Parallele und senkrechte Geraden

Stell dir vor, du stehst an einer Strassenkreuzung. Zwei Strassen verlaufen genau parallel nebeneinander – wie Bahngleise, die sich nie treffen. Eine dritte Strasse kreuzt beide im rechten Winkel.

Architekten und Ingenieure müssen ständig wissen, ob Linien parallel oder senkrecht zueinander verlaufen. Beim Hausbau sollen Wände gerade sein. Fensterrahmen müssen rechtwinklig sein. Strassenbauer planen Kreuzungen.

Die gute Nachricht: Um das herauszufinden, brauchst du nur eine einzige Zahl zu kennen – die Steigung der Geraden.

Was du schon wissen solltest

Du kennst bereits die Geradengleichung in der Form $y = mx + q$. Dabei ist $m$ die Steigung und $q$ der y-Achsenabschnitt. Die Steigung gibt an, wie steil eine Gerade verläuft.

Eine positive Steigung bedeutet: Die Gerade steigt von links nach rechts an. Eine negative Steigung bedeutet: Die Gerade fällt von links nach rechts ab.

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in dieselbe Richtung verlaufen. Sie haben überall den gleichen Abstand zueinander. Egal wie weit du sie verlängerst – sie treffen sich nie.

Denk an die Stufen einer Rolltreppe. Jede Stufe verläuft parallel zu den anderen. Sie steigen alle im gleichen Winkel an.

DEFINITION

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

Zwei Geraden $g_1: y = m_1 x + q_1$ und $g_2: y = m_2 x + q_2$ sind parallel, wenn gilt:

$$m_1 = m_2$$

Der y-Achsenabschnitt $q$ kann unterschiedlich sein. Die Geraden liegen dann einfach weiter oben oder unten.

Wie erkennst du parallele Geraden?

1. Bringe beide Geradengleichungen in die Form $y = mx + q$.
2. Lies die Steigungen $m_1$ und $m_2$ ab.
3. Vergleiche die beiden Steigungen.
4. Sind sie gleich? Dann sind die Geraden parallel.

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind senkrecht (oder orthogonal) zueinander, wenn sie sich im rechten Winkel (90°) schneiden. Wie der Buchstabe L oder das Pluszeichen.

Stell dir eine Leiter vor, die an einer Wand lehnt. Die Sprossen stehen senkrecht zu den Holmen. Würden sie das nicht tun, könntest du nicht darauf stehen.

DEFINITION

Bei senkrechten Geraden sind die Steigungen negative Kehrwerte.

Zwei Geraden $g_1: y = m_1 x + q_1$ und $g_2: y = m_2 x + q_2$ sind senkrecht zueinander, wenn gilt:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Das bedeutet: $m_2 = -\frac{1}{m_1}$

Was ist ein negativer Kehrwert?

Der Kehrwert einer Zahl entsteht, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $3$ ist $\frac{1}{3}$. Der Kehrwert von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$.

Der negative Kehrwert hat zusätzlich das umgekehrte Vorzeichen. Der negative Kehrwert von $3$ ist $-\frac{1}{3}$. Der negative Kehrwert von $-\frac{2}{5}$ ist $+\frac{5}{2}$.

Wie erkennst du senkrechte Geraden?

1. Bringe beide Geradengleichungen in die Form $y = mx + q$.
2. Lies die Steigungen $m_1$ und $m_2$ ab.
3. Multipliziere die beiden Steigungen: $m_1 \cdot m_2$.
4. Ist das Ergebnis $-1$? Dann sind die Geraden senkrecht.

Typische Fehler vermeiden:

• Nur den Kehrwert bilden: Vergiss nicht das Minuszeichen! Steigungen $2$ und $\frac{1}{2}$ ergeben keine senkrechten Geraden. Es müsste $2$ und $-\frac{1}{2}$ sein.

• Bei negativen Zahlen verrechnen: Der negative Kehrwert von $-4$ ist $+\frac{1}{4}$ (nicht $-\frac{1}{4}$). Minus mal Minus ergibt Plus.

• Die Probe vergessen: Prüfe immer: $m_1 \cdot m_2 = -1$? Das ist die sicherste Methode.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Parallele Geraden erkennen

Sind die Geraden $g: y = 2x + 3$ und $h: y = 2x - 5$ parallel?

Lösung:

Steigung von $g$: $m_1 = 2$

Steigung von $h$: $m_2 = 2$

Vergleich: $m_1 = m_2 = 2$ ✓

Antwort: Ja, die Geraden sind parallel. Sie haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte.

Beispiel:

Beispiel 2: Senkrechte Geraden prüfen

Sind die Geraden $g: y = 3x + 1$ und $h: y = -\frac{1}{3}x + 4$ senkrecht zueinander?

Lösung:

Steigung von $g$: $m_1 = 3$

Steigung von $h$: $m_2 = -\frac{1}{3}$

Probe: $m_1 \cdot m_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$ ✓

Antwort: Ja, die Geraden sind senkrecht zueinander. Das Produkt der Steigungen ergibt $-1$.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichung einer parallelen Geraden aufstellen

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = -2x + 5$. Bestimme eine Gerade $h$, die parallel zu $g$ verläuft und durch den Punkt $P(1|3)$ geht.

Lösung:

Schritt 1: Steigung ablesen. Die Steigung von $g$ ist $m = -2$. Eine parallele Gerade hat dieselbe Steigung.

Schritt 2: Ansatz aufstellen. Die gesuchte Gerade hat die Form:

$$y = -2x + q$$

Schritt 3: Punkt einsetzen. Der Punkt $P(1|3)$ liegt auf der Geraden:

$$3 = -2 \cdot 1 + q$$$$3 = -2 + q$$$$q = 5$$

Schritt 4: Gleichung angeben.

$$h: y = -2x + 5$$

Antwort: Die parallele Gerade durch $P(1|3)$ hat die Gleichung $y = -2x + 5$.

Hinweis: In diesem Fall ist $h$ identisch mit $g$. Das bedeutet, der Punkt $P$ liegt bereits auf der ursprünglichen Geraden.

Zusammenfassung

Beziehung	Bedingung	Beispiel
Parallel	$m_1 = m_2$	$y = 3x + 2$ und $y = 3x - 7$
Senkrecht	$m_1 \cdot m_2 = -1$	$y = 2x + 1$ und $y = -\frac{1}{2}x + 4$

Merke dir: Parallele Geraden „laufen zusammen” – gleiche Steigung. Senkrechte Geraden „kreuzen sich” – das Produkt der Steigungen ist $-1$.

Quiz

❓ Frage: Sind die Geraden $y = 4x - 1$ und $y = 4x + 6$ parallel, senkrecht oder keines von beiden?

Lösung anzeigen

Parallel. Beide Geraden haben die Steigung $m = 4$. Da $m_1 = m_2$, sind sie parallel.

❓ Frage: Welche Steigung muss eine Gerade haben, die senkrecht zu $y = \frac{1}{2}x + 3$ steht?

Lösung anzeigen

Die Steigung muss $m = -2$ sein. Der negative Kehrwert von $\frac{1}{2}$ ist $-\frac{2}{1} = -2$. Probe: $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ ✓

❓ Frage: Prüfe: Sind $y = -3x + 2$ und $y = \frac{1}{3}x - 5$ senkrecht zueinander?

Lösung anzeigen

Ja. Rechnung: $m_1 \cdot m_2 = (-3) \cdot \frac{1}{3} = -1$ ✓ Die Geraden sind senkrecht.