Primzahlen verstehen: Teilbarkeit einfach erklärt

Stell dir vor, du organisierst eine Party und hast 24 Kekse. Du möchtest sie fair auf Teller verteilen. Du könntest 2 Teller nehmen (je 12 Kekse), 3 Teller (je 8 Kekse), 4 Teller (je 6 Kekse) oder sogar 6 Teller (je 4 Kekse). Das funktioniert prima. Aber was, wenn du 23 Kekse hättest? Egal wie du es versuchst – ausser auf 1 oder 23 Teller – es bleibt immer ein Rest. Die Zahl 23 ist ein Einzelgänger, eine Primzahl. Primzahlen sind die Bausteine der Mathematik. Sie lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Das macht sie besonders und wichtig. Ohne Primzahlen gäbe es keine sichere Internetverbindung, keine verschlüsselten Nachrichten und keine Online-Banking. Sie schützen deine Daten jeden Tag. In diesem Artikel lernst du, was Primzahlen sind, wie du sie erkennst und warum sie so faszinierend sind.

Eine kleine Zeitreise: Die Geschichte von Teilbarkeit - Primzahlen

Die Geschichte der Primzahlen beginnt vor über 2300 Jahren im antiken Griechenland. Der Mathematiker Euklid von Alexandria schrieb etwa 300 v. Chr. sein berühmtes Werk “Die Elemente”. Darin bewies er einen revolutionären Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Sein Beweis gilt bis heute als einer der elegantesten in der Mathematik. Euklid zeigte, dass man immer eine weitere Primzahl finden kann, egal wie viele man schon kennt.

Etwa 200 Jahre vor Euklid entwickelte der griechische Gelehrte Eratosthenes eine geniale Methode, um Primzahlen zu finden. Sein “Sieb des Eratosthenes” funktioniert wie ein Filter. Du schreibst alle Zahlen auf und streichst systematisch alle Vielfachen durch. Was übrig bleibt, sind die Primzahlen. Diese Methode nutzen wir noch heute im Mathematikunterricht.

Die alten Griechen waren fasziniert von Primzahlen, aber sie hatten keine praktische Anwendung dafür. Das änderte sich erst im 20. Jahrhundert dramatisch. In den 1970er Jahren entwickelten die Mathematiker Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman das RSA-Verschlüsselungsverfahren. Es basiert auf einer einfachen Tatsache: Zwei Primzahlen zu multiplizieren ist leicht, aber das Produkt wieder in seine Primfaktoren zu zerlegen ist extrem schwierig – besonders wenn die Primzahlen riesig sind.

Heute schützen Primzahlen deine digitale Welt. Jedes Mal, wenn du eine Nachricht verschickst, online einkaufst oder dich in einem Account anmeldest, arbeiten Primzahlen im Hintergrund. Moderne Computer suchen ständig nach immer grösseren Primzahlen. Die grösste bekannte Primzahl hat über 24 Millionen Stellen. Du bräuchtest etwa 7000 Buchseiten, um sie auszudrucken. Die Suche nach neuen Rekord-Primzahlen ist zu einem spannenden Wettbewerb geworden, an dem tausende Computer weltweit teilnehmen.

Die Grundlagen von Teilbarkeit - Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die grösser als 1 ist und genau zwei Teiler hat: 1 und sich selbst. Die kleinste Primzahl ist die 2. Sie ist auch die einzige gerade Primzahl, denn alle anderen geraden Zahlen lassen sich durch 2 teilen.

Die ersten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Du siehst: Primzahlen werden mit zunehmender Grösse seltener. Zwischen 1 und 100 gibt es 25 Primzahlen, zwischen 100 und 200 nur noch 21.

Das Gegenteil von Primzahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Diese haben mehr als zwei Teiler. Die Zahl 12 ist zusammengesetzt, denn sie hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Zum Beispiel: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ oder $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Eine wichtige Ausnahme ist die Zahl 1. Sie ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. Mathematiker haben sie aus guten Gründen ausgeschlossen. Wenn 1 eine Primzahl wäre, könnte man jede Zahl auf unendlich viele Arten in Primfaktoren zerlegen: $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ und so weiter. Das würde die Mathematik unnötig kompliziert machen.

Die Teilbarkeit ist eng mit Primzahlen verbunden. Eine Zahl $a$ ist durch eine Zahl $b$ teilbar, wenn die Division $a : b$ eine ganze Zahl ohne Rest ergibt. Die Zahl 15 ist durch 3 teilbar, denn $15 : 3 = 5$. Sie ist aber nicht durch 4 teilbar, denn $15 : 4 = 3,75$.

