Zusammengesetzte Funktionen

Stell dir vor, du arbeitest in einer Fabrik. Ein Rohstoff durchläuft zwei Maschinen nacheinander. Die erste Maschine formt das Material. Die zweite veredelt das Ergebnis der ersten. Das Endprodukt hängt von beiden Maschinen ab – und von der Reihenfolge.

Genau so funktioniert das Verketten von Funktionen in der Mathematik. Eine Funktion verarbeitet eine Eingabe. Ihr Ergebnis wird sofort zur Eingabe der nächsten Funktion. Dieses Prinzip nennt man Komposition oder Verkettung.

Im Alltag begegnest du diesem Konzept ständig. Du rechnest einen Preis in Euro um und addierst dann die Mehrwertsteuer. Oder du verdoppelst eine Strecke und rechnest sie anschliessend in Kilometer um. Zwei Schritte, die aufeinander aufbauen.

Was sind zusammengesetzte Funktionen?

Bei zusammengesetzten Funktionen steckst du das Ergebnis einer Funktion direkt in eine andere Funktion. Die innere Funktion wird zuerst ausgewertet. Ihr Resultat dient als Eingabe für die äussere Funktion.

Denke an die Fabrik zurück. Die erste Maschine ist die innere Funktion. Die zweite Maschine ist die äussere Funktion. Das Rohmaterial durchläuft erst Maschine 1, dann Maschine 2.

Die mathematische Schreibweise

DEFINITION

Die Verkettung (Komposition) zweier Funktionen $f$ und $g$ schreibt man als:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Dabei wird zuerst $g(x)$ berechnet. Das Ergebnis wird dann in $f$ eingesetzt.

Der Kreis $\circ$ ist das Symbol für die Verkettung. Man liest $f \circ g$ als “f nach g” oder “f von g”. Die Reihenfolge ist entscheidend: Rechts steht die Funktion, die zuerst angewendet wird.

So stellst du dir die Verkettung vor

Zeichne zwei Boxen nebeneinander. Die rechte Box ist $g$, die linke Box ist $f$. Ein Wert $x$ geht in die rechte Box hinein. Heraus kommt $g(x)$. Dieses Ergebnis fliesst direkt in die linke Box. Am Ende erhältst du $f(g(x))$.

Du kannst dir auch eine Kette vorstellen. Das $x$ ist das erste Glied. Es wird durch $g$ zum zweiten Glied transformiert. Dieses zweite Glied wird durch $f$ zum dritten Glied – dem Endergebnis.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So berechnest du $(f \circ g)(x)$:

1. Identifiziere die innere Funktion $g$ und die äussere Funktion $f$.
2. Setze den Wert $x$ in die innere Funktion $g$ ein.
3. Berechne $g(x)$ vollständig.
4. Nimm das Ergebnis aus Schritt 3 und setze es in $f$ ein.
5. Berechne $f(g(x))$ – das ist dein Endergebnis.

Bei algebraischen Ausdrücken ersetzt du in der äusseren Funktion jedes $x$ durch den gesamten Ausdruck der inneren Funktion. Klammern nicht vergessen!

Achtung: Die Reihenfolge zählt!

$f \circ g$ ist in der Regel nicht dasselbe wie $g \circ f$. Die Verkettung ist nicht kommutativ!

Beispiel mit $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$:

• $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x + 1)^2$
• $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x^2 + 1$

Das sind zwei verschiedene Funktionen! Achte immer genau darauf, welche Funktion innen und welche aussen steht.

Der Definitionsbereich bei Verkettungen

Bei zusammengesetzten Funktionen musst du den Definitionsbereich besonders beachten. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:

1. Der Wert $x$ muss im Definitionsbereich von $g$ liegen.
2. Das Ergebnis $g(x)$ muss im Definitionsbereich von $f$ liegen.

Nur wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist $(f \circ g)(x)$ definiert.

