Spezialfälle linearer Funktionen

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst in einen Laden und kaufst Äpfel. Ein Apfel kostet 50 Rappen. Zwei Äpfel kosten 1 Franken. Drei Äpfel kosten 1.50 Franken. Du merkst sofort: Je mehr Äpfel, desto höher der Preis – und zwar ganz gleichmässig.

Jetzt stell dir einen anderen Laden vor. Dort kostet der Eintritt 2 Franken – egal, ob du einen Apfel kaufst oder zehn. Der Grundpreis bleibt immer gleich.

Und dann gibt es noch den Wochenmarkt. Dort zahlst du keinen Eintritt. Du zahlst nur das, was du kaufst. Null Äpfel bedeuten null Franken.

Diese drei Situationen beschreiben genau die Spezialfälle, die wir uns heute anschauen.

Vom Alltag zur Mathematik

Die drei Einkaufssituationen lassen sich als Funktionen darstellen. Jede hat ihre eigene Besonderheit.

Situation 1 – Der Wochenmarkt: Du zahlst nur für die Äpfel. Der Preis startet bei null und wächst gleichmässig. Das nennen wir eine proportionale Funktion oder Ursprungsgerade.

Situation 2 – Der Laden mit Eintritt: Du zahlst immer mindestens den Eintritt. Der Preis startet nicht bei null, sondern höher. Das ist eine normale lineare Funktion.

Situation 3 – Die Flatrate: Stell dir vor, du zahlst einen festen Betrag – egal was du kaufst. Der Preis ändert sich nie. Das nennen wir eine konstante Funktion.

Die Ursprungsgerade (Proportionale Funktion)

Die einfachste lineare Funktion geht durch den Ursprung. Das ist der Punkt $(0|0)$.

Definition

Eine proportionale Funktion hat die Form:

$y = m \cdot x$

Der y-Achsenabschnitt $b$ ist null. Die Gerade geht immer durch den Koordinatenursprung.

Was bedeutet das praktisch? Bei $x = 0$ ist auch $y = 0$. Kein Einsatz, kein Ergebnis. Der Wert $m$ heisst Proportionalitätsfaktor. Er gibt an, wie stark $y$ wächst, wenn $x$ um 1 steigt.

So erkennst du eine Ursprungsgerade

• Die Funktionsgleichung enthält kein $+ b$ oder $- b$
• Im Graphen geht die Gerade durch den Punkt $(0|0)$
• Eine Wertetabelle zeigt: Wenn $x = 0$, dann ist $y = 0$

Achtung

Typischer Fehler: Viele verwechseln $y = 2x$ mit $y = x + 2$.

Bei $y = 2x$ ist der y-Achsenabschnitt null. Die Gerade geht durch den Ursprung.

Bei $y = x + 2$ ist der y-Achsenabschnitt 2. Die Gerade schneidet die y-Achse bei $(0|2)$.

Achte genau darauf, ob eine Zahl addiert wird oder ob sie mit $x$ multipliziert wird!

Die konstante Funktion

Was passiert, wenn die Steigung null ist? Dann steigt oder fällt die Gerade nicht mehr.

Definition

Eine konstante Funktion hat die Form:

$y = b$

Die Steigung $m$ ist null. Der Funktionswert bleibt für alle $x$-Werte gleich.

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine waagerechte Linie. Sie verläuft parallel zur x-Achse. Egal welchen $x$-Wert du einsetzt – das Ergebnis ist immer $b$.

Beispiele für konstante Funktionen

• $y = 3$ – eine waagerechte Linie auf Höhe 3
• $y = -1$ – eine waagerechte Linie auf Höhe $-1$
• $y = 0$ – das ist die x-Achse selbst!

Ein Sonderfall verdient besondere Aufmerksamkeit: Die Funktion $y = 0$ ist gleichzeitig konstant und geht durch den Ursprung.

Schritt-für-Schritt: Spezialfall erkennen

So gehst du vor, wenn du eine lineare Funktion $y = mx + b$ analysierst:

1. Schreibe die Funktionsgleichung in die Form $y = mx + b$
2. Lies die Steigung $m$ ab
3. Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab
4. Prüfe die beiden Spezialfälle:
   • Ist $b = 0$? → Ursprungsgerade
   • Ist $m = 0$? → Konstante Funktion
5. Sind beide null? → Die Gerade ist die x-Achse

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Ursprungsgerade

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4x$.