Die Kernmethode für Teilbarkeit - Primzahlen

Um herauszufinden, ob eine Zahl eine Primzahl ist, gehst du systematisch vor. Es gibt verschiedene Methoden, aber die grundlegende ist die Teilbarkeitsprüfung.

Schritt 1: Prüfe, ob die Zahl grösser als 1 ist. Wenn nicht, ist sie keine Primzahl.

Schritt 2: Prüfe, ob die Zahl gleich 2 ist. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen sind durch 2 teilbar und daher keine Primzahlen.

Schritt 3: Teste alle ungeraden Zahlen von 3 bis zur Quadratwurzel der zu prüfenden Zahl. Warum nur bis zur Quadratwurzel? Wenn eine Zahl $n$ einen Teiler grösser als $\sqrt{n}$ hat, muss sie auch einen Teiler kleiner als $\sqrt{n}$ haben. Du sparst also Zeit.

Schritt 4: Wenn du einen Teiler findest, ist die Zahl nicht prim. Findest du keinen Teiler, ist sie eine Primzahl.

Tipp für Schritt 1: Die Zahlen 0 und 1 sind die einzigen natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen sind, obwohl sie klein sind.

Tipp für Schritt 2: Merke dir: 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen kannst du sofort ausschliessen.

Tipp für Schritt 3: Du musst nicht alle Zahlen testen. Teste nur Primzahlen als mögliche Teiler. Wenn eine Zahl nicht durch 2 teilbar ist, ist sie auch nicht durch 4, 6, 8 usw. teilbar.

Tipp für Schritt 4: Bei grossen Zahlen hilft dir ein Taschenrechner. Für kleine Zahlen reicht Kopfrechnen.

Definition: Das Grundprinzip von Primzahlen

Eine Primzahl $p$ ist eine natürliche Zahl grösser als 1, die nur durch 1 und $p$ teilbar ist. Für jede zusammengesetzte Zahl $n$ gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung: $n = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_k$, wobei $p_1, p_2, ..., p_k$ Primzahlen sind. Diese Zerlegung ist eindeutig, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren.

Beispiele für Primzahlen und Teilbarkeit

Beispiel 1: Ist 17 eine Primzahl?

Aufgabe: Prüfe, ob 17 eine Primzahl ist.

Lösungsweg:

Wir wenden die Kernmethode an.

Schritt 1: 17 ist grösser als 1. Wir können weiter prüfen.

Schritt 2: 17 ist ungerade, also nicht gleich 2. Wir müssen weiter testen.

Schritt 3: Wir berechnen die Quadratwurzel von 17:

$$\sqrt{17} \approx 4{,}12$$

Wir müssen also alle ungeraden Zahlen von 3 bis 4 testen. Das ist nur die 3.

Prüfen wir $17 : 3$:

$$17 : 3 = 5 \text{ Rest } 2$$

Es gibt einen Rest. Also ist 17 nicht durch 3 teilbar.

Schritt 4: Wir haben keinen Teiler gefunden. Die Zahl 17 ist eine Primzahl.

Beispiel 2: Ist 51 eine Primzahl?

Aufgabe: Prüfe, ob 51 eine Primzahl ist.

Lösungsweg:

Schritt 1: 51 ist grösser als 1. Prüfung läuft weiter.

Schritt 2: 51 ist ungerade. Weiter zum nächsten Schritt.

Schritt 3: Die Quadratwurzel von 51 beträgt:

$$\sqrt{51} \approx 7{,}14$$

Wir testen die ungeraden Zahlen 3, 5 und 7.

Test mit 3:

$$51 : 3 = 17$$

Das Ergebnis ist eine ganze Zahl. Die Zahl 51 ist durch 3 teilbar.

Schritt 4: Wir haben einen Teiler gefunden. Die Zahl 51 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich schreiben als:

$$51 = 3 \cdot 17$$

Beispiel 3: Primfaktorzerlegung von 84

Aufgabe: Zerlege die Zahl 84 in ihre Primfaktoren.

Lösungsweg:

Wir teilen 84 schrittweise durch Primzahlen, beginnend mit der kleinsten.

Ist 84 durch 2 teilbar? Ja, denn 84 ist gerade:

$$84 : 2 = 42$$

Ist 42 durch 2 teilbar? Ja:

$$42 : 2 = 21$$

Ist 21 durch 2 teilbar? Nein, 21 ist ungerade. Wir probieren die nächste Primzahl: 3.

