Addition und Subtraktion

Einleitung

Nehmen wir an, du sammelst Sammelkarten. Heute bekommst du 15 neue Karten von einem Freund. Gestern hast du 23 Karten getauscht. Wie viele Karten hast du jetzt insgesamt mehr? Oder: Du hattest 50 Karten. Du verschenkst 18 davon. Wie viele bleiben übrig? Solche Fragen begegnen dir täglich. Du zählst zusammen oder ziehst etwas ab. Genau das sind die Grundrechenarten Addition und Subtraktion. Sie helfen dir, Mengen zu vergrössern oder zu verkleinern. In diesem Artikel lernst du, wie du mit natürlichen Zahlen richtig addierst und subtrahierst. Du wirst verstehen, warum diese Fähigkeiten so wichtig sind.

Die Geschichte der natürlichen Zahlen und Grundrechenarten

Die natürlichen Zahlen gehören zu den ältesten mathematischen Konzepten der Menschheit. Schon vor über 5000 Jahren nutzten die Sumerer in Mesopotamien Zahlsysteme zum Zählen von Waren. Sie ritzten Striche in Tontafeln, um Mengen festzuhalten.

Die alten Ägypter entwickelten um 3000 v. Chr. ein System mit Hieroglyphen für Zahlen. Sie konnten bereits addieren und subtrahieren. Das war wichtig für den Bau der Pyramiden und die Landvermessung nach Nilüberschwemmungen.

Die Römer schufen ihr berühmtes Zahlensystem mit Buchstaben wie I, V, X, L, C, D und M. Addition war damit möglich, aber komplizierter als heute.

Den grössten Durchbruch brachten die arabischen Mathematiker im 9. Jahrhundert. Muhammad al-Chwarizmi schrieb grundlegende Werke über Arithmetik. Er verbreitete das indische Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9 in der arabischen Welt.

Über Spanien gelangte dieses System nach Europa. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci machte es im 13. Jahrhundert populär. Sein Buch “Liber Abaci” zeigte die Vorteile der neuen Zahldarstellung.

Das Dezimalsystem revolutionierte das Rechnen. Addition und Subtraktion wurden deutlich einfacher. Die schriftlichen Rechenverfahren, die du heute lernst, entwickelten sich im 15. und 16. Jahrhundert.

In der modernen Mathematik bilden die natürlichen Zahlen die Basis für komplexere Zahlenmengen. Sie sind unverzichtbar in Algebra, Zahlentheorie und Informatik. Computer verwenden binäre Systeme, aber das Prinzip des Zählens bleibt gleich.

Die Grundlagen der natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen. Sie beginnen bei $1$ und gehen unendlich weiter: $1, 2, 3, 4, 5, ...$

Manche Mathematiker zählen auch die $0$ zu den natürlichen Zahlen. In der Schule lernst du meist: Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen ohne Brüche.

Die Addition ist das Zusammenzählen von Zahlen. Du verbindest zwei oder mehr Mengen zu einer grösseren Menge. Das Zeichen dafür ist das Plus: $+$

Das Ergebnis einer Addition heisst Summe. Die Zahlen, die du addierst, nennt man Summanden.

Beispiel: $7 + 5 = 12$

Hier sind $7$ und $5$ die Summanden. Die Summe ist $12$.

Die Subtraktion ist das Abziehen einer Zahl von einer anderen. Du entfernst einen Teil aus einer Menge. Das Zeichen ist das Minus: $-$

Das Ergebnis einer Subtraktion heisst Differenz. Die erste Zahl nennt man Minuend, die zweite Subtrahend.

Beispiel: $15 - 8 = 7$

Der Minuend ist $15$, der Subtrahend ist $8$. Die Differenz beträgt $7$.

Beide Rechenarten haben wichtige Eigenschaften. Bei der Addition spielt die Reihenfolge keine Rolle: $3 + 5 = 5 + 3$. Diese Eigenschaft heisst Kommutativgesetz.

Bei der Subtraktion ist die Reihenfolge entscheidend: $10 - 3$ ist nicht dasselbe wie $3 - 10$. Im Bereich der natürlichen Zahlen ist $3 - 10$ nicht lösbar.

Die Kernmethode für Addition und Subtraktion

Addition natürlicher Zahlen:

Du kannst kleine Zahlen im Kopf addieren. Bei grösseren Zahlen nutzt du die schriftliche Addition.

Schritt 1: Schreibe die Zahlen untereinander. Achte darauf, dass Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern stehen.

Schritt 2: Beginne rechts bei den Einern. Addiere die Ziffern der Einerspalte.

Schritt 3: Ist das Ergebnis grösser als $9$, schreibe die Einerstelle auf und merke dir den Übertrag.

Schritt 4: Gehe zur nächsten Stelle (Zehner) und addiere dort. Vergiss den Übertrag nicht.

Schritt 5: Wiederhole dies für alle Stellen bis zur letzten.

