Senkrechte zu einer Geraden konstruieren

Stell dir vor, du stehst auf einem langen, geraden Feldweg. In einiger Entfernung siehst du einen Brunnen. Du möchtest auf dem kürzesten Weg zum Brunnen gelangen. Wie würdest du laufen?

Instinktiv weisst du: Du läufst nicht schräg, sondern direkt auf den Brunnen zu. Dieser kürzeste Weg bildet mit dem Feldweg einen rechten Winkel. In der Mathematik nennen wir eine solche Linie, die im rechten Winkel auf eine andere trifft, eine Senkrechte.

Vom Feldweg zur Geometrie

Der Feldweg aus dem Beispiel entspricht einer Geraden $g$. Der Brunnen ist ein Punkt $P$, der nicht auf der Geraden liegt. Der kürzeste Weg vom Brunnen zum Weg ist die Senkrechte.

Zwei Geraden oder Strecken stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden. Dieser Winkel beträgt genau $90°$. Das kleine Quadrat in der Ecke zeigt dir in Zeichnungen, dass ein rechter Winkel vorliegt.

DEFINITION

Eine Senkrechte zu einer Geraden $g$ ist eine Gerade $s$, die $g$ im rechten Winkel ($90°$) schneidet.

$$g \perp s \quad \Leftrightarrow \quad \text{Schnittwinkel} = 90°$$

Das Symbol $\perp$ bedeutet “steht senkrecht auf”.

Wichtige Eigenschaft: Durch jeden Punkt $P$ (egal ob auf $g$ oder nicht) gibt es genau eine Senkrechte zu $g$.

Die Senkrechte ist einzigartig. Du kannst nicht zwei verschiedene Senkrechten durch denselben Punkt zur selben Geraden zeichnen. Es gibt immer nur eine.

Zwei Konstruktionsaufgaben

Je nachdem, wo der Punkt $P$ liegt, unterscheiden wir zwei Fälle. Erstens: $P$ liegt auf der Geraden. Zweitens: $P$ liegt neben der Geraden. Für beide Fälle gibt es eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Fall 1: Senkrechte im Punkt auf der Geraden

Der Punkt $P$ liegt direkt auf der Geraden $g$. Du möchtest eine Senkrechte errichten, die durch $P$ geht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Kreisbögen links und rechts: Setze den Zirkel in $P$. Zeichne einen Kreisbogen, der die Gerade $g$ links und rechts von $P$ schneidet. Nenne diese Schnittpunkte $A$ und $B$.
2. Kreisbogen von A: Setze den Zirkel in $A$. Wähle eine Öffnung grösser als $|PA|$. Zeichne einen Bogen oberhalb (oder unterhalb) der Geraden.
3. Kreisbogen von B: Setze den Zirkel mit derselben Öffnung in $B$. Zeichne einen weiteren Bogen, der den ersten schneidet. Nenne den Schnittpunkt $S$.
4. Verbinden: Zeichne die Gerade durch $P$ und $S$. Das ist die Senkrechte.

Fall 2: Senkrechte von einem Punkt ausserhalb

Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Geraden $g$. Du möchtest das Lot von $P$ auf $g$ fällen. Das Lot ist der kürzeste Abstand von $P$ zur Geraden.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Grosser Kreisbogen: Setze den Zirkel in $P$. Wähle die Öffnung so, dass der Kreis die Gerade $g$ an zwei Stellen schneidet. Nenne diese Punkte $A$ und $B$.
2. Kreisbogen von A: Setze den Zirkel in $A$. Zeichne einen Bogen auf der von $P$ abgewandten Seite der Geraden.
3. Kreisbogen von B: Mit derselben Zirkelöffnung: Setze in $B$ und zeichne einen Bogen. Er schneidet den vorherigen Bogen in einem Punkt $S$.
4. Verbinden: Die Gerade durch $P$ und $S$ ist die gesuchte Senkrechte. Sie schneidet $g$ im Fusspunkt $F$ des Lots.

Typische Fehler bei der Konstruktion:

1. Die Zirkelöffnung zwischen den Bögen von $A$ und $B$ verändern. Sie muss gleich bleiben.
2. Bei Fall 2: Den Zirkel zu klein einstellen, sodass er die Gerade gar nicht schneidet.
3. Das Lineal versehentlich verschieben, bevor die Linie gezeichnet ist.

