Primzahlen einfach erklärt: Die Bausteine aller Zahlen verstehen

Stell dir vor, du hast einen Haufen Legosteine und sollst daraus verschiedene Türme bauen. Manche Steine kannst du noch weiter zerlegen – sie bestehen aus kleineren Teilen. Aber irgendwann kommst du zu den kleinsten Bausteinen. Diese lassen sich nicht mehr teilen. Sie sind die Grundbausteine, aus denen alles andere zusammengesetzt ist.

Genau so funktioniert es auch mit Zahlen. Manche Zahlen kannst du in kleinere Teile zerlegen. Die Zahl $12$ zum Beispiel ist $3 \cdot 4$ oder $2 \cdot 6$. Aber es gibt Zahlen, die sich nicht mehr sinnvoll teilen lassen. Sie sind die “Grundbausteine” der Mathematik.

Diese besonderen Zahlen heissen Primzahlen. Sie sind so wichtig, dass Mathematiker sie seit über 2000 Jahren erforschen. Und das Beste: Du wirst sie schon bald selbst erkennen und mit ihnen rechnen können.

Was ist eine Primzahl?

Bevor wir tiefer einsteigen, klären wir einen wichtigen Begriff: den Teiler.

Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die du ohne Rest teilen kannst. Die Zahl $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ und $12$. Denn $12 : 1 = 12$, $12 : 2 = 6$, $12 : 3 = 4$ und so weiter – alles ohne Rest.

Die Zahl $7$ hingegen hat nur zwei Teiler: $1$ und $7$ selbst. Du kannst $7$ nicht durch $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ teilen, ohne dass ein Rest übrig bleibt.

Und genau hier kommen die Primzahlen ins Spiel.

DEFINITION

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl grösser als $1$, die genau zwei Teiler hat: die $1$ und sich selbst.

Beispiele: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, …

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat (nämlich sich selbst).

Schauen wir uns das genauer an. Die Zahl $5$ hat die Teiler $1$ und $5$. Das sind genau zwei Teiler. Also ist $5$ eine Primzahl.

Die Zahl $6$ hat die Teiler $1$, $2$, $3$ und $6$. Das sind vier Teiler. Also ist $6$ keine Primzahl.

Zahlen wie $6$, die mehr als zwei Teiler haben, nennt man zusammengesetzte Zahlen. Sie lassen sich als Produkt kleinerer Zahlen schreiben: $6 = 2 \cdot 3$.

Die ersten Primzahlen kennenlernen

Hier sind die Primzahlen bis $50$:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$$

Fällt dir etwas auf? Die $2$ ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen Primzahlen sind ungerade. Das ergibt Sinn: Jede gerade Zahl ausser der $2$ ist durch $2$ teilbar. Sie hat also mindestens drei Teiler ($1$, $2$ und sich selbst) und kann keine Primzahl sein.

Schauen wir uns die Zahlen von $1$ bis $20$ in einer Übersicht an:

Zahl	Teiler	Primzahl?
$1$	$1$	Nein (nur 1 Teiler)
$2$	$1, 2$	Ja
$3$	$1, 3$	Ja
$4$	$1, 2, 4$	Nein
$5$	$1, 5$	Ja
$6$	$1, 2, 3, 6$	Nein
$7$	$1, 7$	Ja
$8$	$1, 2, 4, 8$	Nein
$9$	$1, 3, 9$	Nein
$10$	$1, 2, 5, 10$	Nein

Du siehst: Primzahlen werden schnell seltener, je grösser die Zahlen werden. Zwischen $1$ und $10$ gibt es vier Primzahlen. Zwischen $10$ und $20$ sind es ebenfalls vier: $11$, $13$, $17$ und $19$.

Das Sieb des Eratosthenes: Primzahlen systematisch finden

Wie findest du alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl? Der griechische Mathematiker Eratosthenes hat vor über 2200 Jahren eine clevere Methode entwickelt. Sie funktioniert wie ein Sieb, das alle Nicht-Primzahlen herausfiltert.

So gehst du vor:

Schritt 1: Schreibe alle Zahlen von $2$ bis zu deiner Zielzahl auf. Wir nehmen als Beispiel die Zahlen von $2$ bis $30$.

Schritt 2: Die $2$ ist eine Primzahl. Kreise sie ein. Streiche dann alle Vielfachen von $2$ durch (also $4$, $6$, $8$, $10$, …). Diese sind keine Primzahlen, weil sie durch $2$ teilbar sind.

Schritt 3: Die nächste nicht durchgestrichene Zahl ist $3$. Sie ist eine Primzahl. Kreise sie ein. Streiche alle Vielfachen von $3$ durch (also $6$, $9$, $12$, $15$, …). Manche sind schon durchgestrichen – das macht nichts.