Subtraktion natürlicher Zahlen:

Auch hier verwendest du bei grösseren Zahlen die schriftliche Methode.

Schritt 1: Schreibe die grössere Zahl oben, die kleinere darunter. Stelle wieder stellenweise untereinander.

Schritt 2: Beginne rechts bei den Einern. Ziehe die untere Ziffer von der oberen ab.

Schritt 3: Ist die obere Ziffer kleiner, musst du dir von der nächsten Stelle “leihen”. Die obere Ziffer wird um $10$ erhöht.

Schritt 4: Reduziere dann die Ziffer der nächsten Stelle um $1$.

Schritt 5: Fahre so fort bis zur letzten Stelle.

Definition: Das Grundprinzip der Addition und Subtraktion Die Addition $a + b = c$ verbindet zwei natürliche Zahlen $a$ und $b$ zu ihrer Summe $c$.

Die Subtraktion $a - b = c$ bestimmt die Differenz $c$ zwischen der grösseren Zahl $a$ (Minuend) und der kleineren Zahl $b$ (Subtrahend).

Bei der Subtraktion muss im Bereich der natürlichen Zahlen immer $a \geq b$ gelten.

Beispiel 1 - Einstiegsaufgabe

Aufgabe:

Berechne die Summe von $247$ und $135$.

Lösungsweg:

Wir addieren die beiden Zahlen schriftlich.

$$\begin{align*} &\phantom{+}\,247 \\ &+\,135 \\ &\overline{\phantom{+}\,382} \end{align*}$$

Schritt für Schritt:

Einerstelle: $7 + 5 = 12$. Wir schreiben die $2$ auf und merken uns den Übertrag $1$.

Zehnerstelle: $4 + 3 = 7$, plus Übertrag $1$ ergibt $8$.

Hunderterstelle: $2 + 1 = 3$.

Das Ergebnis ist $247 + 135 = 382$.

Du siehst: Wir arbeiten von rechts nach links. Bei jedem Übertrag über $9$ wandert eine $1$ zur nächsten Stelle. Das ist das Grundprinzip des Dezimalsystems. Jede Stelle kann nur Ziffern von $0$ bis $9$ enthalten.

Beispiel 2 - Aufbauende Aufgabe

Aufgabe:

Subtrahiere $68$ von $145$.

Lösungsweg:

Wir rechnen $145 - 68$ schriftlich.

$$\begin{align*} &\phantom{-}\,145 \\ &-\,\phantom{1}68 \\ &\overline{\phantom{-}\,\phantom{1}77} \end{align*}$$

Schritt für Schritt:

Einerstelle: $5 - 8$ geht nicht direkt. Wir leihen $1$ von der Zehnerstelle. Aus $5$ wird $15$, aus $4$ Zehnern werden $3$ Zehner. Nun: $15 - 8 = 7$.

Zehnerstelle: Jetzt haben wir nur noch $3$ Zehner (wegen des Leihens). Also: $3 - 6$ geht wieder nicht. Wir leihen von der Hunderterstelle. Aus $3$ wird $13$, aus $1$ Hunderter werden $0$ Hunderter. Nun: $13 - 6 = 7$.

Hunderterstelle: Es bleibt $0$.

Das Ergebnis ist $145 - 68 = 77$.

Der Unterschied zu Beispiel 1: Hier mussten wir mehrfach leihen. Das passiert, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere. Achte darauf, die geliehene $1$ bei der nächsten Stelle abzuziehen.

Die häufigsten Stolpersteine bei Addition und Subtraktion

⚠️ Achtung: Überträge vergessen Viele vergessen bei der Addition, den Übertrag zur nächsten Stelle mitzunehmen. Beispiel: $78 + 45$. Bei den Einern: $8 + 5 = 13$. Du schreibst die $3$ auf. Aber bei den Zehnern musst du den Übertrag $1$ addieren: $7 + 4 + 1 = 12$. Das Ergebnis ist $123$, nicht $113$. Tipp: Schreibe den Übertrag klein über die nächste Spalte, damit du ihn nicht vergisst.

⚠️ Achtung: Falsche Stellenausrichtung Beim schriftlichen Rechnen müssen die Stellen genau untereinander stehen. Fehler entstehen, wenn du Einer unter Zehner schreibst. Beispiel: $234 + 67$ falsch aufgeschrieben als Einer von $67$ unter Zehner von $234$. Tipp: Beginne immer von rechts und richte die Zahlen rechtsbündig aus. Oder ziehe Hilfslinien für jede Stelle. Das hilft besonders bei Zahlen mit unterschiedlicher Stellenzahl.

⚠️ Achtung: Leihen bei der Subtraktion nicht weitergeben Bei $302 - 158$ musst du an der Einerstelle leihen. Aber die Zehnerstelle hat eine $0$. Du kannst nicht von $0$ leihen. Du musst erst von der Hunderterstelle zur Zehnerstelle leihen, dann von der Zehnerstelle zur Einerstelle. Aus $302$ wird gedanklich $2\,9\,12$ (2 Hunderter, 9 Zehner, 12 Einer). Dann: $12 - 8 = 4$, $9 - 5 = 4$, $2 - 1 = 1$. Ergebnis: $144$. Tipp: Arbeite von rechts nach links und behandle jedes Leihen sorgfältig.