Tipp: Markiere die Schnittpunkte sofort mit einem kleinen Kreuz, damit du sie nicht verlierst.

Warum funktioniert die Konstruktion?

Das Prinzip beider Konstruktionen ist ähnlich. Die Punkte $A$ und $B$ liegen gleich weit von $P$ entfernt (Fall 1) oder werden symmetrisch erzeugt (Fall 2). Der Punkt $S$ entsteht als Schnittpunkt zweier gleich grosser Kreisbögen.

Dadurch liegt $S$ auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$. Diese Mittelsenkrechte verläuft durch $P$ und steht senkrecht auf $g$. Die Konstruktion nutzt also die Eigenschaften der Mittelsenkrechten.

Der Abstand Punkt–Gerade

Wenn du das Lot von einem Punkt $P$ auf eine Gerade $g$ fällst, erhältst du den Fusspunkt $F$. Die Strecke $\overline{PF}$ ist der Abstand des Punktes von der Geraden.

Dieser Abstand ist immer kürzer als jede andere Verbindung von $P$ zu einem Punkt auf $g$. Das erklärt, warum der Weg im rechten Winkel der kürzeste ist.

Beispiel:

Beispiel 1: Senkrechte erkennen

Zwei Geraden $g$ und $h$ schneiden sich. Der Schnittwinkel beträgt $90°$.

Frage: Wie beschreibst du die Lage der Geraden zueinander?

Lösung: Die Geraden stehen senkrecht aufeinander. In mathematischer Schreibweise:

$$g \perp h$$

Das kleine Quadrat im Schnittpunkt zeigt den rechten Winkel.

Beispiel:

Beispiel 2: Fusspunkt bestimmen

Eine Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A(1|2)$ und $B(5|2)$. Der Punkt $P(3|5)$ liegt oberhalb der Geraden.

Aufgabe: Bestimme den Fusspunkt $F$ des Lots von $P$ auf $g$.

Lösung: Die Gerade $g$ ist horizontal (beide Punkte haben $y = 2$). Das Lot von $P$ ist daher vertikal.

Der Fusspunkt $F$ hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$, also $x = 3$. Er liegt auf $g$, also ist $y = 2$.

$$F(3|2)$$

Beispiel:

Beispiel 3: Abstand berechnen

Im vorherigen Beispiel: Wie gross ist der Abstand von $P(3|5)$ zur Geraden $g$?

Lösung: Der Abstand ist die Länge der Strecke $\overline{PF}$. Der Fusspunkt ist $F(3|2)$.

Da $P$ und $F$ dieselbe $x$-Koordinate haben, ist der Abstand einfach die Differenz der $y$-Werte:

$$d = |5 - 2| = 3$$

Der Abstand beträgt $3$ Längeneinheiten.

Zusammenfassung

Eine Senkrechte schneidet eine Gerade im rechten Winkel von $90°$. Durch jeden Punkt existiert genau eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden.

Für die Konstruktion unterscheidest du zwei Fälle. Liegt der Punkt auf der Geraden, errichtest du die Senkrechte. Liegt er daneben, fällst du das Lot.

Beide Konstruktionen nutzen Zirkel und Lineal. Das Prinzip basiert auf der Symmetrie gleich grosser Kreisbögen. Der Fusspunkt des Lots markiert den kürzesten Abstand zur Geraden.

❓ Frage: Wie gross ist der Winkel zwischen einer Geraden und ihrer Senkrechten?

Lösung anzeigen

Der Winkel beträgt $90°$ (rechter Winkel). Das ist die Definition der Senkrechten.

❓ Frage: Der Punkt $P(4|7)$ liegt oberhalb einer horizontalen Geraden $g$ mit $y = 3$. Welche Koordinaten hat der Fusspunkt $F$?

Lösung anzeigen

$F(4|3)$. Der Fusspunkt hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$ und liegt auf der Geraden ($y = 3$).

❓ Frage: Warum muss bei der Konstruktion die Zirkelöffnung gleich bleiben, wenn du Bögen von $A$ und $B$ zeichnest?

Lösung anzeigen

Nur bei gleicher Öffnung liegt der Schnittpunkt $S$ gleich weit von $A$ und $B$ entfernt. Dadurch liegt $S$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, die senkrecht auf $g$ steht.