Antiproportionale Zuordnungen verstehen – Der umgekehrte Dreisatz

Stell dir vor, du planst eine Geburtstagsparty. Du hast einen grossen Kuchen, der in gleich grosse Stücke geschnitten wird. Wenn nur 4 Gäste kommen, bekommt jeder ein ordentliches Stück. Kommen aber 8 Gäste, muss der Kuchen auf mehr Leute verteilt werden. Jeder bekommt dann nur noch halb so viel.

Das ist der Kern einer antiproportionalen Zuordnung: Je mehr Personen sich etwas teilen, desto weniger bekommt jeder Einzelne. Das Gleiche passiert, wenn mehrere Arbeiter einen Job erledigen. Je mehr Leute mithelfen, desto schneller sind alle fertig.

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Bei einer antiproportionalen Zuordnung verhalten sich zwei Grössen “umgekehrt” zueinander. Wenn die eine Grösse grösser wird, wird die andere kleiner. Und zwar in einem ganz bestimmten Verhältnis.

Zurück zum Kuchen: Bei 4 Gästen bekommt jeder $\frac{1}{4}$ des Kuchens. Bei 8 Gästen bekommt jeder nur noch $\frac{1}{8}$. Die Anzahl der Gäste hat sich verdoppelt, aber die Kuchenmenge pro Person hat sich halbiert.

Das Besondere dabei: Das Produkt aus beiden Werten bleibt immer gleich. Bei 4 Gästen mit je $\frac{1}{4}$ Kuchen ergibt das $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ (einen ganzen Kuchen). Bei 8 Gästen mit je $\frac{1}{8}$ Kuchen ergibt das $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ (wieder ein ganzer Kuchen).

DEFINITION

Antiproportionale Zuordnung:

Zwei Grössen sind antiproportional zueinander, wenn gilt:

$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = \text{konstant}$$

Das Produkt der zugeordneten Werte bleibt immer gleich. Man nennt dieses Produkt auch die Konstante der Zuordnung.

Erkennungsmerkmal: “Je mehr, desto weniger” oder “Je weniger, desto mehr”

So stellst du dir das vor

Denke an eine Wippe auf dem Spielplatz. Wenn die eine Seite nach oben geht, geht die andere nach unten. Genauso funktioniert die antiproportionale Zuordnung: Steigt ein Wert, sinkt der andere.

Ein weiteres Bild: Stell dir einen Eimer Farbe vor, mit dem du eine Wand streichst. Je dicker du die Farbe aufträgst, desto weniger Fläche kannst du damit bedecken. Die Menge Farbe im Eimer ändert sich nicht. Nur die Verteilung.

Der Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen

Der Dreisatz funktioniert hier anders als bei proportionalen Zuordnungen. Statt zu multiplizieren, wenn wir vergrössern, müssen wir dividieren. Die Rechnung erfolgt in drei Schritten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Notiere die bekannten Werte als Zuordnung (z.B. 6 Arbeiter → 4 Tage).
2. Berechne das Produkt der beiden Werte. Das ist die Konstante.
3. Teile die Konstante durch den neuen Wert, um das Ergebnis zu erhalten.

Alternativ kannst du so vorgehen:

1. Schreibe die Ausgangssituation auf.
2. Berechne den Wert für “1” (z.B. 1 Arbeiter).
3. Berechne den gesuchten Wert durch Division.

Achtung: Nicht mit proportionalen Zuordnungen verwechseln!

Bei proportionalen Zuordnungen gilt “je mehr, desto mehr”. Da multiplizierst du im zweiten Schritt. Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt “je mehr, desto weniger”. Hier dividierst du.

Typischer Fehler: Du erkennst nicht, ob eine Aufgabe proportional oder antiproportional ist. Frage dich immer zuerst: Wird das Ergebnis grösser oder kleiner, wenn ich die andere Grösse erhöhe?

Woran erkennst du antiproportionale Zuordnungen?

