Der Dreisatz – Rechnen mit Verhältnissen

Stell dir vor, du backst einen Kuchen für 4 Personen. Das Rezept verlangt 200 Gramm Mehl. Jetzt kommen aber 6 Freunde zur Party. Wie viel Mehl brauchst du nun?

Du weisst intuitiv: Mehr Leute bedeutet mehr Kuchen. Also brauchst du auch mehr Mehl. Aber wie viel genau? Diese Art von Problem begegnet dir ständig im Alltag. Beim Einkaufen, beim Kochen, beim Tanken.

Die gute Nachricht: Es gibt eine einfache Methode, solche Aufgaben zu lösen. Diese Methode heisst Dreisatz.

Was ist der Dreisatz?

Der Dreisatz ist eine Rechenmethode in drei Schritten. Du startest mit einem bekannten Verhältnis. Dann rechnest du auf eine Einheit um. Zum Schluss multiplizierst du auf die gesuchte Menge.

Der Name kommt von den drei Rechenschritten. Im Englischen heisst die Methode “Rule of Three”.

Vom Alltag zur Mathematik

Zurück zum Kuchenbeispiel. Du weisst: Für 4 Personen brauchst du 200 g Mehl. Das ist dein Startwert.

Jetzt fragst du dich: Wie viel Mehl braucht eine Person? Dafür teilst du: $200 \, \text{g} \div 4 = 50 \, \text{g}$ pro Person.

Für 6 Personen multiplizierst du: $50 \, \text{g} \cdot 6 = 300 \, \text{g}$.

Diese drei Schritte bilden den Dreisatz.

DEFINITION

Der Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen:

$$\text{Gegebener Wert} \xrightarrow{\div} \text{Einheitswert} \xrightarrow{\cdot} \text{Gesuchter Wert}$$

Formel: Wenn $a_1$ zu $b_1$ gehört, dann gilt für den gesuchten Wert $b_2$:

$$b_2 = \frac{b_1}{a_1} \cdot a_2$$

Dabei ist $\frac{b_1}{a_1}$ der Einheitswert (Wert für eine Einheit).

Die drei Schritte im Detail

Schritt 1 – Ausgangssituation aufschreiben:
Notiere, was du weisst. Zum Beispiel: 4 Personen → 200 g Mehl.

Schritt 2 – Auf die Einheit rechnen:
Teile durch die bekannte Anzahl. Du erhältst den Wert für eine Einheit. Hier: $200 \div 4 = 50$ g pro Person.

Schritt 3 – Auf den Zielwert hochrechnen:
Multipliziere den Einheitswert mit der gesuchten Anzahl. Hier: $50 \cdot 6 = 300$ g.

Wie du dir den Dreisatz vorstellst

Denke an einen Wasserhahn. Bei gleichem Wasserdruck fliesst immer gleich viel Wasser pro Sekunde. Das ist der Einheitswert.

Willst du wissen, wie viel Wasser in 10 Sekunden fliesst? Multipliziere den Einheitswert mit 10. Willst du es für 5 Sekunden wissen? Multipliziere mit 5.

Der Einheitswert ist dein Schlüssel. Hast du ihn gefunden, kannst du jeden Zielwert berechnen.

Häufige Fehler beim Dreisatz:

1. Falsche Rechenrichtung: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Mehr von A bedeutet mehr von B. Prüfe immer, ob dein Ergebnis logisch ist. 6 Personen brauchen mehr Mehl als 4 Personen – nicht weniger!

2. Einheiten vergessen: Schreibe immer die Einheiten dazu (kg, CHF, Stunden). So erkennst du Rechenfehler schneller.

3. Reihenfolge vertauschen: Erst teilen, dann multiplizieren. Nicht umgekehrt!

Der antiproportionale Dreisatz

Manchmal verhält sich die Beziehung umgekehrt. Mehr Arbeiter bedeutet weniger Zeit für dieselbe Arbeit. Das nennt man antiproportional.

Ein Beispiel: 3 Maler streichen eine Wand in 6 Stunden. Wie lange brauchen 2 Maler?

Hier gilt: Weniger Maler → mehr Zeit. Die Rechnung funktioniert anders.

DEFINITION

Der Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen:

$$b_2 = \frac{b_1 \cdot a_1}{a_2}$$

Dabei ist $b_1 \cdot a_1$ das konstante Produkt.