Schritt 4: Die nächste nicht durchgestrichene Zahl ist $5$. Kreise sie ein und streiche alle Vielfachen von $5$ durch.

Schritt 5: Wiederhole das, bis du alle Zahlen bearbeitet hast.

Am Ende bleiben nur die Primzahlen übrig: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$ und $29$.

Diese Methode heisst “Sieb des Eratosthenes”, weil die zusammengesetzten Zahlen wie durch ein Sieb fallen und nur die Primzahlen übrig bleiben.

Warum funktioniert das?

Wenn du alle Vielfachen einer Primzahl streichst, entfernst du genau die Zahlen, die diese Primzahl als Teiler haben. Da jede zusammengesetzte Zahl mindestens einen Primfaktor hat, wird sie irgendwann gestrichen. Die Primzahlen hingegen werden nie gestrichen, weil sie keine kleineren Primzahlen als Teiler haben.

Wie prüfst du, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Für grössere Zahlen brauchst du eine Strategie. Du musst nicht durch alle kleineren Zahlen teilen. Es reicht, wenn du durch alle Primzahlen teilst, die kleiner oder gleich der Wurzel deiner Zahl sind.

Klingt kompliziert? Hier ist eine einfachere Regel für den Anfang:

Prüfschema für Primzahlen:

1. Ist die Zahl gleich $1$? → Keine Primzahl.
2. Ist die Zahl gleich $2$? → Primzahl.
3. Ist die Zahl gerade (durch $2$ teilbar)? → Keine Primzahl.
4. Ist die Zahl durch $3$ teilbar? → Keine Primzahl.
5. Ist die Zahl durch $5$ teilbar (endet auf $0$ oder $5$)? → Keine Primzahl (ausser $5$ selbst).
6. Prüfe weitere Primzahlen ($7$, $11$, $13$, …), bis du sicher bist.

Für Zahlen bis $100$ reicht es meist, die Teilbarkeit durch $2$, $3$, $5$ und $7$ zu prüfen.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Fehler 1: Die $1$ für eine Primzahl halten

Die $1$ ist keine Primzahl. Eine Primzahl muss genau zwei verschiedene Teiler haben. Die $1$ hat aber nur einen Teiler: sich selbst. Merke dir: Primzahlen beginnen bei der $2$.

Fehler 2: Die $2$ vergessen

Die $2$ ist die einzige gerade Primzahl. Viele Schüler denken, alle Primzahlen müssen ungerade sein. Das stimmt nicht. Die $2$ hat genau zwei Teiler ($1$ und $2$) und ist damit eine Primzahl.

Fehler 3: Teilbarkeitsregeln falsch anwenden

Wenn eine Zahl nicht durch $2$ teilbar ist, heisst das noch nicht, dass sie eine Primzahl ist. Die Zahl $9$ ist ungerade, aber keine Primzahl, weil $9 = 3 \cdot 3$. Prüfe immer mehrere mögliche Teiler.

Fehler 4: Bei grossen Zahlen aufgeben

Auch bei grösseren Zahlen wie $97$ kannst du systematisch vorgehen. Teile durch $2$ (nein, ungerade), durch $3$ (nein, Quersumme ist $16$), durch $5$ (nein, endet nicht auf $0$ oder $5$), durch $7$ (nein, $97 : 7 = 13,86...$). Da $10 \cdot 10 = 100 > 97$, reicht das. Also ist $97$ eine Primzahl.

Die Primfaktorzerlegung: Zahlen in Bausteine zerlegen

Jede natürliche Zahl grösser als $1$ lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Das nennt man Primfaktorzerlegung. Die Primzahlen sind dabei die “Bausteine” der Zahl.

DEFINITION

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primzahlen.

Beispiel: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Jede Zahl hat genau eine Primfaktorzerlegung (abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren).

So findest du die Primfaktorzerlegung:

1. Teile die Zahl durch die kleinste Primzahl, die ein Teiler ist.
2. Teile das Ergebnis wieder durch die kleinste mögliche Primzahl.
3. Wiederhole, bis du bei $1$ ankommst.
4. Schreibe alle Primfaktoren als Produkt auf.

3 Beispiele für Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Beispiel 1: Ist 29 eine Primzahl?

Beispiel 1: Ist 29 eine Primzahl?

Wir prüfen systematisch, ob $29$ durch kleine Primzahlen teilbar ist.

Schritt 1: Ist $29$ durch $2$ teilbar?

$29$ ist ungerade, also nicht durch $2$ teilbar.

Schritt 2: Ist $29$ durch $3$ teilbar?