Ist 21 durch 3 teilbar? Wir prüfen die Quersumme: $2 + 1 = 3$. Die Quersumme ist durch 3 teilbar, also auch 21:

$$21 : 3 = 7$$

Die Zahl 7 ist eine Primzahl. Wir sind fertig.

Die Primfaktorzerlegung von 84 ist:

$$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$

Wir können das Ergebnis kontrollieren:

$$2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$$

Die Zerlegung stimmt.

Beispiel 4: Wie viele Tische brauchen wir?

Aufgabe: Eine Schule plant einen Projekttag. 47 Schüler sollen in gleich grosse Gruppen aufgeteilt werden. Jede Gruppe bekommt einen Tisch. Die Lehrerin möchte mehr als eine Gruppe, aber jede Gruppe soll mindestens 2 Schüler haben. Ist das möglich?

Lösungsweg:

Die Frage ist: Kann man 47 in gleiche Gruppen mit jeweils mindestens 2 Schülern aufteilen?

Das ist nur möglich, wenn 47 durch eine Zahl grösser als 1 und kleiner als 47 teilbar ist. Anders gesagt: 47 müsste eine zusammengesetzte Zahl sein.

Prüfen wir, ob 47 eine Primzahl ist.

Die Quadratwurzel von 47:

$$\sqrt{47} \approx 6{,}86$$

Wir testen die Primzahlen 2, 3, 5.

Test mit 2: 47 ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar.

Test mit 3: Quersumme von 47 ist $4 + 7 = 11$. Die 11 ist nicht durch 3 teilbar, also auch 47 nicht.

Test mit 5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. 47 endet auf 7, also nicht durch 5 teilbar.

Wir haben keinen Teiler gefunden. Die Zahl 47 ist eine Primzahl.

Antwort: Nein, es ist nicht möglich. Die 47 Schüler können nicht in gleich grosse Gruppen aufgeteilt werden (ausser in 47 Gruppen mit je 1 Schüler oder 1 Gruppe mit 47 Schülern). Die Lehrerin muss entweder die Gruppengrösse variieren oder eine andere Anzahl von Schülern einplanen.

Die häufigsten Stolpersteine bei Teilbarkeit - Primzahlen

⚠️ Stolperstein 1: Die 1 als Primzahl behandeln

Viele Schüler denken, dass 1 eine Primzahl ist. Schliesslich ist sie nur durch 1 und sich selbst teilbar. Aber Mathematiker zählen die 1 nicht zu den Primzahlen.

Warum? Die Definition einer Primzahl lautet: Eine natürliche Zahl grösser als 1 mit genau zwei verschiedenen Teilern. Bei der 1 sind beide Teiler identisch (1 und 1).

Wenn 1 eine Primzahl wäre, wäre die Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig. Die Zahl 6 könnte dann $2 \cdot 3$ oder $1 \cdot 2 \cdot 3$ oder $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ sein. Das würde die gesamte Zahlentheorie durcheinanderbringen.

Merke dir: Die kleinste Primzahl ist 2, nicht 1.

⚠️ Stolperstein 2: Nur bis zur Hälfte der Zahl testen

Ein häufiger Fehler ist, beim Testen auf Primzahl-Eigenschaft bis zur Hälfte der Zahl zu gehen. Beispiel: Um zu prüfen, ob 97 eine Primzahl ist, testen manche alle Zahlen bis 48. Das ist unnötige Arbeit. Du musst nur bis zur Quadratwurzel testen. Bei 97 ist $\sqrt{97} \approx 9{,}85$, also musst du nur bis 9 testen. Das spart enorm viel Zeit. Warum funktioniert das? Wenn 97 einen Teiler grösser als 10 hätte, müsste es auch einen Teiler kleiner als 10 geben (denn $10 \cdot 10 = 100 > 97$). Du würdest den kleineren also sowieso finden.

⚠️ Stolperstein 3: Vergessen, dass 2 die einzige gerade Primzahl ist

Dieser Fehler passiert oft bei Textaufgaben. Schüler suchen nach geraden Primzahlen oder schliessen die 2 aus, weil sie gerade ist. Merke dir: Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen (4, 6, 8, 10, …) sind durch 2 teilbar und haben damit mindestens drei Teiler: 1, 2 und sich selbst. Deshalb sind sie keine Primzahlen. Die 2 ist etwas Besonderes. Wenn dich jemand nach der kleinsten Primzahl fragt, lautet die Antwort immer 2. Wenn jemand nach einer geraden Primzahl fragt, gibt es nur eine Antwort: 2.

