Proportionale Funktionen

Stell dir vor, du kaufst Äpfel auf dem Markt. Ein Apfel kostet 50 Rappen. Zwei Äpfel kosten 1 Franken. Vier Äpfel kosten 2 Franken. Du merkst sofort: Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr zahlst du – und zwar immer im gleichen Verhältnis.

Wenn du die Anzahl der Äpfel verdoppelst, verdoppelt sich auch der Preis. Wenn du dreimal so viele Äpfel nimmst, zahlst du auch dreimal so viel. Dieses gleichmässige Wachstum begegnet dir überall: beim Tanken, beim Berechnen von Geschwindigkeiten oder beim Umrechnen von Währungen.

In der Mathematik beschreiben wir solche Zusammenhänge mit proportionalen Funktionen.

Von Äpfeln zur Formel

Bleiben wir beim Apfelbeispiel. Du kannst eine kleine Tabelle aufstellen:

Anzahl Äpfel	Preis in CHF
1	0.50
2	1.00
3	1.50
4	2.00

Was fällt auf? Der Preis ist immer die Anzahl der Äpfel mal 0.50. Du rechnest also: $\text{Preis} = \text{Anzahl} \cdot 0.50$

In der Mathematik nutzen wir Variablen. Die Anzahl nennen wir $x$, den Preis nennen wir $y$. Der Faktor 0.50 ist unser Proportionalitätsfaktor. Wir kürzen ihn mit $m$ ab.

DEFINITION

Eine proportionale Funktion hat die Form:

$$y = m \cdot x$$

Dabei ist:

• $x$ die unabhängige Variable (Eingabewert)
• $y$ die abhängige Variable (Ausgabewert)
• $m$ der Proportionalitätsfaktor (auch Steigung genannt)

Der Proportionalitätsfaktor $m$ gibt an, wie stark $y$ wächst, wenn $x$ um 1 zunimmt. In unserem Beispiel ist $m = 0.50$. Das bedeutet: Für jeden zusätzlichen Apfel zahlst du 50 Rappen mehr.

Das Bild im Kopf: Die Ursprungsgerade

Wenn du eine proportionale Funktion als Graph zeichnest, erhältst du immer eine Gerade. Diese Gerade hat eine besondere Eigenschaft: Sie geht durch den Ursprung, also durch den Punkt $(0|0)$.

Das ergibt Sinn. Null Äpfel kosten null Franken. Keine Strecke bedeutet null Zeit. Kein Benzin kostet nichts.

Stell dir den Proportionalitätsfaktor $m$ als Steilheit der Geraden vor. Ein grosses $m$ bedeutet eine steile Gerade – der $y$-Wert wächst schnell. Ein kleines $m$ bedeutet eine flache Gerade – der $y$-Wert wächst langsam.

Bei negativem $m$ fällt die Gerade. Das kommt seltener vor, ist aber möglich: Zum Beispiel wenn dein Guthaben pro Minute abnimmt.

Schritt-für-Schritt: So löst du Aufgaben

Wenn du den Funktionswert berechnen sollst:

1. Lies den Proportionalitätsfaktor $m$ ab oder berechne ihn.
2. Setze den gegebenen $x$-Wert in die Formel $y = m \cdot x$ ein.
3. Rechne das Produkt aus.

Wenn du den $x$-Wert berechnen sollst:

1. Stelle die Formel um: $x = \frac{y}{m}$
2. Setze den gegebenen $y$-Wert und $m$ ein.
3. Führe die Division durch.

Wenn du $m$ aus zwei Werten berechnen sollst:

1. Nutze die Formel $m = \frac{y}{x}$
2. Setze ein bekanntes Wertepaar $(x|y)$ ein.
3. Kürze falls möglich.

Typische Fehler bei proportionalen Funktionen:

• Verwechslung mit linearen Funktionen: Eine proportionale Funktion hat KEINEN $y$-Achsenabschnitt. Sobald ein $+b$ oder $-b$ in der Gleichung steht, ist es keine proportionale Funktion mehr.

• Division durch Null: Wenn $x = 0$ ist, kannst du $m$ nicht berechnen. Du brauchst immer ein Wertepaar mit $x \neq 0$.

