Teiler und Vielfache verstehen – So erkennst du Teilbarkeit

Stell dir vor, du planst eine Geburtstagsparty. Du hast 12 Muffins gebacken. Jetzt überlegst du: Wie viele Gäste kannst du einladen, damit jeder gleich viele Muffins bekommt?

Bei 2 Gästen bekommt jeder 6 Muffins. Bei 3 Gästen sind es 4 Muffins pro Person. Bei 4 Gästen erhält jeder 3 Muffins. Aber was passiert bei 5 Gästen? Dann bleiben Muffins übrig – oder jemand geht leer aus.

Du merkst: Manche Aufteilungen funktionieren perfekt, andere nicht. Genau darum geht es bei Teilbarkeit. Du lernst, welche Zahlen sich ohne Rest aufteilen lassen.

Von der Party zur Mathematik

Zurück zu den 12 Muffins. Du hast festgestellt: Die Aufteilung auf 2, 3 oder 4 Gäste klappt. Die Aufteilung auf 5 Gäste klappt nicht.

In der Mathematik drücken wir das so aus:

• $12 : 2 = 6$ (geht auf, kein Rest)
• $12 : 3 = 4$ (geht auf, kein Rest)
• $12 : 4 = 3$ (geht auf, kein Rest)
• $12 : 5 = 2$ Rest $2$ (geht nicht auf)

Wenn eine Division ohne Rest aufgeht, sprechen wir von Teilbarkeit. Die Zahlen, durch die wir teilen können, heissen Teiler.

Was ist ein Teiler?

DEFINITION

Eine Zahl $a$ ist ein Teiler einer Zahl $b$, wenn die Division $b : a$ ohne Rest aufgeht.

Mathematisch: $a$ ist Teiler von $b$, wenn es eine natürliche Zahl $n$ gibt, sodass gilt:

$$b = a \cdot n$$

Was bedeutet das konkret? Nehmen wir $a = 3$ und $b = 12$. Gibt es eine Zahl $n$, sodass $12 = 3 \cdot n$? Ja: $n = 4$. Also ist $3$ ein Teiler von $12$.

Die Teiler einer Zahl sind alle Zahlen, die sie ohne Rest teilen. Die Teiler von $12$ sind: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Teiler finden – Schritt für Schritt

So findest du alle Teiler einer Zahl:

1. Beginne mit $1$ – diese Zahl teilt jede natürliche Zahl.
2. Prüfe $2$: Geht die Division ohne Rest auf?
3. Prüfe $3, 4, 5, ...$ der Reihe nach.
4. Stoppe, wenn du bei der Zahl selbst ankommst.
5. Die Zahl selbst ist immer auch ein Teiler.

Ein Trick: Teiler treten oft paarweise auf. Wenn $2$ ein Teiler von $12$ ist ($12 : 2 = 6$), dann ist auch $6$ ein Teiler. Du findest also immer zwei Teiler auf einmal.

Was ist ein Vielfaches?

Jetzt drehen wir die Sichtweise um. Statt zu fragen “Welche Zahlen teilen $12$?” fragen wir: “Von welchen Zahlen ist $12$ ein Vielfaches?”

DEFINITION

Eine Zahl $b$ ist ein Vielfaches einer Zahl $a$, wenn $b$ durch Multiplikation von $a$ mit einer natürlichen Zahl entsteht.

Mathematisch: $b$ ist Vielfaches von $a$, wenn gilt:

$$b = a \cdot n \quad \text{mit } n \in \mathbb{N}$$

Die Vielfachen von $3$ sind zum Beispiel: $3, 6, 9, 12, 15, 18, ...$ – also das kleine Einmaleins der $3$, unendlich fortgesetzt.

Zusammenhang zwischen Teilern und Vielfachen

Teiler und Vielfache sind wie zwei Seiten einer Medaille:

• $3$ ist Teiler von $12$ (weil $12 : 3 = 4$)
• $12$ ist Vielfaches von $3$ (weil $12 = 3 \cdot 4$)

Beide Aussagen beschreiben dieselbe Beziehung – nur aus unterschiedlicher Perspektive.