Übungs-Sektion

Aufgabe 1: Sind die folgenden Zahlen Primzahlen? Prüfe: a) 13, b) 9, c) 2

Aufgabe 2: Finde alle Primzahlen zwischen 20 und 40.

Aufgabe 3: Zerlege die Zahl 60 in ihre Primfaktoren.

Aufgabe 4: Zerlege die Zahl 72 vollständig in Primfaktoren und schreibe das Ergebnis in Potenzschreibweise.

Aufgabe 5: Welche Zahl hat die Primfaktorzerlegung $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$? Berechne den Wert.

Aufgabe 6: Prüfe, ob 97 eine Primzahl ist. Begründe deine Antwort.

Aufgabe 7: Ein Bauer hat 53 Äpfel und möchte sie gleichmässig auf Körbe verteilen. Er möchte mehr als einen Korb, aber jeden Korb mit der gleichen Anzahl Äpfel füllen. Ist das möglich? Begründe mathematisch.

Aufgabe 8: Zwei Primzahlen, deren Differenz genau 2 beträgt, nennt man Primzahlzwillinge. Beispiel: 11 und 13. Finde alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 50.

Das Wichtigste in Kürze

Primzahlen sind die Bausteine der Zahlen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl grösser als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13. Die Zahl 1 ist keine Primzahl, obwohl sie nur einen echten Teiler hat. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Diese fundamentale Eigenschaft nennt man den Hauptsatz der Arithmetik. Die Zahl 24 ist zum Beispiel $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ oder $2^3 \cdot 3$. Diese Zerlegung ist eindeutig, egal in welcher Reihenfolge du die Faktoren schreibst.

Um eine Primzahl zu testen, musst du nur bis zur Quadratwurzel prüfen. Wenn du testen willst, ob eine Zahl $n$ eine Primzahl ist, teile sie durch alle Primzahlen bis $\sqrt{n}$. Findest du einen Teiler, ist $n$ zusammengesetzt. Findest du keinen, ist $n$ prim. Diese Methode spart dir viel Rechenarbeit.

Primzahlen werden seltener, verschwinden aber nie. Zwischen 1 und 10 gibt es 4 Primzahlen, zwischen 91 und 100 nur noch 1 Primzahl. Euklid bewies vor über 2000 Jahren: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Egal wie weit du zählst, du wirst immer neue Primzahlen finden.

Primzahlen schützen unsere digitale Welt. Moderne Verschlüsselung basiert auf grossen Primzahlen. Deine Online-Banking, verschlüsselte Nachrichten und sichere Websites nutzen die Tatsache, dass es extrem schwierig ist, grosse Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Was in der Antike nur mathematische Theorie war, ist heute praktischer Datenschutz.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?

Die Zahl 1 ist keine Primzahl, weil eine Primzahl per Definition genau zwei verschiedene Teiler haben muss: 1 und sich selbst. Die 1 hat nur einen Teiler (nämlich sich selbst). Wenn wir die 1 als Primzahl zählen würden, wäre die Primfaktorzerlegung nicht mehr eindeutig. Die Zahl 6 könnte dann $2 \cdot 3$, aber auch $1 \cdot 2 \cdot 3$ oder $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ sein. Deshalb haben Mathematiker festgelegt: Die kleinste Primzahl ist 2.

Frage 2: Du willst prüfen, ob 121 eine Primzahl ist. Bis zu welcher Zahl musst du testen?

Du musst nur bis zur Quadratwurzel von 121 testen. Das ist $\sqrt{121} = 11$. Du testest also alle Primzahlen bis 11: die Zahlen 2, 3, 5, 7 und 11. Tatsächlich wirst du feststellen, dass $121 = 11 \cdot 11$, also ist 121 keine Primzahl. Der Test bis zur Quadratwurzel reicht aus, weil wenn eine Zahl einen Teiler grösser als ihre Quadratwurzel hat, sie zwingend auch einen kleineren Teiler haben muss.

Frage 3: Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl: 51, 53, 55, 57?