Beispiel 1: Einfache Verkettung mit Zahlen

Beispiel:

Gegeben sind $f(x) = 2x + 3$ und $g(x) = x - 1$.

Berechne $(f \circ g)(4)$.

Lösung:

Schritt 1: Berechne zuerst $g(4)$.

$g(4) = 4 - 1 = 3$

Schritt 2: Setze das Ergebnis in $f$ ein.

$f(g(4)) = f(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

Ergebnis: $(f \circ g)(4) = 9$

Beispiel 2: Verkettung als Funktionsterm

Beispiel:

Gegeben sind $f(x) = x^2$ und $g(x) = 3x - 2$.

Bestimme den Funktionsterm von $(f \circ g)(x)$.

Lösung:

Bei der Verkettung $f \circ g$ ist $g$ die innere Funktion. Du ersetzt in $f(x) = x^2$ jedes $x$ durch $g(x) = 3x - 2$.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = (3x - 2)^2$

Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel:

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = 9x^2 - 12x + 4$

Zur Kontrolle: Berechne $(f \circ g)(1)$ auf beide Arten.

• Direkt: $g(1) = 1$, dann $f(1) = 1$
• Mit Formel: $9 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 = 1$ ✓

Beispiel 3: Anwendung im Kontext

Beispiel:

Ein Online-Shop bietet 20% Rabatt auf alle Artikel. Zusätzlich gibt es einen Gutschein über 10 CHF Abzug.

Die Rabattfunktion ist $r(p) = 0{,}8 \cdot p$ (80% des Preises). Die Gutscheinfunktion ist $g(p) = p - 10$.

Ein Artikel kostet 80 CHF. Berechne den Endpreis, wenn: a) Zuerst der Rabatt und dann der Gutschein angewendet wird. b) Zuerst der Gutschein und dann der Rabatt angewendet wird.

Lösung:

a) Erst Rabatt, dann Gutschein: $(g \circ r)(80)$

$r(80) = 0{,}8 \cdot 80 = 64$

$g(64) = 64 - 10 = 54$

Endpreis: 54 CHF

b) Erst Gutschein, dann Rabatt: $(r \circ g)(80)$

$g(80) = 80 - 10 = 70$

$r(70) = 0{,}8 \cdot 70 = 56$

Endpreis: 56 CHF

Erkenntnis: Die Reihenfolge macht einen Unterschied von 2 CHF! Bei Rabatten lohnt es sich, zuerst den prozentualen Rabatt anzuwenden.

Zusammenfassung

Zusammengesetzte Funktionen kombinieren zwei Funktionen zu einer neuen. Die innere Funktion wird zuerst ausgewertet. Ihr Ergebnis fliesst in die äussere Funktion.

Die Schreibweise $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ zeigt: $g$ kommt zuerst, obwohl $f$ links steht. Die Reihenfolge ist nicht vertauschbar. Der Definitionsbereich ergibt sich aus beiden Funktionen gemeinsam.

Mit etwas Übung wirst du Verkettungen schnell erkennen und berechnen können. Sie sind ein mächtiges Werkzeug für komplexere mathematische Zusammenhänge.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage: Gegeben: $f(x) = x + 5$ und $g(x) = 2x$. Berechne $(f \circ g)(3)$.

Lösung anzeigen

Zuerst $g(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Dann $f(6) = 6 + 5 = 11$.

Lösung: $(f \circ g)(3) = 11$

❓ Frage: Gegeben: $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$. Wie lautet $(g \circ f)(x)$ als Funktionsterm?

Lösung anzeigen

Bei $g \circ f$ ist $f$ die innere Funktion.

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$

Lösung: $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$

❓ Frage: Sind $f \circ g$ und $g \circ f$ immer gleich? Begründe kurz.

Lösung anzeigen

Nein, die Verkettung ist nicht kommutativ.

Gegenbeispiel: $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$

$(f \circ g)(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(g \circ f)(x) = x^2 + 1$

Diese beiden Terme sind verschieden.