beetes	Kann auch ausserhalb liegen

Planungstipp: Wenn dein Beet ein rechtwinkliges Dreieck ist, liegt der Mittelpunkt des Umkreises genau auf der Mitte der längsten Seite (Hypotenuse).

Zwei besondere Kreise im Dreieck

Jedes Dreieck besitzt genau einen Kreis, der alle drei Ecken berührt. Dieser Kreis heisst Umkreis. Er umschliesst das Dreieck von aussen.

Ebenso besitzt jedes Dreieck genau einen Kreis, der alle drei Seiten von innen berührt. Dieser Kreis heisst Inkreis. Er liegt vollständig innerhalb des Dreiecks.

Die Mittelpunkte dieser Kreise sind keine zufälligen Punkte. Sie entstehen durch den Schnittpunkt besonderer Linien im Dreieck.

Der Umkreis

Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte $A$, $B$ und $C$ des Dreiecks. Sein Mittelpunkt $U$ hat eine besondere Eigenschaft: Er ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.

Welche Punkte sind von zwei Punkten gleich weit entfernt? Genau die Punkte auf der Mittelsenkrechten. Der Umkreismittelpunkt liegt also auf der Mittelsenkrechten jeder Dreiecksseite.

DEFINITION

Der Umkreis eines Dreiecks $ABC$ ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Mittelpunkt $U$: Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Radius $r_U$: Abstand von $U$ zu einem beliebigen Eckpunkt.

$$r_U = |UA| = |UB| = |UC|$$

Für die Konstruktion reichen zwei Mittelsenkrechten. Die dritte verläuft automatisch durch denselben Punkt. Dieser Schnittpunkt heisst auch Umkreismittelpunkt.

So konstruierst du den Umkreis

1. Erste Mittelsenkrechte: Konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite $\overline{AB}$.
2. Zweite Mittelsenkrechte: Konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite $\overline{BC}$.
3. Schnittpunkt: Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich im Punkt $U$.
4. Radius messen: Miss den Abstand von $U$ zu einem Eckpunkt (z.B. $|UA|$).
5. Kreis zeichnen: Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt $U$ und Radius $r_U$.

Der Inkreis

Der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks von innen. Sein Mittelpunkt $I$ hat eine andere besondere Eigenschaft: Er ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt.

Welche Punkte sind von zwei Geraden gleich weit entfernt? Die Punkte auf der Winkelhalbierenden. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich grosse Hälften.

DEFINITION

Der Inkreis eines Dreiecks $ABC$ ist der Kreis, der alle drei Seiten von innen berührt.

Mittelpunkt $I$: Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks.

Radius $r_I$: Senkrechter Abstand von $I$ zu einer beliebigen Seite.

$$r_I = d(I, \overline{AB}) = d(I, \overline{BC}) = d(I, \overline{CA})$$

Der Inkreismittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks. Das gilt für jede Dreiecksform – ob spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig.

So konstruierst du den Inkreis

1. Erste Winkelhalbierende: Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$.
2. Zweite Winkelhalbierende: Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei $B$.
3. Schnittpunkt: Die beiden Winkelhalbierenden schneiden sich im Punkt $I$.
4. Lot fällen: Fälle das Lot von $I$ auf eine Seite (z.B. $\overline{AB}$). Der Fusspunkt sei $F$.
5. Radius messen: Der Abstand $|IF|$ ist der Inkreisradius $r_I$.
6. Kreis zeichnen: Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt $I$ und Radius $r_I$.

Häufige Verwechslung:

• Umkreis → Mittelsenkrechte → Mittelpunkt kann ausserhalb des Dreiecks liegen (bei stumpfwinkligen Dreiecken)
• Inkreis → Winkelhalbierende → Mittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks

Merkhilfe: Umkreis durch die Umgebung (aussen), Inkreis innen.

Der Unterschied auf einen Blick

Der Umkreis geht durch die Ecken. Der Inkreis berührt die Seiten. Das sind zwei völlig verschiedene Bedingungen. Daher haben die Kreise unterschiedliche Mittelpunkte und Radien.

Bei einem gleichseitigen Dreieck fallen beide Mittelpunkte zusammen. Sie liegen im Schwerpunkt des Dreiecks. Bei allen anderen Dreiecken sind $U$ und $I$ verschiedene Punkte.

Beispiel:

Beispiel 1: Umkreismittelpunkt bestimmen

Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(0|0)$, $B(6|0)$ und $C(3|4)$.

Aufgabe: Zeige, dass der Umkreismittelpunkt $U(3|1)$ von allen Ecken gleich weit entfernt ist.

Lösung: Berechne die Abstände von $U$ zu allen drei Ecken.

$|UA| = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$|UB| = \sqrt{(3-6)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$|UC| = \sqrt{(3-3)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3$

Moment – hier stimmt etwas nicht. Prüfen wir $U(3|1{,}25)$:

$|UC| = \sqrt{(3-3)^2 + (1{,}25-4)^2} = \sqrt{0 + 7{,}5625} \approx 2{,}75$

Der korrekte Umkreismittelpunkt ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Bei diesem Dreieck ist $U(3|0{,}875)$ mit $r_U \approx 3{,}13$.

Beispiel:

Beispiel 2: Inkreisradius mit Formel

Für den Inkreisradius eines Dreiecks gilt die Formel:

$$r_I = \frac{A}{s}$$

Dabei ist $A$ die Fläche des Dreiecks und $s$ der halbe Umfang: $s = \frac{a + b + c}{2}$.

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 5 \, \text{cm}$, $c = 6 \, \text{cm}$ und die Fläche $A = 12 \, \text{cm}^2$.

Aufgabe: Berechne den Inkreisradius.

Lösung: Zuerst den halben Umfang:

$$s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{cm}$$

Dann der Inkreisradius:

$$r_I = \frac{12 \, \text{cm}^2}{8 \, \text{cm}} = 1{,}5 \, \text{cm}$$

Beispiel:

Beispiel 3: Anwendung – Grösster Kreis im Dreieck

Ein dreieckiges Grundstück soll einen runden Pool erhalten. Der Pool soll so gross wie möglich sein und komplett im Dreieck liegen.

Frage: Welchen Kreis musst du konstruieren – Umkreis oder Inkreis?

Lösung: Der Pool muss innerhalb des Dreiecks liegen. Er darf die Seiten berühren, aber nicht darüber hinausragen.

Das beschreibt genau den Inkreis. Er ist der grösste Kreis, der vollständig in das Dreieck passt.

Der Umkreis wäre falsch – er ragt über das Dreieck hinaus.

Zusammenfassung

Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis und genau einen Inkreis.

Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Er kann bei stumpfwinkligen Dreiecken ausserhalb liegen.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Er liegt immer innerhalb des Dreiecks.

❓ Frage: Welche besonderen Linien schneiden sich im Umkreismittelpunkt?

Lösung anzeigen

Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt $U$.

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Fläche $A = 24 \, \text{cm}^2$ und den halben Umfang $s = 12 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Inkreisradius $r_I$?

Lösung anzeigen

$r_I = \frac{A}{s} = \frac{24 \, \text{cm}^2}{12 \, \text{cm}} = 2 \, \text{cm}$

❓ Frage: Bei welcher Dreiecksart können Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt zusammenfallen?

Lösung anzeigen

Beim gleichseitigen Dreieck. Dort fallen Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt in einem Punkt zusammen.