Terme verstehen und richtig rechnen – Dein Wegweiser durch den Buchstaben-Dschungel

Stell dir vor, du packst deinen Rucksack für einen Wanderausflug. Du hast drei Äpfel, zwei Brote und noch mal vier Äpfel. Wie viele Äpfel hast du insgesamt? Klar – du zählst die Äpfel zusammen und lässt die Brote separat. Äpfel und Brote sind verschiedene Dinge. Die kannst du nicht einfach mischen.

Genau so funktioniert das Rechnen mit Termen. Manche Dinge gehören zusammen, andere nicht. Wenn du dieses Prinzip verstanden hast, wird das Vereinfachen von Termen zum Kinderspiel.

Was ist ein Term?

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Variablen sind Buchstaben wie $x$, $y$ oder $a$. Sie stehen als Platzhalter für Zahlen, die wir noch nicht kennen.

Beispiele für Terme:

• $3x + 5$
• $2a - 4b + 7$
• $5 \cdot (x + 2)$

Der Wert eines Terms hängt davon ab, welche Zahl wir für die Variable einsetzen.

Gleichartige Terme erkennen und zusammenfassen

Zurück zum Rucksack: Äpfel zählst du mit Äpfeln zusammen. Brote bleiben Brote. In der Mathematik nennen wir Dinge, die zusammenpassen, gleichartige Terme.

DEFINITION

Gleichartige Terme enthalten dieselbe Variable mit demselben Exponenten. Nur gleichartige Terme dürfen addiert oder subtrahiert werden.

$$3x + 5x = 8x$$$$2a + 3b \quad \text{bleibt} \quad 2a + 3b$$

Die Zahl vor der Variable heisst Koeffizient. Bei $3x$ ist die $3$ der Koeffizient. Beim Zusammenfassen addierst oder subtrahierst du nur die Koeffizienten. Die Variable bleibt unverändert.

So erkennst du gleichartige Terme

Schau dir die Variable und ihren Exponenten an:

• $4x$ und $7x$ sind gleichartig (beide haben $x$)
• $3x$ und $3x^2$ sind nicht gleichartig (verschiedene Exponenten)
• $5a$ und $5b$ sind nicht gleichartig (verschiedene Variablen)

Stell dir vor: $x$ sind Äpfel, $x^2$ sind Apfelkuchen, $y$ sind Birnen. Äpfel und Apfelkuchen kannst du nicht einfach zusammenzählen.

Häufiger Fehler: Viele schreiben $3x + 2y = 5xy$. Das ist falsch! Verschiedene Variablen können nicht zusammengefasst werden. $3x + 2y$ ist bereits die einfachste Form.

Schritt-für-Schritt: Terme zusammenfassen

1. Markiere alle gleichartigen Terme (z.B. mit Farben oder Unterstreichungen).
2. Sortiere den Term so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen.
3. Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten.
4. Schreibe die Variable dahinter.

Das Distributivgesetz – Ausmultiplizieren

Was passiert, wenn ein Faktor vor einer Klammer steht? Hier kommt das Distributivgesetz ins Spiel. Es ist wie ein Postbote, der jedem in der Klammer ein Päckchen bringt.

DEFINITION

Distributivgesetz (Ausmultiplizieren):

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert.

Das Kopfkino

Stell dir vor: Vor der Klammer steht eine Zahl mit ausgestreckten Armen. Sie greift nach jedem Teil in der Klammer und multipliziert ihn. Niemand wird vergessen!

Bei $3 \cdot (x + 4)$ greift die $3$ erst nach dem $x$, dann nach der $4$:

$$3 \cdot (x + 4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12$$

Achtung bei Minuszeichen! Bei $-2 \cdot (a - 5)$ muss das Minus mit beiden Teilen multipliziert werden:

$$-2 \cdot (a - 5) = -2 \cdot a + (-2) \cdot (-5) = -2a + 10$$

Minus mal Minus ergibt Plus!

Schritt-für-Schritt: Ausmultiplizieren

1. Identifiziere den Faktor vor der Klammer.
2. Multipliziere ihn mit dem ersten Summanden in der Klammer.
3. Multipliziere ihn mit dem zweiten Summanden (achte auf Vorzeichen!).
4. Schreibe die Produkte mit dem richtigen Rechenzeichen dazwischen.
5. Fasse gleichartige Terme zusammen, falls möglich.

Ausklammern – Die Umkehrung

Ausklammern ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren. Du suchst einen gemeinsamen Faktor und schreibst ihn vor die Klammer.

DEFINITION

Ausklammern:

$$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$$

Der gemeinsame Faktor $a$ wird vor die Klammer geschrieben. In der Klammer bleibt, was übrig ist.

Bei $6x + 9$ haben beide Terme den Faktor $3$ gemeinsam:

$$6x + 9 = 3 \cdot (2x + 3)$$

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Gleichartige Terme zusammenfassen

Vereinfache den Term $4a + 3b + 2a - b$.

Lösung:

Zuerst sortieren wir nach gleichartigen Termen:

$$4a + 2a + 3b - b$$

Jetzt fassen wir zusammen:

$$(4 + 2)a + (3 - 1)b = 6a + 2b$$

Ergebnis: $6a + 2b$

Beispiel:

Beispiel 2: Ausmultiplizieren mit negativem Faktor

Vereinfache $-4 \cdot (2x - 3) + 5x$.

Lösung:

Erst multiplizieren wir aus:

$$-4 \cdot 2x + (-4) \cdot (-3) + 5x$$$$= -8x + 12 + 5x$$

Dann fassen wir die $x$-Terme zusammen:

$$= -8x + 5x + 12 = -3x + 12$$

Ergebnis: $-3x + 12$

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Kinobesuch

Tim kauft für sich und seine drei Freunde Kinotickets. Jedes Ticket kostet $p$ Franken. Zusätzlich kauft er für jeden ein Popcorn für 6 Franken. Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf und vereinfache ihn.

Lösung:

Tim kauft für 4 Personen (er selbst + 3 Freunde).

Kosten für Tickets: $4 \cdot p$

Kosten für Popcorn: $4 \cdot 6 = 24$

Gesamtkosten als Term:

$$4p + 24$$

Wir können auch ausklammern:

$$4 \cdot (p + 6)$$

Ergebnis: Die Gesamtkosten betragen $4p + 24$ Franken oder $4 \cdot (p + 6)$ Franken.

Teste dein Wissen

❓ Frage: Fasse zusammen: $7x + 3y - 2x + y = \, ?$

Lösung anzeigen

$$7x - 2x + 3y + y = 5x + 4y$$

❓ Frage: Multipliziere aus: $5 \cdot (a + 3) = \, ?$

Lösung anzeigen

$$5 \cdot a + 5 \cdot 3 = 5a + 15$$

❓ Frage: Klammere den gemeinsamen Faktor aus: $8x + 12 = \, ?$

Lösung anzeigen

Der grösste gemeinsame Faktor ist $4$:

$$8x + 12 = 4 \cdot (2x + 3)$$

Zusammenfassung

Du hast drei wichtige Werkzeuge kennengelernt:

1. Zusammenfassen: Nur gleichartige Terme (gleiche Variable, gleicher Exponent) dürfen addiert oder subtrahiert werden.

2. Ausmultiplizieren: Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Achte besonders auf Vorzeichen!

3. Ausklammern: Suche den grössten gemeinsamen Faktor und schreibe ihn vor die Klammer.

Mit diesen Grundregeln kannst du Terme übersichtlicher machen und einfacher weiterrechnen. Übung macht den Meister – probiere es mit eigenen Aufgaben aus!