Die richtige Antwort ist 53. Die anderen Zahlen sind zusammengesetzt: $51 = 3 \cdot 17$, $55 = 5 \cdot 11$, und $57 = 3 \cdot 19$. Die Zahl 53 lässt sich nur durch 1 und 53 teilen. Um das zu prüfen, müsstest du alle Primzahlen bis $\sqrt{53} \approx 7{,}28$ testen, also 2, 3, 5, 7. Keiner dieser Teiler geht auf, daher ist 53 eine Primzahl.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Du hast jetzt das Fundament der Zahlentheorie verstanden. Primzahlen sind der Schlüssel zu vielen spannenden Themen. Als Nächstes lernst du den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Diese Konzepte bauen direkt auf deinem Wissen über Primfaktorzerlegung auf. Mit dem ggT kannst du Brüche kürzen und komplexe Teilbarkeitsprobleme lösen. Mit dem kgV findest du heraus, wann sich wiederholende Ereignisse das nächste Mal gleichzeitig treffen. Später wirst du Primzahlen in der Kryptografie wiedertreffen und verstehen, wie sie deine Privatsphäre im Internet schützen. Die Reise durch die Welt der Zahlen wird immer spannender.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1:

a) 13 ist eine Primzahl. Wir testen: $\sqrt{13} \approx 3{,}6$, also müssen wir 2 und 3 testen. 13 ist ungerade (nicht durch 2 teilbar). Quersumme von 13 ist $1 + 3 = 4$, nicht durch 3 teilbar. Kein Teiler gefunden, also ist 13 prim.

b) 9 ist keine Primzahl. Sie ist durch 3 teilbar: $9 = 3 \cdot 3$.

c) 2 ist eine Primzahl. Sie ist die kleinste und einzige gerade Primzahl.

Lösung zu Aufgabe 2:

Die Primzahlen zwischen 20 und 40 sind: 23, 29, 31, 37.

Prüfung:

• 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 sind gerade (durch 2 teilbar)
• 21 = 3 · 7, 25 = 5 · 5, 27 = 3 · 9, 33 = 3 · 11, 35 = 5 · 7, 39 = 3 · 13
• Übrig bleiben: 23, 29, 31, 37 (alle prim)

Lösung zu Aufgabe 3:

Primfaktorzerlegung von 60:

$$60 : 2 = 30$$ $$30 : 2 = 15$$ $$15 : 3 = 5$$

5 ist eine Primzahl.

Die Primfaktorzerlegung ist: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Lösung zu Aufgabe 4:

Primfaktorzerlegung von 72:

$$72 : 2 = 36$$ $$36 : 2 = 18$$ $$18 : 2 = 9$$ $$9 : 3 = 3$$

3 ist eine Primzahl.

Die Primfaktorzerlegung ist: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

Lösung zu Aufgabe 5:

Gegeben: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

Wir berechnen Schritt für Schritt:

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$ $$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$$ $$8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$$

Die gesuchte Zahl ist 360.

Lösung zu Aufgabe 6:

Ist 97 eine Primzahl?

Die Quadratwurzel von 97: $\sqrt{97} \approx 9{,}85$

Wir testen die Primzahlen 2, 3, 5, 7:

• 97 ist ungerade (nicht durch 2 teilbar)
• Quersumme: $9 + 7 = 16$ (nicht durch 3 teilbar)
• 97 endet nicht auf 0 oder 5 (nicht durch 5 teilbar)
• $97 : 7 = 13$ Rest 6 (nicht durch 7 teilbar)

Kein Teiler gefunden. Die Zahl 97 ist eine Primzahl.

Lösung zu Aufgabe 7:

Der Bauer hat 53 Äpfel. Wir prüfen, ob 53 eine Primzahl ist.

$\sqrt{53} \approx 7{,}28$

Wir testen die Primzahlen 2, 3, 5, 7:

• 53 ist ungerade (nicht durch 2 teilbar)
• Quersumme: $5 + 3 = 8$ (nicht durch 3 teilbar)
• 53 endet auf 3 (nicht durch 5 teilbar)
• $53 : 7 = 7$ Rest 4 (nicht durch 7 teilbar)

Die Zahl 53 ist eine Primzahl. Das bedeutet: Nein, es ist nicht möglich. Der Bauer kann die 53 Äpfel nicht gleichmässig auf mehrere Körbe verteilen (ausser auf 53 Körbe mit je 1 Apfel oder 1 Korb mit 53 Äpfeln).

Lösung zu Aufgabe 8:

Primzahlzwillinge sind Primzahlen mit Differenz 2.

Zuerst finden wir alle Primzahlen zwischen 1 und 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Jetzt suchen wir Paare mit Differenz 2:

• (3, 5): $5 - 3 = 2$ ✓
• (5, 7): $7 - 5 = 2$ ✓
• (11, 13): $13 - 11 = 2$ ✓
• (17, 19): $19 - 17 = 2$ ✓
• (29, 31): $31 - 29 = 2$ ✓
• (41, 43): $43 - 41 = 2$ ✓

Die Primzahlzwillinge zwischen 1 und 50 sind: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43).