Lineare Funktionen

Darum geht's

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen gleichmässigen Hügel hinauf. Mit jedem Meter vorwärts steigst du um dieselbe Höhe. Oder denk an ein Handyabo: Grundgebühr plus Kosten pro Minute. Je mehr Minuten, desto höher die Rechnung – aber immer nach demselben Muster. Eine Grösse verändert sich gleichmässig, wenn eine andere wächst. Genau das beschreiben lineare Funktionen. Sie sind eines der wichtigsten Werkzeuge der Mathematik.

Eine kleine Zeitreise

Lineare Funktionen begleiten die Menschheit seit Jahrtausenden. Die alten Babylonier verwendeten bereits vor 4000 Jahren lineare Gleichungen. Sie berechneten damit Handelswaren, Steuern und Landflächen. Ihre Tontafeln zeigen erstaunlich präzise Rechenverfahren.

Im alten Ägypten nutzte man ähnliche Methoden. Der berühmte Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 vor Christus enthält lineare Gleichungen. Ägyptische Schreiber lösten damit praktische Alltagsprobleme.

Der griechische Mathematiker Diophant von Alexandria verfeinerte diese Methoden im 3. Jahrhundert nach Christus. Sein Werk «Arithmetika» legte Grundlagen für die Algebra. Aber den Begriff «Funktion» kannte er noch nicht.

René Descartes revolutionierte die Mathematik im 17. Jahrhundert. Er verband Algebra und Geometrie. Seine Idee: Punkte im Koordinatensystem durch Zahlenpaare darstellen. Das war der Durchbruch. Jetzt konnte man Gleichungen als Linien zeichnen.

Gottfried Wilhelm Leibniz prägte um 1694 den Begriff «Funktion». Er meinte damit eine mathematische Regel, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Diese Definition gilt bis heute.

Im 18. Jahrhundert formalisierte Leonhard Euler die moderne Schreibweise $f(x)$. Euler war ein Schweizer Mathematiker aus Basel. Er veröffentlichte mehr mathematische Werke als jeder andere Mathematiker seiner Zeit.

Heute begegnet dir $f(x) = mx + b$ überall: in der Physik, der Wirtschaft, der Informatik und im Alltag. Was einst Gelehrte auf Tontafeln ritzten, rechnest du heute im Schulheft.

Die Grundlagen

Bevor du lineare Funktionen verstehst, brauchst du zwei Begriffe.

Das Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen. Die waagrechte heisst x-Achse. Die senkrechte heisst y-Achse. Ihr Schnittpunkt ist der Ursprung mit den Koordinaten $(0 \mid 0)$.

Ein Punkt wird als Koordinatenpaar geschrieben: $(x \mid y)$. Der erste Wert gibt die Position auf der x-Achse an. Der zweite Wert gibt die Position auf der y-Achse an.

Definition

Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuweist. Ihr Graph ist immer eine gerade Linie.

Die allgemeine Form lautet:

$$f(x) = m \cdot x + b$$

Dabei gilt:

• $m$ = Steigung (Neigung der Geraden)
• $b$ = y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse)
• $x$ = unabhängige Variable (Eingabe)
• $f(x)$ = abhängige Variable (Ausgabe)

Der y-Achsenabschnitt $b$ ist leicht zu finden. Du setzt $x = 0$ ein. Dann bleibt nur $f(0) = b$ übrig. Die Gerade schneidet die y-Achse genau bei $b$.

Die Steigung $m$ beschreibt, wie steil die Gerade ist. Bei $m > 0$ steigt sie nach rechts. Bei $m < 0$ fällt sie nach rechts. Bei $m = 0$ ist sie waagrecht.

Die Kernmethode

Zwei Methoden brauchst du besonders häufig.

Methode 1: Funktionswert berechnen. Du kennst $m$ und $b$. Du willst wissen, welchen y-Wert ein bestimmtes $x$ ergibt. Setze $x$ in die Formel ein und rechne.

Methode 2: Steigung aus zwei Punkten. Du kennst zwei Punkte der Geraden. Daraus kannst du die Steigung berechnen.

Definition

Gegeben sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$. Die Steigung der Geraden durch diese Punkte beträgt:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Das bedeutet: Änderung von $y$ geteilt durch Änderung von $x$.

Auf Deutsch: Wie viel rauf (oder runter), geteilt durch wie viel nach rechts.

Denk an eine Treppe. Die Steigung $m$ sagt dir, wie hoch jede Stufe ist. Der y-Achsenabschnitt $b$ sagt dir, auf welcher Höhe die Treppe beginnt. Mit jedem Schritt nach rechts steigst oder fällst du um genau $m$ Einheiten. Das gilt für jeden Schritt gleichmässig. Deshalb ist der Graph eine gerade Linie und keine Kurve.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Funktionswert berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x + 2$.

Aufgabe: Berechne $f(4)$ und $f(0)$.

Lösung für $f(4)$:

$$f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$$

Der Punkt $(4 \mid 14)$ liegt auf dem Graphen.