Quersumme von $29$: $2 + 9 = 11$. Die $11$ ist nicht durch $3$ teilbar, also ist auch $29$ nicht durch $3$ teilbar.

Schritt 3: Ist $29$ durch $5$ teilbar?

$29$ endet weder auf $0$ noch auf $5$. Also nicht durch $5$ teilbar.

Schritt 4: Ist $29$ durch $7$ teilbar?

$29 : 7 = 4,14...$ → Kein ganzzahliges Ergebnis. Also nicht durch $7$ teilbar.

Fazit: Da $6 \cdot 6 = 36 > 29$, müssen wir keine grösseren Primzahlen mehr prüfen. Warum? Wenn $29$ einen Teiler grösser als $6$ hätte, müsste es auch einen Teiler kleiner als $6$ haben. Denn Teiler kommen immer als Paare vor, deren Produkt die Zahl ergibt.

Die Zahl $29$ hat nur die Teiler $1$ und $29$. Sie ist eine Primzahl.

Beispiel 2: Primfaktorzerlegung von 84

Beispiel 2: Primfaktorzerlegung von 84

Wir zerlegen $84$ in seine Primfaktoren.

Schritt 1: Ist $84$ durch $2$ teilbar?

$84 : 2 = 42$ ✓

Schritt 2: Ist $42$ durch $2$ teilbar?

$42 : 2 = 21$ ✓

Schritt 3: Ist $21$ durch $2$ teilbar?

$21$ ist ungerade. Nein.

Schritt 4: Ist $21$ durch $3$ teilbar?

$21 : 3 = 7$ ✓

Schritt 5: Ist $7$ durch $3$ teilbar?

Nein. Aber $7$ ist selbst eine Primzahl.

Ergebnis:

$$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$

Die Primfaktoren von $84$ sind $2$, $3$ und $7$.

Beispiel 3: Primfaktorzerlegung von 180

Beispiel 3: Primfaktorzerlegung von 180

Diese Zahl ist grösser und hat mehr Faktoren. Wir gehen Schritt für Schritt vor.

Aufbau als Divisionsturm:

$$180 : 2 = 90$$$$90 : 2 = 45$$$$45 : 3 = 15$$$$15 : 3 = 5$$$$5 : 5 = 1$$

Wir haben die Zahl vollständig zerlegt. Jetzt sammeln wir alle Primfaktoren:

$$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$

In Potenzschreibweise:

$$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Probe: $4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180$ ✓

Wozu braucht man Primzahlen?

Primzahlen sind nicht nur ein Thema für den Mathematikunterricht. Sie haben wichtige Anwendungen im echten Leben.

Verschlüsselung im Internet: Wenn du online einkaufst oder eine Nachricht verschickst, werden deine Daten mit Hilfe von Primzahlen verschlüsselt. Dabei werden zwei sehr grosse Primzahlen miteinander multipliziert. Das Ergebnis ist leicht zu berechnen. Aber den umgekehrten Weg – also herauszufinden, welche Primzahlen multipliziert wurden – ist extrem schwer. Das macht die Verschlüsselung sicher.

Mathematische Grundlage: Jede ganze Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Das ist ein fundamentales Gesetz der Mathematik, der sogenannte Fundamentalsatz der Arithmetik. Er macht Primzahlen zu den “Atomen” der Zahlen.

Bruchrechnung vereinfachen: Wenn du Brüche kürzen willst, helfen dir Primfaktoren. Du zerlegst Zähler und Nenner und streichst gleiche Faktoren. Zum Beispiel:

$$\frac{84}{180} = \frac{2^2 \cdot 3 \cdot 7}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{7}{3 \cdot 5} = \frac{7}{15}$$

Muster und Rätsel: Mathematiker suchen seit Jahrhunderten nach Mustern in den Primzahlen. Gibt es unendlich viele Primzahlen? (Ja, das hat schon Euklid vor 2300 Jahren bewiesen.) Gibt es eine Formel, die alle Primzahlen erzeugt? (Nein, bis heute nicht gefunden.) Primzahlen bleiben eines der spannendsten Gebiete der Mathematik.

Rekordsuche: Die grösste bekannte Primzahl hat über 41 Millionen Stellen. Um sie aufzuschreiben, bräuchtest du tausende Seiten Papier. Computer suchen ständig nach noch grösseren Primzahlen. Das ist nicht nur Spielerei – es hilft dabei, Computer und mathematische Methoden zu testen.

Die Teilbarkeitsregeln – deine Helfer beim Prüfen

Um schnell zu erkennen, ob eine Zahl durch eine kleine Primzahl teilbar ist, helfen dir die Teilbarkeitsregeln:

Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$).

