Terme mit einer Variablen – Der Platzhalter in der Mathematik

Stell dir vor, du organisierst eine Geburtstagsparty. Du weisst noch nicht genau, wie viele Gäste kommen. Trotzdem musst du planen: Jeder Gast bekommt 2 Stück Pizza und 1 Getränk.

Wie rechnest du die Gesamtmenge aus, wenn du die Gästezahl noch nicht kennst? Du könntest sagen: “Anzahl der Gäste mal 2 ergibt die Pizzastücke.” Die unbekannte Gästezahl ist dabei ein Platzhalter. Sobald du weisst, dass 8 Gäste kommen, setzt du die 8 ein.

Genau so funktioniert Mathematik mit Variablen. Du arbeitest mit einem Platzhalter, bis du den konkreten Wert kennst.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. Er kann aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen. Beispiele für Terme sind: $5$, $x$, $3 + 7$ oder $2 \cdot x + 5$.

Ein Term hat keinen Vergleich mit einer anderen Seite. Sobald ein Gleichheitszeichen dazukommt, wird daraus eine Gleichung.

Von der Party zur Formel

Zurück zur Party: Du brauchst 2 Pizzastücke pro Gast. Die Anzahl der Gäste nennst du $x$. Die Gesamtzahl der Pizzastücke ist dann $2 \cdot x$.

Das $x$ steht für eine Zahl, die du noch nicht kennst. Es ist die Variable. Die $2$ ist ein fester Wert, der Koeffizient. Der gesamte Ausdruck $2 \cdot x$ ist dein Term.

DEFINITION

Ein Term mit einer Variablen hat die allgemeine Form:

$$a \cdot x + b$$

Dabei bedeuten:

• $x$ = die Variable (der Platzhalter für eine unbekannte Zahl)
• $a$ = der Koeffizient (die Zahl vor der Variablen)
• $b$ = die Konstante (eine feste Zahl ohne Variable)

Beispiel: Im Term $3 \cdot x + 5$ ist $a = 3$, $x$ die Variable und $b = 5$.

So stellst du dir Terme vor

Denk an die Variable als leere Schachtel. Auf der Schachtel steht ein Buchstabe, zum Beispiel $x$. Der Koeffizient sagt dir, wie viele solcher Schachteln du hast.

Bei $4 \cdot x$ hast du 4 Schachteln. Jede Schachtel enthält denselben unbekannten Wert. Wenn du erfährst, dass $x = 3$ ist, öffnest du die Schachteln. Du findest in jeder eine 3. Insgesamt hast du $4 \cdot 3 = 12$.

Die Konstante ist eine Zahl, die einfach dazukommt. Bei $4 \cdot x + 2$ hast du 4 Schachteln plus 2 einzelne Einheiten.

Schritt-für-Schritt: Terme aufstellen und berechnen

Einen Term aufstellen

1. Lies die Aufgabe genau durch.
2. Finde die unbekannte Grösse und gib ihr einen Buchstaben (meist $x$).
3. Übersetze die Rechenoperationen in mathematische Zeichen.
4. Schreibe den Term auf.

Einen Term berechnen (Wert einsetzen)

1. Schau dir den Term genau an.
2. Ersetze die Variable durch den gegebenen Zahlenwert.
3. Rechne Punkt vor Strich.
4. Berechne das Ergebnis.

Typische Fehler vermeiden:

• Punkt vor Strich vergessen: Bei $2 + 3 \cdot x$ wird zuerst $3 \cdot x$ berechnet, nicht $2 + 3$.
• Vorzeichen übersehen: Bei $-2 \cdot x$ bleibt das Minuszeichen erhalten. Für $x = 3$ ergibt das $-6$, nicht $6$.
• Koeffizient 1 vergessen: Der Term $x$ bedeutet $1 \cdot x$. Bei $x = 5$ ist das Ergebnis $5$.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Term berechnen

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x$ für $x = 4$.

Lösung:

Setze $4$ für $x$ ein:

$$3 \cdot x = 3 \cdot 4 = 12$$

Der Termwert ist $12$.

Beispiel:

Beispiel 2: Term mit Konstante und negativer Zahl

Aufgabe: Berechne den Wert des Terms $5 \cdot x - 7$ für $x = -2$.

Lösung:

Setze $-2$ für $x$ ein. Achte auf das Vorzeichen:

$$5 \cdot x - 7 = 5 \cdot (-2) - 7$$

Berechne zuerst die Multiplikation:

$$5 \cdot (-2) = -10$$

Dann die Subtraktion:

$$-10 - 7 = -17$$

Der Termwert ist $-17$.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Term aufstellen

Aufgabe: Ein Schwimmbad verlangt 4 CHF Eintritt pro Person. Zusätzlich kostet ein Schliessfach 2 CHF (einmalig). Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn $x$ die Anzahl der Personen ist.

Lösung:

Jede Person zahlt 4 CHF Eintritt. Bei $x$ Personen sind das $4 \cdot x$ CHF.

Das Schliessfach kostet einmalig 2 CHF.

Der Term für die Gesamtkosten lautet:

$$4 \cdot x + 2$$

Probe: Für 3 Personen ergibt sich: $4 \cdot 3 + 2 = 12 + 2 = 14$ CHF.

Zusammenfassung

Terme mit einer Variablen sind mathematische Ausdrücke mit einem Platzhalter. Die Variable steht für eine unbekannte Zahl. Der Koeffizient gibt an, wie oft die Variable vorkommt. Die Konstante ist ein fester Summand.

Um einen Termwert zu berechnen, setzt du eine Zahl für die Variable ein. Dabei gilt immer: Punkt vor Strich rechnen und auf Vorzeichen achten.

Quiz

❓ Frage: Berechne den Wert des Terms $2 \cdot x + 3$ für $x = 5$.

Lösung anzeigen

Setze $5$ für $x$ ein:

$$2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$$

Der Termwert ist $13$.

❓ Frage: Wie lautet der Koeffizient im Term $7 \cdot x - 4$?

Lösung anzeigen

Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variablen.

Im Term $7 \cdot x - 4$ ist der Koeffizient $7$.

❓ Frage: Stelle einen Term auf: Du kaufst $x$ Hefte zu je 3 CHF. Wie lautet der Term für die Gesamtkosten?

Lösung anzeigen

Jedes Heft kostet 3 CHF. Bei $x$ Heften sind die Gesamtkosten:

$$3 \cdot x$$

Für 4 Hefte wären das zum Beispiel $3 \cdot 4 = 12$ CHF.