Häufiger Denkfehler: Viele verwechseln Teiler und Vielfache. Merke dir:

• Teiler sind kleiner oder gleich der Ausgangszahl. Die Anzahl der Teiler ist begrenzt.
• Vielfache sind grösser oder gleich der Ausgangszahl. Es gibt unendlich viele Vielfache.

Beispiel: Die Teiler von $6$ sind nur $1, 2, 3, 6$ (endlich). Die Vielfachen von $6$ sind $6, 12, 18, 24, ...$ (unendlich).

So stellst du dir Teiler vor

Stell dir Teiler wie Rechtecke vor. Die Zahl $12$ kannst du als Rechteck aus $12$ Quadraten darstellen:

• $1 \times 12$ Quadrate (eine Reihe mit 12)
• $2 \times 6$ Quadrate (zwei Reihen mit je 6)
• $3 \times 4$ Quadrate (drei Reihen mit je 4)

Jede mögliche Rechteckform zeigt dir ein Teilerpaar. Kannst du kein sauberes Rechteck bilden, ist die Zahl kein Teiler.

Beispiele

Beispiel 1: Alle Teiler einer Zahl finden

Aufgabe: Finde alle Teiler von $18$.

Lösung: Wir prüfen systematisch:

• $18 : 1 = 18$ ✓ → Teiler: $1$ und $18$
• $18 : 2 = 9$ ✓ → Teiler: $2$ und $9$
• $18 : 3 = 6$ ✓ → Teiler: $3$ und $6$
• $18 : 4 = 4{,}5$ ✗ → kein Teiler
• $18 : 5 = 3{,}6$ ✗ → kein Teiler
• Bei $6$ stoppen wir – die weiteren Teiler haben wir schon gefunden.

Antwort: Die Teiler von $18$ sind: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Beispiel 2: Ist eine Zahl Teiler einer anderen?

Aufgabe: Prüfe, ob $7$ ein Teiler von $56$ ist.

Lösung: Wir rechnen: $56 : 7 = 8$

Die Division geht ohne Rest auf. Also gibt es eine natürliche Zahl $n = 8$, sodass $56 = 7 \cdot 8$.

Antwort: Ja, $7$ ist ein Teiler von $56$. Gleichzeitig ist $56$ ein Vielfaches von $7$.

Beispiel 3: Textaufgabe zur Teilbarkeit

Aufgabe: In einer Schulklasse sind $28$ Schüler. Die Lehrerin möchte Gruppen mit gleich vielen Schülern bilden. Welche Gruppengrössen sind möglich?

Lösung: Wir suchen alle Teiler von $28$:

• $28 : 1 = 28$ ✓ → Teiler: $1$ und $28$
• $28 : 2 = 14$ ✓ → Teiler: $2$ und $14$
• $28 : 4 = 7$ ✓ → Teiler: $4$ und $7$

Antwort: Mögliche Gruppengrössen sind $1, 2, 4, 7, 14$ oder $28$ Schüler pro Gruppe.

Die Lehrerin wählt vermutlich $4$ oder $7$ – eine Gruppe mit nur $1$ Schüler wäre keine echte Gruppe. Und eine Gruppe mit allen $28$ wäre die ganze Klasse.

Quiz

❓ Frage: Welche der folgenden Zahlen ist ein Teiler von $24$? a) $5$ b) $8$ c) $9$

Lösung anzeigen

b) $8$

Begründung: $24 : 8 = 3$ (ohne Rest).

Die anderen: $24 : 5 = 4{,}8$ und $24 : 9 = 2{,}67$ – beide mit Rest.

❓ Frage: Nenne die ersten fünf Vielfachen von $7$.

Lösung anzeigen

Die ersten fünf Vielfachen von $7$ sind:

$7, 14, 21, 28, 35$

(Das sind $7 \cdot 1$, $7 \cdot 2$, $7 \cdot 3$, $7 \cdot 4$, $7 \cdot 5$)

❓ Frage: Wie viele Teiler hat die Zahl $15$?

Lösung anzeigen

Die Zahl $15$ hat 4 Teiler: $1, 3, 5, 15$.

Prüfung:

• $15 : 1 = 15$ ✓
• $15 : 3 = 5$ ✓
• $15 : 5 = 3$ ✓
• $15 : 15 = 1$ ✓