• Vorzeichenfehler bei negativem $m$: Wenn $m$ negativ ist, wird auch $y$ negativ bei positivem $x$. Achte auf die Vorzeichen!

Beispiele

Beispiel:

Einfache Berechnung: Preis von Brötchen

Ein Brötchen kostet CHF 1.20. Die Funktion für den Gesamtpreis lautet $y = 1.20 \cdot x$.

Frage: Wie viel kosten 5 Brötchen?

Lösung:

$$y = 1.20 \cdot 5$$$$y = 6.00$$

5 Brötchen kosten CHF 6.00.

Beispiel:

Mittlere Schwierigkeit: Proportionalitätsfaktor bestimmen

Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Nach 3 Stunden hat es 210 km zurückgelegt.

Frage: Wie lautet die Funktionsgleichung? Wie weit fährt das Auto in 5 Stunden?

Lösung:

Zuerst berechnen wir $m$:

$$m = \frac{y}{x} = \frac{210}{3} = 70$$

Die Funktionsgleichung lautet $y = 70 \cdot x$. Der Proportionalitätsfaktor $m = 70$ entspricht der Geschwindigkeit in $\text{km/h}$.

Für 5 Stunden gilt:

$$y = 70 \cdot 5 = 350$$

Das Auto fährt in 5 Stunden 350 km.

Beispiel:

Textaufgabe mit Rückwärtsrechnung

Für eine Geburtstagsparty kaufst du Luftballons. Der Preis ist proportional zur Anzahl. Für 12 Luftballons zahlst du CHF 9.00.

Frage: Wie viele Luftballons bekommst du für CHF 15.00?

Lösung:

Zuerst bestimmen wir den Preis pro Luftballon:

$$m = \frac{9.00}{12} = 0.75$$

Ein Luftballon kostet CHF 0.75.

Jetzt stellen wir um und berechnen $x$:

$$x = \frac{y}{m} = \frac{15.00}{0.75} = 20$$

Für CHF 15.00 bekommst du 20 Luftballons.

Woran erkennst du eine proportionale Funktion?

Nicht jeder Zusammenhang ist proportional. Eine proportionale Funktion erkennst du an diesen Merkmalen:

• Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
• Verdoppelt sich $x$, verdoppelt sich auch $y$.
• Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist für alle Wertepaare gleich.
• Die Funktionsgleichung hat die Form $y = m \cdot x$ ohne zusätzlichen Summanden.

Ein Gegenbeispiel: Ein Handyvertrag mit Grundgebühr plus Kosten pro Minute ist NICHT proportional. Selbst wenn du null Minuten telefonierst, zahlst du die Grundgebühr. Der Graph würde nicht durch den Ursprung gehen.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage: Die Funktion $y = 4 \cdot x$ beschreibt einen proportionalen Zusammenhang. Berechne $y$ für $x = 7$.

Lösung anzeigen

$$y = 4 \cdot 7 = 28$$

❓ Frage: Ein Wasserhahn füllt pro Minute 8 Liter in eine Badewanne. Schreibe die Funktionsgleichung auf und berechne, wie lange es dauert, bis 120 Liter eingefüllt sind.

Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet $y = 8 \cdot x$ mit $y$ in Litern und $x$ in Minuten.

Für 120 Liter:

$$x = \frac{120}{8} = 15$$

Es dauert 15 Minuten.

❓ Frage: Ist die Funktion $y = 3 \cdot x + 2$ eine proportionale Funktion? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, das ist keine proportionale Funktion.

Die Gleichung enthält den Summanden $+2$. Dadurch geht der Graph nicht durch den Ursprung. Für $x = 0$ ergibt sich $y = 2$, nicht $y = 0$.

Es handelt sich um eine lineare Funktion mit $y$-Achsenabschnitt.

Zusammenfassung

Proportionale Funktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen zwei Grössen im gleichen Verhältnis wachsen. Die Formel $y = m \cdot x$ ist ihr Erkennungszeichen. Der Graph ist immer eine Gerade durch den Ursprung.

Du begegnest proportionalen Funktionen täglich: beim Einkaufen, beim Berechnen von Strecken und Zeiten, beim Umrechnen von Einheiten. Mit der Formel und den drei Grundaufgaben – $y$ berechnen, $x$ berechnen, $m$ bestimmen – bist du für alle Aufgaben gerüstet.