Achte auf diese Signalwörter und Situationen:

• Arbeiter und Zeit: Mehr Arbeiter = weniger Zeit für dieselbe Arbeit
• Geschwindigkeit und Zeit: Höhere Geschwindigkeit = weniger Zeit für dieselbe Strecke
• Teilen und Anteile: Mehr Personen teilen = kleinerer Anteil pro Person
• Breite und Länge: Bei gleichem Flächeninhalt: breiteres Rechteck = kürzere Länge

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Rechnung mit ganzen Zahlen

Aufgabe: 3 Maler streichen eine Wand in 12 Stunden. Wie lange brauchen 6 Maler?

Lösung:

Zuerst prüfen wir: Mehr Maler = weniger Zeit? Ja, also antiproportional.

Wir berechnen die Konstante (Produkt):

$$3 \cdot 12 = 36$$

Das bedeutet: Die Arbeit entspricht 36 “Malerstunden”.

Für 6 Maler teilen wir:

$$\frac{36}{6} = 6 \, \text{Stunden}$$

Antwort: 6 Maler brauchen 6 Stunden.

Beispiel:

Beispiel 2: Rechnung mit Bruchzahlen

Aufgabe: 8 Pumpen leeren einen Pool in 3 Stunden. Wie lange brauchen 5 Pumpen?

Lösung:

Mehr Pumpen = weniger Zeit, also antiproportional.

Konstante berechnen:

$$8 \cdot 3 = 24$$

Für 5 Pumpen:

$$\frac{24}{5} = 4{,}8 \, \text{Stunden}$$

Das entspricht 4 Stunden und 48 Minuten.

Antwort: 5 Pumpen brauchen 4,8 Stunden (oder 4 Stunden 48 Minuten).

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit Rückwärtsrechnung

Aufgabe: Ein Vorrat an Tierfutter reicht für 15 Tiere genau 8 Tage. Der Bauer kauft zusätzliche Tiere. Nun reicht das Futter nur noch 5 Tage. Wie viele Tiere hat der Bauer jetzt insgesamt?

Lösung:

Mehr Tiere = weniger Tage, also antiproportional.

Konstante berechnen:

$$15 \cdot 8 = 120$$

Diese 120 “Tier-Tage” entsprechen dem gesamten Futtervorrat.

Wir suchen die Anzahl Tiere bei 5 Tagen:

$$\frac{120}{5} = 24 \, \text{Tiere}$$

Antwort: Der Bauer hat jetzt 24 Tiere.

Zusammenfassung

Antiproportionale Zuordnungen erkennst du am Muster “je mehr, desto weniger”. Das Produkt der zugeordneten Werte bleibt konstant. Beim Dreisatz berechnest du zuerst diese Konstante und teilst dann durch den neuen Wert.

Typische Beispiele sind: Arbeitszeit bei unterschiedlich vielen Helfern, Geschwindigkeit und Fahrtdauer, oder das Aufteilen einer festen Menge auf mehrere Personen.

❓ Frage: 4 Bagger heben eine Grube in 6 Tagen aus. Wie viele Tage brauchen 8 Bagger?

Lösung anzeigen

Konstante: $4 \cdot 6 = 24$

Für 8 Bagger: $\frac{24}{8} = 3 \, \text{Tage}$

❓ Frage: Ein Vorrat reicht für 12 Personen genau 5 Tage. Für wie viele Tage reicht er für 20 Personen?

Lösung anzeigen

Konstante: $12 \cdot 5 = 60$

Für 20 Personen: $\frac{60}{20} = 3 \, \text{Tage}$

❓ Frage: 6 Maschinen produzieren eine Bestellung in 10 Stunden. Wie viele Maschinen braucht man, um die Bestellung in 4 Stunden zu schaffen?

Lösung anzeigen

Konstante: $6 \cdot 10 = 60$

Für 4 Stunden: $\frac{60}{4} = 15 \, \text{Maschinen}$