Der Satz des Thales – Rechte Winkel im Halbkreis

Stell dir vor, du stehst am Rand eines runden Schwimmbeckens. Zwei Freunde stehen genau gegenüber am anderen Rand – sie bilden die Enden eines Durchmessers. Du schaust von deinem Standort zu beiden Freunden.

Egal wo du dich am Beckenrand bewegst (solange du auf deiner Halbkreisseite bleibst): Der Winkel, in dem du deine Freunde siehst, bleibt immer derselbe. Noch erstaunlicher: Dieser Winkel ist immer exakt ein rechter Winkel. Das ist kein Zufall. Dahinter steckt ein über zweitausend Jahre altes mathematisches Gesetz.

Vom Schwimmbecken zur Mathematik

Die Situation am Beckenrand lässt sich in Geometrie übersetzen. Der Beckendurchmesser wird zur Strecke $\overline{AB}$. Dein Standort am Rand wird zu einem Punkt $C$. Der Winkel, in dem du deine Freunde siehst, ist der Winkel bei $C$.

Der antike griechische Mathematiker Thales von Milet entdeckte diesen Zusammenhang. Er bewies: Wenn $C$ auf einem Halbkreis über $\overline{AB}$ liegt, dann ist der Winkel bei $C$ immer $90°$.

DEFINITION

Satz des Thales:

Liegt ein Punkt $C$ auf einem Halbkreis über dem Durchmesser $\overline{AB}$, so ist das Dreieck $ABC$ rechtwinklig.

Der rechte Winkel liegt dabei immer bei $C$:

$$\angle ACB = 90°$$

Umkehrung des Satzes:

Ist ein Dreieck $ABC$ rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$, dann liegt $C$ auf dem Halbkreis über der Hypotenuse $\overline{AB}$.

Der Punkt $C$ kann irgendwo auf dem Halbkreis liegen. Solange er nicht mit $A$ oder $B$ zusammenfällt, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seite $\overline{AB}$ (der Durchmesser) ist automatisch die Hypotenuse.

Warum funktioniert das?

Der Schlüssel liegt im Mittelpunkt $M$ des Kreises. Von $M$ aus haben alle Punkte auf dem Kreis denselben Abstand – den Radius $r$. Das gilt auch für die Punkte $A$, $B$ und $C$.

Die Strecken $\overline{MA}$, $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ sind alle gleich lang. Sie entsprechen dem Radius. Das Dreieck $AMC$ ist also gleichschenklig. Das Dreieck $BMC$ ebenfalls.

In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich gross. Wenn du die Winkel im Dreieck $ABC$ geschickt zusammenzählst, kommst du auf genau $90°$ bei $C$. Die vollständige Herleitung nutzt die Winkelsumme im Dreieck.

Der Thaleskreis als Werkzeug

Der Halbkreis über einer Strecke hat einen besonderen Namen: Thaleskreis. Er ist ein mächtiges Konstruktionswerkzeug. Du kannst damit rechte Winkel erzeugen, ohne ein Geodreieck zu benutzen.

So konstruierst du mit dem Thaleskreis

1. Gegeben: Eine Strecke $\overline{AB}$.
2. Mittelpunkt finden: Bestimme den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ (z.B. durch Konstruktion der Mittelsenkrechten).
3. Thaleskreis zeichnen: Zeichne einen Halbkreis über $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r = |MA| = |MB|$.
4. Punkt wählen: Wähle einen beliebigen Punkt $C$ auf dem Halbkreis.
5. Verbinden: Die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ bilden einen rechten Winkel bei $C$.

Häufiger Fehler: Der Thaleskreis funktioniert nur, wenn $\overline{AB}$ tatsächlich ein Durchmesser ist. Die Strecke muss durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Bei einer Sehne (die nicht durch $M$ geht) gilt der Satz nicht. Prüfe also immer: Ist die Grundseite ein Durchmesser?

Anwendungen des Satzes

Der Satz des Thales ist vielseitig einsetzbar. Du kannst ihn nutzen, um rechte Winkel zu konstruieren. Du kannst prüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Auch für Berechnungen am Kreis ist er hilfreich.

Die Umkehrung ist ebenfalls praktisch: Wenn du weisst, dass ein Dreieck rechtwinklig ist, liegt der Scheitel des rechten Winkels auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse.

Beispiel:

Beispiel 1: Rechten Winkel erkennen

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Durchmesser $\overline{AB}$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis, aber nicht auf $\overline{AB}$.

Frage: Wie gross ist der Winkel $\angle ACB$?

Lösung: Der Punkt $C$ liegt auf dem Halbkreis über dem Durchmesser $\overline{AB}$. Nach dem Satz des Thales gilt:

$$\angle ACB = 90°$$

Das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$.

Beispiel:

Beispiel 2: Fehlenden Winkel berechnen

Im Dreieck $ABC$ ist $\overline{AB}$ der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis. Der Winkel $\angle CAB = 35°$.

Aufgabe: Berechne den Winkel $\angle CBA$.

Lösung: Nach dem Satz des Thales ist $\angle ACB = 90°$.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$:

$$\angle CAB + \angle ACB + \angle CBA = 180°$$

Einsetzen:

$$35° + 90° + \angle CBA = 180°$$$$\angle CBA = 180° - 35° - 90° = 55°$$

Der Winkel $\angle CBA$ beträgt $55°$.

Beispiel:

Beispiel 3: Anwendung der Umkehrung

Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 6 \, \text{cm}$, $b = 8 \, \text{cm}$ und $c = 10 \, \text{cm}$. Der Winkel bei $C$ beträgt $90°$.

Aufgabe: Bestimme den Radius des Thaleskreises über der Hypotenuse.

Lösung: Der rechte Winkel liegt bei $C$. Die gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse. Das ist die Seite $c = \overline{AB} = 10 \, \text{cm}$.

Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Der Durchmesser dieses Kreises ist $c = 10 \, \text{cm}$.

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers:

$$r = \frac{c}{2} = \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm}$$

Der Thaleskreis hat den Radius $5 \, \text{cm}$.

Zusammenfassung

Der Satz des Thales beschreibt eine elegante Beziehung zwischen Kreis und rechtem Winkel. Jeder Punkt auf einem Halbkreis bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck.

Der rechte Winkel liegt immer beim Punkt auf dem Halbkreis. Die Hypotenuse ist immer der Durchmesser. Diese Regel gilt ausnahmslos.

Die Umkehrung ermöglicht Konstruktionen: Zu jedem rechtwinkligen Dreieck existiert ein Thaleskreis über der Hypotenuse. Der Scheitel des rechten Winkels liegt auf diesem Kreis.

❓ Frage: Der Durchmesser $\overline{AB}$ eines Kreises ist $12 \, \text{cm}$ lang. Ein Punkt $C$ liegt auf dem Kreis. Wie gross ist der Winkel $\angle ACB$?

Lösung anzeigen

Nach dem Satz des Thales ist $\angle ACB = 90°$. Das gilt für jeden Punkt $C$ auf dem Halbkreis über dem Durchmesser.

❓ Frage: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Radius des Thaleskreises über der Hypotenuse?

Lösung anzeigen

Der Radius ist die Hälfte der Hypotenuse: $r = \frac{14 \, \text{cm}}{2} = 7 \, \text{cm}$

❓ Frage: Im Dreieck $ABC$ liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Der Winkel $\angle BAC = 48°$. Wie gross ist $\angle ABC$?

Lösung anzeigen

Nach Thales ist $\angle ACB = 90°$. Mit der Winkelsumme: $\angle ABC = 180° - 90° - 48° = 42°$