Funktionen - Grundlagen

Stell dir einen Getränkeautomaten vor. Du wirfst Geld ein und drückst eine Taste. Der Automat gibt dir genau ein Getränk aus – immer dasselbe für dieselbe Taste. Drückst du auf “Cola”, bekommst du Cola. Nie Fanta, nie Wasser. Der Automat arbeitet nach festen Regeln.

Oder denk an einen Toaster mit Bräunungsstufen. Du stellst Stufe 3 ein, und der Toast wird immer gleich braun. Stufe 5 macht ihn dunkler. Jede Einstellung liefert ein vorhersagbares Ergebnis.

Diese Automaten und Geräte funktionieren alle nach demselben Prinzip: Eine Eingabe führt zu genau einer Ausgabe. Dieses Prinzip ist das Herzstück dessen, was in der Mathematik “Funktion” heisst.

Was ist eine Funktion?

Zurück zum Getränkeautomaten. Die Tasten sind deine Eingaben, die Getränke sind die Ausgaben. Der Automat selbst ist die Regel, die bestimmt, welches Getränk zu welcher Taste gehört.

In der Mathematik funktioniert es genauso. Du gibst eine Zahl ein. Die Funktion verarbeitet sie nach einer festen Regel. Heraus kommt genau eine Zahl.

DEFINITION

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Wert aus einer Eingabemenge genau einen Wert aus einer Ausgabemenge zuordnet.

Schreibweise: $f(x) = \text{Rechenregel}$

Dabei ist:

• $f$ der Name der Funktion
• $x$ die Eingabe (auch: Variable oder Argument)
• $f(x)$ die Ausgabe (auch: Funktionswert)

Der Ausdruck $f(x)$ wird “f von x” gesprochen. Er bedeutet: “Was kommt heraus, wenn ich $x$ in die Funktion $f$ einsetze?”

Die Funktion als Maschine

Stell dir die Funktion wie eine Maschine vor. Oben wirfst du eine Zahl hinein. Im Inneren rattert die Rechenregel. Unten fällt das Ergebnis heraus.

Beispiel: Die Funktion $f(x) = 2x + 1$ verdoppelt jede Zahl und addiert dann 1.

Du wirfst die 3 hinein. Die Maschine rechnet: $2 \cdot 3 + 1 = 7$. Heraus kommt 7.

Du wirfst die 0 hinein. Die Maschine rechnet: $2 \cdot 0 + 1 = 1$. Heraus kommt 1.

Schritt für Schritt: Funktionswerte berechnen

So berechnest du den Funktionswert für eine bestimmte Zahl:

1. Schreibe die Funktionsgleichung auf.
2. Ersetze überall $x$ durch die einzusetzende Zahl.
3. Setze die Zahl in Klammern, besonders bei negativen Zahlen.
4. Rechne aus und vereinfache.

Achtung bei negativen Zahlen!

Wenn du $x = -2$ in $f(x) = x^2$ einsetzt, schreibe unbedingt Klammern: $f(-2) = (-2)^2 = 4$

Ohne Klammern rechnest du falsch: $-2^2 = -4 \quad \text{(Das ist nicht dasselbe!)}$

Der Unterschied: $(-2)^2$ bedeutet “minus zwei zum Quadrat”. $-2^2$ bedeutet “das Negative von zwei zum Quadrat”.

Wichtige Begriffe

Rund um Funktionen tauchen einige Fachbegriffe auf:

Definitionsmenge (D): Alle Zahlen, die du einsetzen darfst. Bei einfachen Funktionen sind das oft alle reellen Zahlen.

Wertemenge (W): Alle Zahlen, die als Ergebnis herauskommen können.

Funktionsgleichung: Die Rechenregel selbst, z.B. $f(x) = 3x - 2$.

Funktionswert: Das Ergebnis für eine bestimmte Eingabe, z.B. $f(4) = 10$.

Wann ist etwas keine Funktion?

Erinnere dich an den Getränkeautomaten. Eine Taste – ein Getränk. Das ist die goldene Regel.

Stell dir einen kaputten Automaten vor. Du drückst auf “Cola” und manchmal kommt Cola, manchmal Sprite. Das wäre keine Funktion. Denn dieselbe Eingabe darf nicht zu verschiedenen Ausgaben führen.

In der Mathematik: Wenn für ein $x$ zwei verschiedene $y$-Werte existieren, ist es keine Funktion.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Funktionswerte berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4x - 3$.

Berechne $f(2)$ und $f(5)$.

Lösung:

Für $f(2)$ setzen wir $x = 2$ ein: $f(2) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$

Für $f(5)$ setzen wir $x = 5$ ein: $f(5) = 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17$

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = 4x - 3$ liefert:

• Eingabe 2 → Ausgabe 5
• Eingabe 5 → Ausgabe 17

Beispiel 2: Funktionswert mit negativer Zahl

Gegeben ist die Funktion $g(x) = x^2 + 2x$.

Berechne $g(-3)$.

Lösung:

Wir setzen $x = -3$ ein und achten auf die Klammern:

$$\begin{aligned} g(-3) &= (-3)^2 + 2 \cdot (-3) \\ &= 9 + (-6) \\ &= 9 - 6 \\ &= 3 \end{aligned}$$

Beispiel:

Bei $g(x) = x^2 + 2x$ gilt: $g(-3) = 3$.

Beachte: $(-3)^2 = 9$ ist positiv, aber $2 \cdot (-3) = -6$ ist negativ.

Beispiel 3: Textaufgabe – Die Funktion finden

Ein Handytarif kostet 5 CHF Grundgebühr plus 0.20 CHF pro Minute.

Stelle eine Funktion auf, die die Kosten $K$ in Abhängigkeit der Gesprächsminuten $m$ beschreibt. Berechne die Kosten für 30 Minuten.

Lösung:

Die Grundgebühr ist fix: 5 CHF. Pro Minute kommen 0.20 CHF dazu.

Die Funktion lautet: $K(m) = 5 + 0.2 \cdot m$

Für 30 Minuten setzen wir $m = 30$ ein:

$$\begin{aligned} K(30) &= 5 + 0.2 \cdot 30 \\ &= 5 + 6 \\ &= 11 \end{aligned}$$

Beispiel:

Bei 30 Minuten Telefonieren kostet der Tarif 11 CHF.

Die Funktion $K(m) = 5 + 0.2m$ beschreibt den Zusammenhang zwischen Minuten und Kosten.

Quiz

❓ Frage: Die Funktion $f(x) = 3x + 2$ ist gegeben. Was ist $f(4)$?

Lösung anzeigen

$f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$

❓ Frage: Berechne $h(-2)$ für die Funktion $h(x) = x^2 - 1$.

Lösung anzeigen

$h(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Achtung: $(-2)^2 = 4$, nicht $-4$!

❓ Frage: Ein Schwimmbad kostet 3 CHF Eintritt plus 2 CHF pro Stunde. Wie lautet die Funktion $P(t)$ für die Gesamtkosten nach $t$ Stunden?

Lösung anzeigen

$P(t) = 3 + 2t$

(Oder: $P(t) = 2t + 3$ – die Reihenfolge spielt keine Rolle.)