Lösung für $f(0)$:

$$f(0) = 3 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$$

Der Punkt $(0 \mid 2)$ liegt auf dem Graphen. Du erkennst: Der y-Achsenabschnitt $b = 2$ bestätigt sich. Die Gerade schneidet die y-Achse bei $y = 2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Negative Steigung und negative x-Werte

Gegeben ist die Funktion $g(x) = -2x + 10$.

Aufgabe: Berechne $g(3)$ und $g(-2)$.

Lösung für $g(3)$:

$$g(3) = -2 \cdot 3 + 10 = -6 + 10 = 4$$

Lösung für $g(-2)$:

$$g(-2) = -2 \cdot (-2) + 10 = 4 + 10 = 14$$

Beachte bei $g(-2)$: Minus mal Minus ergibt Plus. Das ist ein häufiger Stolperstein. Wenn $x$ negativ ist und $m$ negativ ist, wird der Term $m \cdot x$ positiv.

Die Gerade fällt. Je grösser $x$ wird, desto kleiner wird $g(x)$. Das erkennst du an der negativen Steigung $m = -2$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Vorzeichen bei negativer Steigung: Bei $f(x) = -3x + 5$ und $x = 4$ rechnen viele fälschlicherweise $3 \cdot 4 + 5 = 17$. Richtig ist: $f(4) = -3 \cdot 4 + 5 = -12 + 5 = -7$. Das Minuszeichen gehört zur Steigung. Es darf nicht wegfallen.

Achtung

Punkt-vor-Strich missachten: Die Multiplikation $m \cdot x$ muss immer vor der Addition von $b$ ausgerechnet werden. Bei $f(x) = 2x + 6$ und $x = 3$ gilt: zuerst $2 \cdot 3 = 6$, dann $6 + 6 = 12$. Nicht umgekehrt. Die Reihenfolge der Operationen ist entscheidend.

Achtung

Steigungsformel falsch anwenden: Die Formel lautet $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Der Fehler passiert, wenn y-Differenz und x-Differenz vertauscht werden: $\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ ist falsch. Merke dir: y-Änderung im Zähler, x-Änderung im Nenner. Ausserdem müssen Zähler und Nenner dieselbe Richtung haben. Wenn du $y_2 - y_1$ rechnest, musst du auch $x_2 - x_1$ rechnen, nicht $x_1 - x_2$.

Beispiel:

Beispiel 3: Steigung aus zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 3)$ und $B(4 \mid 9)$.

Aufgabe: Bestimme die Steigung der Geraden durch $A$ und $B$. Stelle danach die vollständige Funktionsgleichung auf.

Steigung berechnen:

$$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$

y-Achsenabschnitt bestimmen: Setze einen Punkt und $m = 2$ in $f(x) = mx + b$ ein. Wähle Punkt $A(1 \mid 3)$:

$$3 = 2 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad 3 = 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 1$$

Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x + 1$.

Probe mit Punkt $B$: $f(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe – Handyabo modellieren

Ein Handyabo kostet monatlich 15 Franken Grundgebühr. Jede Minute Telefonie kostet zusätzlich 0.30 Franken.

Aufgabe: Stelle die Kostenfunktion auf. Berechne die Kosten für 40 Minuten. Bei wie vielen Minuten beträgt die Rechnung genau 30 Franken?

Funktionsgleichung: Sei $x$ die Anzahl Minuten, $K(x)$ die Gesamtkosten in Franken.

$$K(x) = 0.30 \cdot x + 15$$

Kosten für 40 Minuten:

$$K(40) = 0.30 \cdot 40 + 15 = 12 + 15 = 27 \text{ Franken}$$

Gleichung lösen für $K(x) = 30$:

$$30 = 0.30 \cdot x + 15 \quad \Rightarrow \quad 15 = 0.30 \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = 50$$

Bei 50 Minuten beträgt die Rechnung genau 30 Franken.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbständig. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Gegeben ist $f(x) = 5x - 3$. Berechne $f(2)$, $f(0)$ und $f(-1)$.

Aufgabe 2: Gegeben ist $h(x) = -4x + 12$. Berechne $h(3)$ und $h(-1)$.

Aufgabe 3: Eine Gerade geht durch die Punkte $P(0 \mid 6)$ und $Q(3 \mid 0)$. Bestimme die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$. Schreibe die Funktionsgleichung auf.

Aufgabe 4: Die Funktion $f(x) = mx + 7$ verläuft durch den Punkt $(2 \mid 13)$. Bestimme $m$.

Aufgabe 5: Ein Taxi kostet 3 Franken Grundgebühr plus 2.50 Franken pro Kilometer. Stelle die Kostenfunktion auf. Berechne die Kosten für eine 8-km-Fahrt.

Aufgabe 6: Eine Kerze ist 20 cm lang. Sie brennt pro Stunde 3 cm ab. Stelle eine Funktion $L(t)$ auf, die die Länge $L$ nach $t$ Stunden angibt. Nach wie vielen Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt?

Aufgabe 7: Zwei Geraden sind gegeben: $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = -x + 7$. Bei welchem x-Wert schneiden sie sich? (Hinweis: Setze $f(x) = g(x)$.)

