Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele

Stell dir vor, du stehst auf einer Wiese und möchtest zum nächsten Zaun gelangen. Wie findest du den kürzesten Weg? Du läufst nicht schräg, nicht im Bogen – du gehst direkt und gerade auf den Zaun zu.

Dieser kürzeste Weg ist der Abstand. In der Geometrie messen wir Abstände auf genau diese Weise: immer den kürzesten Weg. Das klingt einfach, aber je nach Situation gibt es unterschiedliche Methoden. Manchmal messen wir zwischen zwei Punkten. Manchmal von einem Punkt zu einer Linie. Manchmal zwischen zwei parallelen Linien.

Was bedeutet “Abstand” in der Geometrie?

Der Abstand ist immer die kürzeste Verbindung zwischen zwei Objekten. Keine Umwege, keine Kurven – nur die direkte Strecke. Diese Idee gilt für alle Abstandstypen.

In der Geometrie unterscheiden wir drei wichtige Fälle: Abstand zwischen zwei Punkten, Abstand von einem Punkt zu einer Geraden und Abstand zwischen zwei parallelen Geraden. Jeder Fall hat seine eigene Methode.

Abstand zwischen zwei Punkten

Der einfachste Fall: Du hast zwei Punkte $A$ und $B$. Der Abstand ist die Länge der Strecke, die sie verbindet. Diese Strecke ist automatisch der kürzeste Weg.

DEFINITION

Abstand zwischen zwei Punkten:

Der Abstand $d$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

$$d(A, B) = |\overline{AB}|$$

Bei Koordinaten $A(x_1|y_1)$ und $B(x_2|y_2)$ gilt:

$$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Diese Formel basiert auf dem Satz des Pythagoras. Die horizontale Differenz $(x_2 - x_1)$ und die vertikale Differenz $(y_2 - y_1)$ bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse ist der gesuchte Abstand.

Abstand Punkt – Gerade

Jetzt wird es interessanter. Ein Punkt $P$ liegt neben einer Geraden $g$. Wie weit ist er von ihr entfernt?

Es gibt unendlich viele Wege von $P$ zur Geraden. Aber nur einer ist der kürzeste: das Lot. Das Lot ist die senkrechte Verbindung vom Punkt zur Geraden.

DEFINITION

Abstand eines Punktes von einer Geraden:

Der Abstand $d(P, g)$ ist die Länge des Lots von $P$ auf $g$.

Der Fusspunkt $F$ ist der Punkt, an dem das Lot die Gerade trifft.

$$d(P, g) = |\overline{PF}|$$

Das Lot steht senkrecht auf der Geraden: $\overline{PF} \perp g$

Warum ist das Lot der kürzeste Weg? Jede andere Verbindung von $P$ zu einem Punkt auf $g$ wäre länger. Sie würde ein rechtwinkliges Dreieck bilden, in dem das Lot eine Kathete ist. Die Hypotenuse (jede andere Verbindung) ist immer länger als eine Kathete.

Häufige Fehler beim Abstand Punkt–Gerade:

1. Eine schräge Verbindung statt des Lots messen. Der Abstand ist immer senkrecht!
2. Den Fusspunkt falsch einzeichnen. Er muss auf der Geraden liegen.
3. Bei waagerechten oder senkrechten Geraden unnötig kompliziert rechnen. Hier reicht oft ein Blick auf die Koordinaten.

Merkhilfe: Der Abstand ist wie der Schatten, den du wirfst, wenn die Sonne genau über der Geraden steht.

Abstand zwischen parallelen Geraden

Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ verlaufen in dieselbe Richtung. Sie schneiden sich nie. Wie misst man den Abstand zwischen ihnen?

Der Abstand ist die Länge eines beliebigen Lots zwischen den Geraden. Egal wo du das Lot fällst – die Länge ist immer gleich. Parallele Geraden haben überall denselben Abstand.

DEFINITION

Abstand zwischen parallelen Geraden:

Der Abstand $d(g, h)$ zwischen zwei parallelen Geraden ist die Länge des Lots von einem beliebigen Punkt auf $g$ zur Geraden $h$.

$$d(g, h) = d(P, h) \quad \text{für jeden Punkt } P \text{ auf } g$$

Dieser Abstand ist an jeder Stelle gleich (Konstanz des Parallelenabstands).