Merkregel: Je mehr, desto weniger. Je weniger, desto mehr.

Bei antiproportionalen Zuordnungen multiplizierst du zuerst, dann teilst du. Das ist das Gegenteil vom proportionalen Dreisatz.

Beispiel Maler

3 Maler brauchen 6 Stunden. Das Produkt ist: $3 \cdot 6 = 18$ Maler-Stunden.

Für 2 Maler gilt: $18 \div 2 = 9$ Stunden.

Die 2 Maler brauchen also 9 Stunden. Das ist länger als die 6 Stunden der 3 Maler. Das ergibt Sinn.

Beispiele

Beispiel:

Einfaches Beispiel: Äpfel kaufen

5 Äpfel kosten 3 CHF. Wie viel kosten 8 Äpfel?

Schritt 1: Gegeben: 5 Äpfel → 3 CHF

Schritt 2: Preis pro Apfel:

$$\frac{3 \, CHF}{5} = 0{,}60 \, CHF$$

Schritt 3: Preis für 8 Äpfel:

$$0{,}60 \, CHF \cdot 8 = 4{,}80 \, CHF$$

Antwort: 8 Äpfel kosten 4,80 CHF.

Beispiel:

Mittleres Beispiel: Rezept umrechnen

Ein Rezept für 6 Portionen benötigt 450 g Reis. Du möchtest nur 4 Portionen kochen. Wie viel Reis brauchst du?

Schritt 1: Gegeben: 6 Portionen → 450 g

Schritt 2: Reis pro Portion:

$$\frac{450 \, \text{g}}{6} = 75 \, \text{g}$$

Schritt 3: Reis für 4 Portionen:

$$75 \, \text{g} \cdot 4 = 300 \, \text{g}$$

Antwort: Für 4 Portionen brauchst du 300 g Reis.

Beispiel:

Textaufgabe: Antiproportionaler Dreisatz

Für den Bau eines Spielplatzes brauchen 4 Arbeiter 15 Tage. Die Gemeinde möchte den Spielplatz schneller fertigstellen und setzt 6 Arbeiter ein. Wie lange dauert der Bau jetzt?

Analyse: Mehr Arbeiter → weniger Tage. Das ist antiproportional.

Schritt 1: Gegeben: 4 Arbeiter → 15 Tage

Schritt 2: Gesamtarbeit berechnen (konstantes Produkt):

$$4 \cdot 15 = 60 \, \text{Arbeitertage}$$

Schritt 3: Zeit für 6 Arbeiter:

$$\frac{60}{6} = 10 \, \text{Tage}$$

Antwort: Mit 6 Arbeitern dauert der Bau 10 Tage.

Zusammenfassung

Der Dreisatz hilft dir, Verhältnisse umzurechnen. Bei proportionalen Zuordnungen teilst du zuerst, dann multiplizierst du. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es umgekehrt.

Prüfe immer, ob dein Ergebnis logisch ist. Mehr Äpfel kosten mehr Geld. Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit.

Quiz

❓ Frage: Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. In 3 Stunden legt es 210 km zurück. Wie weit kommt es in 5 Stunden?

Lösung anzeigen

Lösung:

Geschwindigkeit: $\frac{210 \, \text{km}}{3 \, \text{h}} = 70 \, \text{km/h}$

In 5 Stunden: $70 \, \text{km/h} \cdot 5 \, \text{h} = 350 \, \text{km}$

❓ Frage: 8 Packungen Müsli kosten 19,20 CHF. Wie viel kosten 5 Packungen?

Lösung anzeigen

Lösung:

Preis pro Packung: $\frac{19{,}20 \, CHF}{8} = 2{,}40 \, CHF$

5 Packungen: $2{,}40 \, CHF \cdot 5 = 12{,}00 \, CHF$

❓ Frage: 5 Pumpen leeren einen Pool in 4 Stunden. Wie lange brauchen 8 Pumpen? (Antiproportional!)

Lösung anzeigen

Lösung:

Gesamtarbeit: $5 \cdot 4 = 20$ Pumpen-Stunden

Mit 8 Pumpen: $\frac{20}{8} = 2{,}5$ Stunden

Die 8 Pumpen brauchen 2,5 Stunden (oder 2 Stunden 30 Minuten).