Lineare Funktionen

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen gleichmässigen Hügel hinauf. Mit jedem Meter, den du vorwärtsfährst, steigst du um dieselbe Höhe. Der Weg ist vorhersehbar. Du weisst genau: Nach 10 Metern bin ich 2 Meter höher. Nach 20 Metern bin ich 4 Meter höher.

Oder denk an ein Handyabo. Du zahlst jeden Monat eine Grundgebühr. Dazu kommen Kosten pro Minute, die du telefonierst. Je mehr Minuten, desto höher die Rechnung – aber immer nach demselben Muster.

Diese Situationen haben etwas gemeinsam: Eine Grösse verändert sich gleichmässig, wenn eine andere Grösse wächst. Genau das beschreiben lineare Funktionen.

Von der Alltagssituation zur Mathematik

Bleiben wir beim Handyabo. Die Grundgebühr beträgt 10 Franken pro Monat. Jede Minute kostet 20 Rappen, also 0.20 Franken.

Wie hoch ist die Rechnung bei 50 Minuten? Du rechnest: Grundgebühr plus Minutenkosten. Das ergibt $10 + 50 \cdot 0.20 = 10 + 10 = 20$ Franken.

Bei 100 Minuten: $10 + 100 \cdot 0.20 = 10 + 20 = 30$ Franken.

Du erkennst das Muster. Die Rechnung hängt von der Anzahl Minuten ab. Nennen wir die Minuten $x$ und die Rechnung $y$. Dann gilt:

$$y = 10 + 0.20 \cdot x$$

Das ist eine lineare Funktion. Die Zahl 10 ist der Startwert (die Grundgebühr). Die Zahl 0.20 gibt an, wie stark die Rechnung pro Minute steigt.

Die allgemeine Form

DEFINITION

Eine lineare Funktion hat die Form:

$$f(x) = m \cdot x + b$$

Dabei bedeuten:

• $m$ = Steigung (wie stark sich $y$ verändert, wenn $x$ um 1 wächst)
• $b$ = y-Achsenabschnitt (der Wert von $y$, wenn $x = 0$)
• $x$ = die unabhängige Variable (Eingabe)
• $f(x)$ oder $y$ = die abhängige Variable (Ausgabe)

Die Steigung $m$ beschreibt die Neigung der Geraden. Ein positives $m$ bedeutet: Die Gerade steigt nach rechts oben. Ein negatives $m$ bedeutet: Sie fällt nach rechts unten. Bei $m = 0$ ist die Gerade waagrecht.

Der y-Achsenabschnitt $b$ zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Du findest ihn, indem du $x = 0$ einsetzt.

Wie du dir das vorstellen kannst

Denk an eine Treppe. Die Steigung $m$ sagt dir, wie hoch jede Stufe ist. Der y-Achsenabschnitt $b$ sagt dir, auf welcher Höhe die Treppe beginnt.

Wenn du einen Schritt nach rechts gehst ($x$ wird um 1 grösser), steigst oder fällst du um genau $m$ Einheiten. Das gilt für jeden Schritt – deshalb ist der Graph eine gerade Linie.

Schritt-für-Schritt: Funktionswerte berechnen

So berechnest du den y-Wert zu einem gegebenen x-Wert:

1. Schreibe die Funktionsgleichung auf.
2. Setze den x-Wert in die Gleichung ein.
3. Rechne zuerst die Multiplikation ($m \cdot x$).
4. Addiere dann den y-Achsenabschnitt ($+ b$).
5. Notiere das Ergebnis als Koordinatenpunkt $(x \mid y)$.

Typische Fehler vermeiden:

• Vorzeichen vergessen: Bei negativer Steigung wird aus $+ m \cdot x$ ein Minus. Beispiel: $f(x) = -2x + 5$ ergibt für $x = 3$: $f(3) = -2 \cdot 3 + 5 = -6 + 5 = -1$.
• Punkt-vor-Strich missachten: Immer zuerst $m \cdot x$ rechnen, dann erst $b$ addieren.
• Schreibweise verwechseln: $f(3)$ bedeutet “Setze $x = 3$ ein”, nicht ”$f$ mal $3$”.

Steigung aus zwei Punkten berechnen

Wenn du zwei Punkte einer Geraden kennst, kannst du die Steigung berechnen. Seien die Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$. Die Steigung ist:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Das liest sich als “Änderung von y geteilt durch Änderung von x”. Oder einfacher: “Wie viel rauf, geteilt durch wie viel rüber.”

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Funktionswert berechnen (einfach)

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x + 2$.

Aufgabe: Berechne $f(4)$.

Lösung:

$$f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$$

Der Punkt $(4 \mid 14)$ liegt auf dem Graphen.

Beispiel:

Beispiel 2: Funktionswert mit negativer Steigung

Gegeben ist die Funktion $g(x) = -2x + 10$.

Aufgabe: Berechne $g(3)$ und $g(-2)$.

Lösung für $g(3)$:

$$g(3) = -2 \cdot 3 + 10 = -6 + 10 = 4$$

Lösung für $g(-2)$:

$$g(-2) = -2 \cdot (-2) + 10 = 4 + 10 = 14$$

Beachte: Minus mal Minus ergibt Plus.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Funktionsgleichung aufstellen

Ein Schwimmbad verlangt 5 Franken Eintritt. Zusätzlich kostet jede Rutschfahrt 0.50 Franken.

Aufgabe: Stelle die Kostenfunktion auf und berechne die Kosten für 12 Rutschfahrten.

Lösung:

Sei $x$ die Anzahl Rutschfahrten und $K(x)$ die Gesamtkosten in Franken.

Die Funktionsgleichung lautet:

$$K(x) = 0.50 \cdot x + 5$$

Für 12 Rutschfahrten:

$$K(12) = 0.50 \cdot 12 + 5 = 6 + 5 = 11 \, \text{Franken}$$

Teste dein Wissen

❓ Frage: Gegeben ist $f(x) = 4x - 3$. Berechne $f(2)$.

Lösung anzeigen

$f(2) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$

❓ Frage: Eine Gerade geht durch die Punkte $(0 \mid 7)$ und $(2 \mid 3)$. Wie gross ist die Steigung $m$?

Lösung anzeigen

$m = \frac{3 - 7}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$

Die Steigung beträgt $-2$. Die Gerade fällt.

❓ Frage: Die Funktion $h(x) = mx + 4$ verläuft durch den Punkt $(3 \mid 10)$. Bestimme $m$.

Lösung anzeigen

Setze den Punkt ein: $10 = m \cdot 3 + 4$

Löse nach $m$ auf: $10 - 4 = 3m$, also $6 = 3m$, also $m = 2$.

Zusammenfassung

Lineare Funktionen beschreiben gleichmässige Veränderungen. Ihr Graph ist immer eine Gerade. Die Steigung $m$ zeigt, wie steil die Gerade ist. Der y-Achsenabschnitt $b$ zeigt, wo sie die y-Achse kreuzt.

Mit der Formel $f(x) = mx + b$ kannst du zu jedem x-Wert den passenden y-Wert berechnen. Und aus zwei Punkten kannst du die Steigung ermitteln. Diese Werkzeuge helfen dir, viele Alltagssituationen mathematisch zu beschreiben.