Aufgabe 8: Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch $A(2 \mid 5)$ und $B(6 \mid 13)$.

Das Wichtigste in Kürze

Lineare Funktionen beschreiben gleichmässige Veränderungen. Ihr Graph ist immer eine Gerade. Die allgemeine Form lautet $f(x) = mx + b$.

Die Steigung $m$ zeigt die Neigung der Geraden. Positiv bedeutet steigend, negativ bedeutet fallend, null bedeutet waagrecht.

Der y-Achsenabschnitt $b$ zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Aus zwei Punkten berechnest du die Steigung mit $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Lineare Funktionen helfen dir, Alltagssituationen mathematisch zu beschreiben und Berechnungen systematisch durchzuführen.

❓ Frage: Gegeben ist $f(x) = 4x - 3$. Berechne $f(2)$.

Lösung anzeigen

$$f(2) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$$

Der Punkt $(2 \mid 5)$ liegt auf dem Graphen.

❓ Frage: Eine Gerade geht durch die Punkte $(0 \mid 7)$ und $(2 \mid 3)$. Wie gross ist die Steigung $m$?

Lösung anzeigen

$$m = \frac{3 - 7}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$$

Die Steigung beträgt $m = -2$. Die Gerade fällt. Mit dem y-Achsenabschnitt $b = 7$ lautet die Gleichung: $f(x) = -2x + 7$.

❓ Frage: Die Funktion $h(x) = mx + 4$ verläuft durch den Punkt $(3 \mid 10)$. Bestimme $m$.

Lösung anzeigen

Setze den Punkt ein:

$$10 = m \cdot 3 + 4$$

Löse nach $m$ auf:

$$10 - 4 = 3m \quad \Rightarrow \quad 6 = 3m \quad \Rightarrow \quad m = 2$$

Die Funktionsgleichung lautet $h(x) = 2x + 4$.

Ausblick

Mit linearen Funktionen hast du ein mächtiges Werkzeug gelernt. In den nächsten Kapiteln lernst du quadratische Funktionen kennen. Dort ist der Graph keine Gerade mehr, sondern eine Parabel. Später kommen Exponentialfunktionen hinzu. Sie beschreiben zum Beispiel Wachstum und Zerfall. All diese Funktionen bauen auf dem auf, was du hier gelernt hast. Die Steigung, der Graph, die Koordinaten – das alles bleibt relevant.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: $f(x) = 5x - 3$

$$f(2) = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$$ $$f(0) = 5 \cdot 0 - 3 = 0 - 3 = -3$$ $$f(-1) = 5 \cdot (-1) - 3 = -5 - 3 = -8$$

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Lösung zu Aufgabe 2: $h(x) = -4x + 12$

$$h(3) = -4 \cdot 3 + 12 = -12 + 12 = 0$$ $$h(-1) = -4 \cdot (-1) + 12 = 4 + 12 = 16$$

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Lösung zu Aufgabe 3: Punkte $P(0 \mid 6)$ und $Q(3 \mid 0)$.

Steigung:

$$m = \frac{0 - 6}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2$$

Der y-Achsenabschnitt liest du direkt aus Punkt $P$ ab: $b = 6$.

Funktionsgleichung: $f(x) = -2x + 6$

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Lösung zu Aufgabe 4: $f(x) = mx + 7$ durch $(2 \mid 13)$

$$13 = m \cdot 2 + 7 \quad \Rightarrow \quad 6 = 2m \quad \Rightarrow \quad m = 3$$

Die Gleichung lautet $f(x) = 3x + 7$.

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Lösung zu Aufgabe 5: Grundgebühr 3 Franken, 2.50 Franken pro Kilometer.

Kostenfunktion: $K(x) = 2.50 \cdot x + 3$

Kosten für 8 km:

$$K(8) = 2.50 \cdot 8 + 3 = 20 + 3 = 23 \text{ Franken}$$

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Lösung zu Aufgabe 6: Ausgangslänge 20 cm, Abbrand 3 cm pro Stunde.

Funktion: $L(t) = -3t + 20$

Kerze vollständig abgebrannt bei $L(t) = 0$:

$$0 = -3t + 20 \quad \Rightarrow \quad 3t = 20 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ Stunden}$$

Die Kerze ist nach ungefähr 6 Stunden und 40 Minuten abgebrannt.

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Lösung zu Aufgabe 7: $f(x) = g(x)$

$$2x + 1 = -x + 7$$ $$3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Probe: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ und $g(2) = -2 + 7 = 5$ ✓

Die Geraden schneiden sich beim Punkt $(2 \mid 5)$.

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Lösung zu Aufgabe 8: Punkte $A(2 \mid 5)$ und $B(6 \mid 13)$.

Steigung:

$$m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

y-Achsenabschnitt mit Punkt $A(2 \mid 5)$:

$$5 = 2 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad 5 = 4 + b \quad \Rightarrow \quad b = 1$$

Funktionsgleichung: $f(x) = 2x + 1$

Probe mit $B(6 \mid 13)$: $f(6) = 2 \cdot 6 + 1 = 13$ ✓