Analyse:

• Steigung: $m = 4$
• y-Achsenabschnitt: $b = 0$ (es wird nichts addiert)

Ergebnis: Das ist eine Ursprungsgerade. Sie geht durch $(0|0)$ und steigt steil an.

Probe: Setze $x = 0$ ein: $f(0) = 4 \cdot 0 = 0$ ✓

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Beispiel 2: Konstante Funktion mit negativem Wert

Gegeben ist die Funktion $g(x) = -5$.

Analyse:

• Steigung: $m = 0$ (kein $x$ in der Gleichung)
• y-Achsenabschnitt: $b = -5$

Ergebnis: Das ist eine konstante Funktion. Die Gerade verläuft waagerecht auf Höhe $-5$.

Wertetabelle:

$x$	$-2$	$0$	$3$	$100$
$g(x)$	$-5$	$-5$	$-5$	$-5$

Egal welchen $x$-Wert wir einsetzen: Das Ergebnis ist immer $-5$.

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Beispiel 3: Textaufgabe – Handytarif analysieren

Ein Mobilfunkanbieter hat zwei Tarife:

• Tarif A: Du zahlst 0.10 CHF pro Minute. Keine Grundgebühr.
• Tarif B: Du zahlst 15 CHF pro Monat. Telefonate sind kostenlos.

Aufgabe: Stelle beide Tarife als Funktion dar. Um welche Spezialfälle handelt es sich?

Lösung Tarif A:

Die Kosten hängen von den Minuten $x$ ab:

$K_A(x) = 0.10 \cdot x$

Es gibt keine Grundgebühr, also ist $b = 0$. Das ist eine Ursprungsgerade.

Lösung Tarif B:

Die Kosten sind immer gleich, egal wie viel du telefonierst:

$K_B(x) = 15$

Die Kosten ändern sich nicht. Das ist eine konstante Funktion.

Zusatzfrage: Bei wie vielen Minuten sind beide Tarife gleich teuer?

Setze gleich: $0.10 \cdot x = 15$

Löse nach $x$ auf: $x = 150$

Bei 150 Minuten kosten beide Tarife 15 CHF.

Zusammenfassung der Spezialfälle

Spezialfall	Formel	Steigung $m$	y-Achsenabschnitt $b$	Graph
Ursprungsgerade	$y = mx$	beliebig	$0$	Geht durch $(0
Konstante Funktion	$y = b$	$0$	beliebig	Waagerechte Linie
x-Achse	$y = 0$	$0$	$0$	Beide Spezialfälle kombiniert

Achtung

Achtung bei der Schreibweise:

Die Funktion $y = x$ ist auch eine Ursprungsgerade! Hier ist $m = 1$. Das Multiplikationszeichen und die 1 werden oft weggelassen.

Genauso ist $y = -x$ eine Ursprungsgerade mit $m = -1$.

Quiz

❓ Frage: Welcher Spezialfall liegt bei $f(x) = -3x$ vor?

Lösung anzeigen

Das ist eine Ursprungsgerade.

Begründung: Die Steigung ist $m = -3$ und der y-Achsenabschnitt ist $b = 0$. Die Gerade geht durch den Ursprung $(0|0)$.

❓ Frage: Eine Gerade verläuft waagerecht durch den Punkt $(2|7)$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet $y = 7$.

Begründung: Bei einer waagerechten Gerade ist die Steigung $m = 0$. Der y-Wert ist überall gleich, nämlich 7. Das ist eine konstante Funktion.

❓ Frage: Ein Schwimmbad verlangt 5 CHF Eintritt und 2 CHF pro Stunde. Ist das eine Ursprungsgerade?

Lösung anzeigen

Nein, das ist keine Ursprungsgerade.

Die Funktion lautet: $K(x) = 2x + 5$

Hier ist $b = 5 \neq 0$. Es gibt eine Grundgebühr (Eintritt). Deshalb geht die Gerade nicht durch den Ursprung. Bei 0 Stunden zahlst du trotzdem 5 CHF.