Primfaktorzerlegung – Jede Zahl hat einen geheimen Bauplan

Stell dir vor, du bist ein Detektiv. Deine Aufgabe: Herausfinden, aus welchen Grundbausteinen etwas besteht.

Ein Legohaus kannst du in einzelne Legosteine zerlegen. Diese Steine sind die kleinsten Bauelemente. Manche Steine lassen sich nicht weiter zerlegen – sie sind unteilbar.

Bei Zahlen funktioniert das genauso. Jede Zahl besteht aus bestimmten “Grundbausteinen”. Diese Bausteine sind besondere Zahlen, die sich nicht weiter zerlegen lassen. Wie ein Detektiv spürst du diese Bausteine auf.

Was sind Primzahlen?

Bevor wir Zahlen zerlegen, müssen wir die Grundbausteine kennen. Diese Grundbausteine heissen Primzahlen.

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 7 zum Beispiel lässt sich nur durch 1 und durch 7 teilen. Darum ist 7 eine Primzahl.

Die Zahl 6 hingegen lässt sich durch 1, 2, 3 und 6 teilen. Sie hat mehr als zwei Teiler. Darum ist 6 keine Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots$

Merke dir: Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen einzigen Teiler – sich selbst.

DEFINITION

Primfaktorzerlegung bedeutet: Eine Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben.

Jede natürliche Zahl grösser als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen:

$$n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_k$$

Dabei sind $p_1, p_2, \ldots, p_k$ Primzahlen. Sie heissen Primfaktoren der Zahl $n$.

So funktioniert die Zerlegung

Stell dir einen Baum vor. Oben steht deine Zahl. Von dort verzweigt sie sich nach unten. Bei jeder Verzweigung teilst du durch eine Primzahl.

Du beginnst immer mit der kleinsten Primzahl, die passt. Das ist oft die 2. Wenn die Zahl nicht durch 2 teilbar ist, versuchst du die 3. Dann die 5, die 7, und so weiter.

Du teilst so lange, bis nur noch Primzahlen übrig bleiben. Diese Primzahlen am Ende sind deine Primfaktoren.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schreibe die Zahl auf, die du zerlegen willst.
2. Prüfe: Ist sie durch 2 teilbar? Falls ja, teile durch 2.
3. Schreibe das Ergebnis darunter.
4. Wiederhole: Prüfe das neue Ergebnis wieder ab Schritt 2.
5. Ist die Zahl nicht durch 2 teilbar, versuche die nächste Primzahl (3, 5, 7, …).
6. Mache weiter, bis das Ergebnis selbst eine Primzahl ist.
7. Schreibe alle verwendeten Primzahlen als Produkt auf.

Häufiger Fehler: Viele vergessen, dass man durch dieselbe Primzahl mehrfach teilen kann. Bei der Zahl 8 teilst du dreimal durch 2:

$$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$$

Prüfe also immer: Geht die gleiche Primzahl nochmal?

Das Baumdiagramm

Viele Schüler nutzen ein Baumdiagramm. Du schreibst die Zahl oben hin. Dann zeichnest du zwei Äste nach unten. Auf dem einen Ast steht die Primzahl, durch die du teilst. Auf dem anderen Ast steht das Ergebnis.

So wächst dein Baum nach unten. Am Ende stehen unten nur noch Primzahlen. Diese sammelst du ein und multiplizierst sie.

Beispiel:

Beispiel 1: Eine einfache Zahl zerlegen

Zerlege die Zahl $36$ in Primfaktoren.

Lösung:

Wir starten bei 36 und teilen durch die kleinste passende Primzahl:

$$36 : 2 = 18$$$$18 : 2 = 9$$$$9 : 3 = 3$$

Die 3 ist selbst eine Primzahl. Wir sind fertig.

Ergebnis:

$$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$$

Beispiel:

Beispiel 2: Mit einer grösseren Zahl

Zerlege die Zahl $84$ in Primfaktoren.

Lösung:

$$84 : 2 = 42$$$$42 : 2 = 21$$

21 ist nicht durch 2 teilbar (ungerade Zahl). Wir probieren die nächste Primzahl:

$$21 : 3 = 7$$

Die 7 ist eine Primzahl. Fertig.

Ergebnis:

$$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$

Beispiel:

Beispiel 3: Den Bauplan rückwärts lesen

Anna sagt: “Meine Zahl hat den Bauplan $2^3 \cdot 5$.” Welche Zahl meint sie?

Lösung:

Wir multiplizieren die Primfaktoren aus:

$$2^3 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$$$$= 8 \cdot 5 = 40$$

Antwort: Anna meint die Zahl $40$.

Wann ist eine Zahl durch eine Primzahl teilbar?

Hier einige Tricks, die dir helfen:

Teilbarkeit durch 2: Die Zahl endet auf 0, 2, 4, 6 oder 8 (gerade Zahlen).

Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme ist durch 3 teilbar. Beispiel: $123 \to 1 + 2 + 3 = 6$, und 6 ist durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 5: Die Zahl endet auf 0 oder 5.

Achtung bei der Quersumme: Die Quersummenregel funktioniert nur für 3 und 9. Für andere Primzahlen wie 7 oder 11 gibt es kompliziertere Regeln. Im Zweifel: Einfach durchrechnen.

Wozu braucht man das?

Die Primfaktorzerlegung hilft dir bei vielen Aufgaben. Du kannst damit den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) finden. Auch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) berechnest du damit schneller.

Später in der Mathematik wirst du sehen: Primzahlen sind die Atome der Zahlenwelt. Alles baut auf ihnen auf.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage: Zerlege die Zahl $60$ in Primfaktoren.

Lösung anzeigen

$$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

❓ Frage: Welche Zahl hat den Bauplan $3^2 \cdot 7$?

Lösung anzeigen

$$3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$$

❓ Frage: Ist die Zahl $51$ eine Primzahl? Begründe.

Lösung anzeigen

Nein. Die Quersumme ist $5 + 1 = 6$. Diese ist durch 3 teilbar. Also ist auch 51 durch 3 teilbar:

$$51 = 3 \cdot 17$$

Da 51 mehr als zwei Teiler hat, ist sie keine Primzahl.