Kreise und Kreisausschnitte verstehen – So berechnest du Flächen und Bögen

Stell dir vor, du bestellst eine riesige Pizza für deine Geburtstagsparty. Die Pizza wird in acht gleich grosse Stücke geschnitten. Jedes Stück hat die typische Dreiecksform mit der Spitze in der Mitte.

Nun möchtest du wissen: Wie viel Pizza bekommt jeder Gast? Du musst also herausfinden, wie gross ein einzelnes Stück im Vergleich zur ganzen Pizza ist.

Genau das ist die Grundidee hinter Kreisausschnitten. Du nimmst einen Teil vom Ganzen – und dieser Teil hängt davon ab, wie gross der Winkel in der Mitte ist.

Vom Pizzastück zur Mathematik

Ein Pizzastück ist mathematisch gesehen ein Kreisausschnitt. Manchmal nennt man ihn auch Kreissektor. Er besteht aus zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen.

Der Winkel in der Mitte bestimmt, wie gross dein Stück ist. Bei acht gleichen Stücken hat jedes einen Winkel von $45°$. Denn $360° \div 8 = 45°$.

Je grösser der Winkel, desto mehr Pizza bekommst du. Bei $180°$ hättest du die halbe Pizza. Bei $90°$ ein Viertel.

Der ganze Kreis als Ausgangspunkt

Bevor wir Teile berechnen, brauchen wir die Formeln für den ganzen Kreis.

DEFINITION

Kreisumfang:

$$U = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Kreisfläche:

$$A = \pi \cdot r^2$$

Dabei ist $r$ der Radius des Kreises und $\pi \approx 3{,}14159$.

Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zum Rand. Der Umfang ist die Länge der Kreislinie. Die Fläche ist der gesamte Bereich innerhalb des Kreises.

Kreisausschnitt – ein Stück vom Kuchen

Ein Kreisausschnitt ist ein “Tortenstück” des Kreises. Er wird durch einen Winkel $\alpha$ (Alpha) bestimmt.

DEFINITION

Fläche des Kreisausschnitts:

$$A_{\text{Sektor}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2$$

Länge des Kreisbogens:

$$b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r$$

Hierbei ist $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad.

So stellst du dir die Rechnung vor

Der Bruch $\frac{\alpha}{360°}$ gibt an, welchen Anteil vom ganzen Kreis du betrachtest. Bei $90°$ ist das $\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$, also ein Viertel.

Diesen Anteil multiplizierst du mit der vollen Kreisfläche oder dem vollen Umfang. So erhältst du den entsprechenden Teil.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Lies den Radius $r$ und den Winkel $\alpha$ aus der Aufgabe ab.
2. Berechne den Anteil: $\frac{\alpha}{360°}$.
3. Für die Fläche: Multipliziere den Anteil mit $\pi \cdot r^2$.
4. Für den Bogen: Multipliziere den Anteil mit $2 \cdot \pi \cdot r$.
5. Runde das Ergebnis sinnvoll (meist auf zwei Dezimalstellen).

Häufiger Fehler: Winkel und Bogen verwechseln

Der Kreisbogen ist eine Länge – er wird in Zentimetern, Metern etc. gemessen. Der Winkel wird in Grad gemessen. Achte darauf, was die Aufgabe fragt!

Ausserdem: Vergiss nicht, dass der volle Kreis $360°$ hat, nicht $180°$ oder $100°$.

Der Kreisbogen genauer betrachtet

Der Kreisbogen ist der gekrümmte Teil des Kreisrandes, der zum Ausschnitt gehört. Stell dir vor, du legst ein Stück Schnur entlang des Pizzarandes – genau das ist der Bogen.

Die Bogenlänge hängt von zwei Dingen ab: dem Radius und dem Winkel. Ein grösserer Radius bedeutet einen längeren Bogen. Ein grösserer Winkel ebenso.

Achtung: Einheiten beachten

Wenn der Radius in Zentimetern gegeben ist, erhältst du die Bogenlänge auch in Zentimetern. Die Fläche ist dann in Quadratzentimetern ($\text{cm}^2$).

Beispiele zum Üben

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Kreisausschnitt

Ein Kreis hat den Radius $r = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche eines Kreisausschnitts mit dem Winkel $\alpha = 72°$.

Lösung:

Anteil am Kreis:

$$\frac{72°}{360°} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Fläche des Ausschnitts:

$$A_{\text{Sektor}} = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 0{,}2 \cdot \pi \cdot 25 = 5\pi \approx 15{,}71 \, \text{cm}^2$$

Der Kreisausschnitt hat eine Fläche von etwa $15{,}71 \, \text{cm}^2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Kreisbogen mit negativem Vorzeichen vermeiden

Ein Kreisbogen gehört zu einem Ausschnitt mit Winkel $\alpha = 150°$. Der Radius beträgt $r = 3 \, \text{cm}$. Berechne die Bogenlänge.

Lösung:

Anteil am Kreis:

$$\frac{150°}{360°} = \frac{5}{12}$$

Bogenlänge:

$$b = \frac{5}{12} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 3 = \frac{5}{12} \cdot 6\pi = \frac{30\pi}{12} = 2{,}5\pi \approx 7{,}85 \, \text{cm}$$

Der Kreisbogen ist etwa $7{,}85 \, \text{cm}$ lang.

Beispiel:

Beispiel 3: Rückwärts rechnen – Winkel gesucht

Ein Kreisausschnitt hat eine Fläche von $A_{\text{Sektor}} = 25\pi \, \text{cm}^2$. Der Radius beträgt $r = 10 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Mittelpunktswinkel $\alpha$?

Lösung:

Die volle Kreisfläche wäre:

$$A = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \, \text{cm}^2$$

Der Anteil des Ausschnitts:

$$\frac{A_{\text{Sektor}}}{A} = \frac{25\pi}{100\pi} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Der Winkel:

$$\alpha = 0{,}25 \cdot 360° = 90°$$

Der Mittelpunktswinkel beträgt $90°$.

Zusammenfassung

Bei Kreisausschnitten geht es immer um Anteile. Der Winkel bestimmt, welchen Bruchteil des ganzen Kreises du betrachtest.

Mit dem Anteil $\frac{\alpha}{360°}$ kannst du sowohl die Fläche als auch die Bogenlänge berechnen. Multipliziere einfach die entsprechende Formel des vollen Kreises mit diesem Anteil.

Ob Pizza, Tortenstück oder Radarschirm – überall begegnen dir Kreisausschnitte im Alltag.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage: Ein Kreis hat den Radius $r = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche eines Kreisausschnitts mit $\alpha = 90°$?

Lösung anzeigen

Der Anteil beträgt $\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$.

Die Fläche ist:

$$A_{\text{Sektor}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi \approx 12{,}57 \, \text{cm}^2$$

❓ Frage: Ein Kreisbogen hat die Länge $b = 3\pi \, \text{cm}$. Der Radius beträgt $r = 6 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Winkel $\alpha$?

Lösung anzeigen

Der volle Umfang wäre $U = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \, \text{cm}$.

Der Anteil: $\frac{3\pi}{12\pi} = \frac{1}{4}$.

Der Winkel: $\alpha = \frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

❓ Frage: Welchen Anteil am ganzen Kreis hat ein Ausschnitt mit $\alpha = 60°$? Gib das Ergebnis als Bruch an.

Lösung anzeigen

$$\frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}$$

Ein Winkel von $60°$ entspricht einem Sechstel des Kreises.