Gleichungen verstehen und lösen – dein Einstieg

Stell dir vor, du hast eine Waage mit zwei Schalen. Auf der linken Seite liegen ein paar Äpfel und ein Gewicht. Auf der rechten Seite liegt ein anderes Gewicht. Die Waage ist im Gleichgewicht – beide Seiten wiegen genau gleich viel.

Jetzt die Frage: Wie schwer ist ein einzelner Apfel?

Du weisst es nicht direkt. Aber du kannst es herausfinden. Wenn du von beiden Seiten das gleiche Gewicht wegnimmst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. So kannst du Stück für Stück alles entfernen, bis nur noch die Äpfel auf einer Seite übrig sind.

Genau so funktionieren Gleichungen in der Mathematik. Eine Gleichung ist wie eine Waage. Und dein Ziel ist es, die unbekannte Grösse – den “Apfel” – zu finden.

Von der Waage zur Gleichung

Die Waage hilft uns, das Prinzip zu verstehen. Übertragen wir das Bild nun in die Sprache der Mathematik.

Der unbekannte Wert – das Gewicht eines Apfels – bekommt einen Namen. In der Mathematik nennen wir ihn meistens $x$. Das ist unsere Variable. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, die wir noch nicht kennen.

Wenn drei Äpfel und ein 2-kg-Gewicht auf der linken Seite liegen und ein 8-kg-Gewicht auf der rechten, schreiben wir:

$$3x + 2 = 8$$

Das Gleichheitszeichen $=$ ist die Mitte der Waage. Links und rechts davon stehen die beiden Seiten. Unser Ziel: Herausfinden, welchen Wert $x$ hat.

DEFINITION

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, bei der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

$$\text{linke Seite} = \text{rechte Seite}$$

Die Lösung einer Gleichung ist der Wert der Variable, für den die Aussage wahr wird.

Das Prinzip der Äquivalenzumformung

Zurück zur Waage: Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun. Sonst kippt sie.

In der Mathematik heisst das: Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Rechenoperation durchführen. Die Gleichung bleibt dabei gültig. Man nennt das eine Äquivalenzumformung.

Stell dir vor, du schiebst die Zahlen und Variablen hin und her. Dabei gelten klare Regeln:

• Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren.
• Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren.
• Du darfst beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren.
• Du darfst beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren (ausser durch null).

Das Ziel ist immer: Die Variable $x$ alleine auf eine Seite bringen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du vor, um eine einfache Gleichung zu lösen:

1. Schreibe die Gleichung auf. Lies sie dir genau durch.
2. Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite. Nutze Addition oder Subtraktion.
3. Bringe alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite. Nutze wieder Addition oder Subtraktion.
4. Isoliere $x$. Teile oder multipliziere, bis $x$ alleine steht.
5. Mache die Probe. Setze deinen Wert für $x$ in die ursprüngliche Gleichung ein. Stimmt die Aussage?

Die Probe ist wichtig. Sie zeigt dir, ob du richtig gerechnet hast.

Typische Fehler vermeiden:

• Vergiss nie beide Seiten! Wenn du links etwas subtrahierst, musst du es auch rechts tun. Sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.
• Vorzeichen beachten! Beim Verschieben von Termen wechselt das Vorzeichen. Aus $+5$ wird $-5$, wenn du es auf die andere Seite bringst.
• Nicht durch null teilen! Division durch null ist nicht erlaubt und führt zu keinem Ergebnis.

Beispiele

Beispiel 1: Eine einfache Gleichung mit Addition

Löse die Gleichung:

$$x + 7 = 12$$

Lösungsweg:

Wir wollen $x$ alleine haben. Also subtrahieren wir auf beiden Seiten $7$:

$$x + 7 - 7 = 12 - 7$$ $$x = 5$$

Probe: $5 + 7 = 12$ ✓

Beispiel:

Die Lösung ist $x = 5$.

Beispiel 2: Gleichung mit Multiplikation und negativen Zahlen

Löse die Gleichung:

$$3x - 4 = 11$$

Lösungsweg:

Zuerst bringen wir die $-4$ auf die andere Seite. Wir addieren auf beiden Seiten $4$:

$$3x - 4 + 4 = 11 + 4$$ $$3x = 15$$

Jetzt steht $3x$ alleine. Wir teilen beide Seiten durch $3$:

$$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$$ $$x = 5$$

Probe: $3 \cdot 5 - 4 = 15 - 4 = 11$ ✓

Beispiel:

Die Lösung ist $x = 5$.

Beispiel 3: Eine Textaufgabe

Lisa denkt sich eine Zahl. Sie verdoppelt die Zahl und addiert $8$ dazu. Das Ergebnis ist $22$. Welche Zahl hat Lisa sich gedacht?

Aufstellen der Gleichung:

Die unbekannte Zahl nennen wir $x$. Lisa verdoppelt sie: $2x$. Dann addiert sie $8$: $2x + 8$. Das Ergebnis ist $22$.

$$2x + 8 = 22$$

Lösungsweg:

Subtrahiere $8$ auf beiden Seiten:

$$2x = 14$$

Teile durch $2$:

$$x = 7$$

Probe: $2 \cdot 7 + 8 = 14 + 8 = 22$ ✓

Beispiel:

Lisa hat sich die Zahl $7$ gedacht.

Was du dir merken solltest

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Dein Ziel ist es, die Variable zu isolieren. Dabei führst du auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen durch.

Die wichtigsten Schritte sind:

• Terme mit der Variable auf eine Seite bringen
• Zahlen auf die andere Seite bringen
• Die Variable isolieren
• Die Probe machen

Mit etwas Übung wird das Lösen von Gleichungen zur Routine.

Quiz

❓ Frage: Löse: $x + 9 = 15$

Lösung anzeigen

$x = 6$, denn $15 - 9 = 6$

❓ Frage: Löse: $4x = 28$

Lösung anzeigen

$x = 7$, denn $28 \div 4 = 7$

❓ Frage: Löse: $2x + 5 = 17$

Lösung anzeigen

$x = 6$, denn $2x = 12$ und $12 \div 2 = 6$