Teilbarkeit durch 3: Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Beispiel: $123$ → Quersumme $1 + 2 + 3 = 6$ → durch $3$ teilbar.

Teilbarkeit durch 5: Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.

Teilbarkeit durch 7: Hier gibt es keinen einfachen Trick. Du musst dividieren.

Teilbarkeit durch 11: Eine Zahl ist durch $11$ teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch $11$ teilbar ist. Beispiel: $9361$ → $9 - 3 + 6 - 1 = 11$ → durch $11$ teilbar.

Tipps für das Finden von Primzahlen

Wenn du eine Zahl auf Primzahl prüfen willst, hilft dir diese Strategie:

Bei kleinen Zahlen (bis 100):

Lerne die Primzahlen bis $30$ auswendig: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$. Für Zahlen bis $100$ prüfst du nacheinander die Teilbarkeit durch $2$, $3$, $5$ und $7$. Wenn keine dieser Primzahlen ein Teiler ist, hast du eine Primzahl gefunden.

Bei grösseren Zahlen (über 100):

Hier brauchst du etwas mehr Geduld. Prüfe die Teilbarkeit durch alle Primzahlen bis zur Wurzel deiner Zahl. Für $200$ musst du alle Primzahlen bis etwa $14$ prüfen: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$.

Schnelle Ausschlusskriterien:

Einige Zahlen kannst du sofort ausschliessen. Zahlen, die auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ enden, sind durch $2$ teilbar (ausser die $2$ selbst). Zahlen, die auf $0$ oder $5$ enden, sind durch $5$ teilbar (ausser die $5$ selbst). Damit fallen schon viele Kandidaten weg.

Spezielle Primzahlen

Es gibt verschiedene Arten von Primzahlen mit besonderen Eigenschaften:

Primzahlzwillinge: Das sind zwei Primzahlen mit Abstand $2$. Beispiele: $(3, 5)$, $(5, 7)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$, $(29, 31)$. Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, weiss bis heute niemand.

Mersennesche Primzahlen: Das sind Primzahlen der Form $2^n - 1$. Beispiel: $2^5 - 1 = 31$ ist eine Primzahl. Die grössten bekannten Primzahlen sind Mersennesche Primzahlen.

Palindrom-Primzahlen: Das sind Primzahlen, die vorwärts und rückwärts gelesen gleich sind. Beispiele: $11$, $101$, $131$, $151$, $181$.

Das Wichtigste in Kürze

• Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl grösser als $1$ mit genau zwei Teilern: $1$ und sich selbst.
• Die $1$ ist keine Primzahl. Die $2$ ist die einzige gerade Primzahl.
• Mit dem Sieb des Eratosthenes findest du systematisch alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl.
• Jede natürliche Zahl grösser als $1$ lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen.
• Teilbarkeitsregeln helfen dir, schnell zu prüfen, ob eine Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist.

Dein Wissen im Test

❓ Frage: Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl: $51$, $53$ oder $55$?

Lösung anzeigen

Die Zahl $53$ ist eine Primzahl.

$51 = 3 \cdot 17$ (teilbar durch $3$, da Quersumme $6$)

$53$ ist nicht durch $2$, $3$, $5$ oder $7$ teilbar → Primzahl

$55 = 5 \cdot 11$ (endet auf $5$, also durch $5$ teilbar)

❓ Frage: Bestimme die Primfaktorzerlegung von $72$.

Lösung anzeigen

$$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$

In Potenzschreibweise:

$$72 = 2^3 \cdot 3^2$$

❓ Frage: Tim behauptet: “Alle Primzahlen sind ungerade.” Hat er recht? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, Tim hat nicht recht.

Die Zahl $2$ ist eine Primzahl und sie ist gerade. Die $2$ hat genau zwei Teiler ($1$ und $2$) und erfüllt damit die Definition einer Primzahl.

Es stimmt aber, dass alle anderen Primzahlen ungerade sind. Denn jede gerade Zahl ausser der $2$ ist durch $2$ teilbar und hat somit mindestens drei Teiler.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Grundlagen der Primzahlen verstanden. Als Nächstes wirst du lernen, wie du mit Hilfe der Primfaktorzerlegung den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen bestimmen kannst.

Diese Begriffe sind besonders wichtig für die Bruchrechnung. Mit dem ggT kannst du Brüche auf den kleinstmöglichen Nenner kürzen. Mit dem kgV findest du den Hauptnenner, wenn du Brüche addieren oder subtrahieren willst.

Die Primzahlen, die du heute gelernt hast, sind dafür die Grundlage. Du wirst sie in vielen weiteren Themen der Mathematik wiedertreffen.