Das ist eine wichtige Eigenschaft: Bei Parallelen ist der Abstand konstant. Du kannst ihn an der bequemsten Stelle messen.

So bestimmst du Abstände

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Identifiziere den Typ: Zwei Punkte? Punkt und Gerade? Zwei parallele Geraden?
2. Punkt–Punkt: Miss oder berechne die Streckenlänge direkt.
3. Punkt–Gerade: Fälle das Lot vom Punkt auf die Gerade. Miss die Lotstrecke.
4. Parallele Geraden: Wähle einen beliebigen Punkt auf einer Geraden. Fälle das Lot zur anderen. Miss die Lotstrecke.

Bei Koordinaten nutzt du die passende Formel oder zeichnest die Situation im Koordinatensystem.

Beispiel:

Beispiel 1: Abstand zweier Punkte

Die Punkte $A(2|1)$ und $B(5|5)$ sind gegeben.

Aufgabe: Berechne den Abstand $d(A, B)$.

Lösung: Wende die Abstandsformel an:

$$d(A, B) = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2}$$$$d(A, B) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten.

Beispiel:

Beispiel 2: Abstand Punkt–Gerade (horizontal)

Der Punkt $P(4|7)$ liegt oberhalb der horizontalen Geraden $g$ mit der Gleichung $y = 3$.

Aufgabe: Bestimme den Abstand $d(P, g)$.

Lösung: Bei einer horizontalen Geraden ist das Lot vertikal. Der Fusspunkt hat dieselbe $x$-Koordinate wie $P$: $F(4|3)$.

Der Abstand ist die Differenz der $y$-Werte:

$$d(P, g) = |7 - 3| = 4$$

Der Abstand beträgt $4$ Längeneinheiten.

Beispiel:

Beispiel 3: Anwendung – Kürzester Weg zur Strasse

Ein Haus steht bei Punkt $H(2|8)$. Eine gerade Strasse verläuft entlang der $x$-Achse (also $y = 0$).

Aufgabe: Wie lang ist der kürzeste Weg vom Haus zur Strasse?

Lösung: Die Strasse ist eine horizontale Gerade. Der kürzeste Weg ist das Lot – also senkrecht nach unten.

Der Fusspunkt liegt bei $F(2|0)$ (gleiche $x$-Koordinate, $y = 0$).

$$d(H, \text{Strasse}) = |8 - 0| = 8$$

Der kürzeste Weg zur Strasse ist $8$ Längeneinheiten lang.

Zusammenfassung

Der Abstand ist immer die kürzeste Verbindung. Bei zwei Punkten ist das die direkte Strecke. Bei Punkt und Gerade ist es das Lot. Bei parallelen Geraden ist es ein beliebiges Lot zwischen ihnen.

Das Lot spielt eine zentrale Rolle. Es steht senkrecht auf der Geraden und liefert den kürzesten Weg. Bei parallelen Geraden ist der Abstand überall gleich – ein praktischer Fakt für Konstruktionen.

Mit der Abstandsformel für Koordinaten kannst du Abstände exakt berechnen. Sie basiert auf dem Satz des Pythagoras.

❓ Frage: Wie heisst der Punkt, an dem das Lot auf die Gerade trifft?

Lösung anzeigen

Der Fusspunkt. Er liegt auf der Geraden und markiert das Ende des Lots.

❓ Frage: Die Punkte $A(1|2)$ und $B(1|7)$ haben dieselbe $x$-Koordinate. Wie gross ist ihr Abstand?

Lösung anzeigen

Da die $x$-Koordinaten gleich sind, ist der Abstand einfach $|7 - 2| = 5$.

❓ Frage: Zwei parallele Geraden haben an einer Stelle den Abstand $6 \, \text{cm}$. Wie gross ist ihr Abstand an einer anderen Stelle?

Lösung anzeigen

Ebenfalls $6 \, \text{cm}$. Der Abstand zwischen Parallelen ist überall gleich (konstant).