ggT und kgV verstehen – Teiler und Vielfache clever nutzen

Stell dir vor, du planst eine Party mit deinem besten Freund. Du hast 24 Kekse, dein Freund bringt 36 Gummibärchen mit. Ihr wollt kleine Tütchen packen – jede soll gleich viele Kekse und gleich viele Gummibärchen enthalten. Wie viele Tütchen könnt ihr maximal machen?

Oder denk an eine Band-Probe: Der Schlagzeuger spielt alle 4 Sekunden einen Akzent. Die Gitarristin betont alle 6 Sekunden eine Note. Wann treffen sich ihre Betonungen zum ersten Mal gleichzeitig?

Solche Fragen begegnen uns ständig im Alltag. Die Mathematik hat dafür zwei praktische Werkzeuge: den grössten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache.

Von der Party zur Mathematik

Zurück zu den Tütchen: Wir suchen eine Zahl, die sowohl in 24 als auch in 36 passt. Diese Zahl muss ein Teiler von beiden sein. Der grösste solche Teiler gibt uns die maximale Anzahl an Tütchen.

Bei der Band-Probe ist es umgekehrt: Wir suchen die kleinste Zahl, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist. Das ist ein Vielfaches von beiden Zahlen.

Der grösste gemeinsame Teiler (ggT)

DEFINITION

Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen $a$ und $b$ ist die grösste Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.

Schreibweise: $\text{ggT}(a, b)$

Der ggT beantwortet die Frage: „Was ist das Grösste, in das ich beide Zahlen aufteilen kann?”

So findest du den ggT

Methode 1: Teilermengen aufschreiben

1. Schreibe alle Teiler der ersten Zahl auf.
2. Schreibe alle Teiler der zweiten Zahl auf.
3. Finde die gemeinsamen Teiler.
4. Wähle den grössten davon.

Methode 2: Primfaktorzerlegung

1. Zerlege beide Zahlen in ihre Primfaktoren.
2. Nimm alle Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen.
3. Verwende jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Hochzahl.
4. Multipliziere diese Faktoren.

Typischer Fehler: Beim ggT nimmst du nur die Faktoren, die in BEIDEN Zahlen stecken. Vergiss nicht: Ein Faktor, der nur in einer Zahl vorkommt, gehört nicht zum ggT!

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

DEFINITION

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen $a$ und $b$ ist die kleinste positive Zahl, die von beiden Zahlen ohne Rest geteilt wird.

Schreibweise: $\text{kgV}(a, b)$

Das kgV beantwortet die Frage: „Wann treffen sich die Vielfachen beider Zahlen zum ersten Mal?”

So findest du das kgV

Methode 1: Vielfache aufschreiben

1. Schreibe die ersten Vielfachen der ersten Zahl auf.
2. Schreibe die ersten Vielfachen der zweiten Zahl auf.
3. Finde das kleinste Vielfache, das in beiden Listen steht.

Methode 2: Primfaktorzerlegung

1. Zerlege beide Zahlen in ihre Primfaktoren.
2. Nimm alle Primfaktoren, die in mindestens einer Zerlegung vorkommen.
3. Verwende jeden Faktor mit der höheren Hochzahl.
4. Multipliziere diese Faktoren.

Der Zusammenhang zwischen ggT und kgV

Es gibt eine wichtige Formel, die ggT und kgV verbindet:

$$\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$$

Das bedeutet: Kennst du den ggT, kannst du das kgV schnell berechnen – und umgekehrt.

Verwechslungsgefahr: Beim ggT nimmst du die kleinere Hochzahl, beim kgV die grössere! Merkhilfe: ggT = gemeinsam = gleich klein. kgV = kleinste Zahl, aber mit grössten Faktoren.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: ggT mit Teilermengen

Berechne $\text{ggT}(12, 18)$.

Teiler von 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$

Teiler von 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$

Gemeinsame Teiler: $1, 2, 3, 6$

Grösster gemeinsamer Teiler: $\text{ggT}(12, 18) = 6$

Das bedeutet: 12 und 18 lassen sich beide durch 6 teilen – aber durch keine grössere Zahl.

Beispiel:

Beispiel 2: kgV mit Primfaktorzerlegung

Berechne $\text{kgV}(24, 36)$.

Primfaktorzerlegung:

$24 = 2^3 \cdot 3$

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

Für das kgV nehmen wir jeden Primfaktor mit der höheren Hochzahl:

• Faktor 2: höhere Hochzahl ist $2^3$
• Faktor 3: höhere Hochzahl ist $3^2$

$$\text{kgV}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$$

Die Zahl 72 ist das kleinste Vielfache, das sowohl durch 24 als auch durch 36 teilbar ist.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Die Buslinien

Zwei Buslinien starten um 6:00 Uhr gemeinsam am Bahnhof. Bus A fährt alle 15 Minuten, Bus B alle 20 Minuten. Wann starten beide Busse wieder gleichzeitig?

Gesucht: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 20.

Primfaktorzerlegung:

$15 = 3 \cdot 5$

$20 = 2^2 \cdot 5$

kgV: Wir nehmen alle Faktoren mit der höheren Hochzahl:

$$\text{kgV}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

Antwort: Nach 60 Minuten, also um 7:00 Uhr, starten beide Busse wieder gleichzeitig.

Wann brauchst du was?

• ggT brauchst du beim Aufteilen und Kürzen: maximale Anzahl gleicher Portionen, Brüche kürzen, gemeinsame Faktoren finden.
• kgV brauchst du beim Zusammenführen: gemeinsamer Nenner bei Brüchen, Zeitpunkte synchronisieren, Mengen abstimmen.

Quiz

❓ Frage: Berechne $\text{ggT}(20, 30)$.

Lösung anzeigen

Teiler von 20: $1, 2, 4, 5, 10, 20$

Teiler von 30: $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$

Gemeinsame Teiler: $1, 2, 5, 10$

$\text{ggT}(20, 30) = 10$

❓ Frage: Berechne $\text{kgV}(6, 8)$.

Lösung anzeigen

Primfaktorzerlegung:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2^3$

kgV: $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

$\text{kgV}(6, 8) = 24$

❓ Frage: Der $\text{ggT}(a, b) = 7$ und $a \cdot b = 294$. Wie gross ist $\text{kgV}(a, b)$?

Lösung anzeigen

Wir nutzen die Formel: $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$

Einsetzen: $7 \cdot \text{kgV}(a, b) = 294$

Auflösen: $\text{kgV}(a, b) = 294 / 7 = 42$