Beispiel 3 - Komplexere Aufgabe

Aufgabe:

Berechne $5038 - 2769$.

Lösungsweg:

Dies ist anspruchsvoller wegen der Null in der Zehnerstelle.

$$\begin{align*} &\phantom{-}5038 \\ &-2769 \\ &\overline{\phantom{-}2269} \end{align*}$$

Einerstelle: $8 - 9$ geht nicht. Leihen von der Zehnerstelle? Dort ist $3$. Aus $8$ wird $18$, aus $3$ wird $2$. Also: $18 - 9 = 9$.

Zehnerstelle: Jetzt haben wir $2$ (wegen des Leihens). $2 - 6$ geht nicht. Leihen von der Hunderterstelle? Dort ist $0$. Das geht nicht direkt.

Hunderterstelle: Die $0$ kann nichts leihen. Also leihen wir von der Tausenderstelle. Aus $5$ wird $4$, aus $0$ wird $10$. Jetzt leihen wir von dieser $10$ für die Zehnerstelle. Aus $10$ wird $9$, aus $2$ wird $12$.

Zehnerstelle: Nun $12 - 6 = 6$.

Hunderterstelle: $9 - 7 = 2$.

Tausenderstelle: $4 - 2 = 2$.

Das Ergebnis ist $2269$.

Beispiel 4 - Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe:

Lena spart für ein neues Fahrrad. Es kostet $389$ Franken. Sie hat bereits $245$ Franken gespart. Wie viel Geld fehlt ihr noch?

Lösungsweg:

Wir müssen herausfinden, was fehlt. Das ist eine Subtraktion.

Gesucht: $389 - 245$

$$\begin{align*} &\phantom{-}389 \\ &-245 \\ &\overline{\phantom{-}144} \end{align*}$$

Einerstelle: $9 - 5 = 4$

Zehnerstelle: $8 - 4 = 4$

Hunderterstelle: $3 - 2 = 1$

Lena fehlen noch $144$ Franken.

Übersetzung der Aufgabe: Das Schlüsselwort ist “fehlt”. Wenn etwas fehlt, ziehst du das Vorhandene vom Ziel ab. Bei “insgesamt” oder “zusammen” addierst du. Achte auf solche Signalwörter in Textaufgaben. Sie zeigen dir, welche Rechenart du brauchst.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Berechne $56 + 37$.

Aufgabe 2: Berechne $92 - 48$.

Aufgabe 3: Addiere die Zahlen $348$, $127$ und $215$.

Aufgabe 4: Von $600$ werden $437$ abgezogen. Wie gross ist die Differenz?

Aufgabe 5: Ein Buch hat $278$ Seiten. Du hast bereits $189$ Seiten gelesen. Wie viele Seiten bleiben noch?

Aufgabe 6: Berechne $4005 - 1876$.

Aufgabe 7: In einem Stadion sind $18\,347$ Zuschauer. Nach der Halbzeit kommen noch $2\,895$ dazu. Wie viele Zuschauer sind jetzt im Stadion?

Aufgabe 8: Eine Schule hat drei Gebäude mit $324$, $287$ und $198$ Schülern. In der Turnhalle sind gerade $145$ Schüler beim Sportunterricht. Wie viele Schüler sind insgesamt an der Schule? Wie viele sind nicht in der Turnhalle?

Das Wichtigste in Kürze

Natürliche Zahlen: Das sind die Zahlen zum Zählen: $1, 2, 3, 4, ...$. Sie haben keine Nachkommastellen und sind nie negativ. Mit ihnen führen wir die grundlegenden Rechenoperationen durch.

Addition: Du addierst, um Mengen zusammenzuzählen. Schreibe die Zahlen stellengerecht untereinander. Beginne rechts und arbeite nach links. Vergiss Überträge nicht.

Subtraktion: Du subtrahierst, um Differenzen zu finden. Die grössere Zahl steht oben. Wenn eine Ziffer zu klein ist, leihst du von der nächsten Stelle. Jedes Leihen erhöht die aktuelle Stelle um $10$ und verringert die nächste um $1$.

Überträge und Leihen: Das sind die kritischen Punkte. Bei Addition entstehen Überträge, wenn die Summe zweier Ziffern grösser als $9$ ist. Bei Subtraktion leihst du, wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist. Arbeite immer systematisch von rechts nach links.

Textaufgaben: Lies die Aufgabe genau. Signalwörter wie “zusammen”, “insgesamt” bedeuten Addition. Wörter wie “fehlt”, “bleibt übrig”, “Unterschied” bedeuten Subtraktion. Übersetze die Situation in eine Rechnung, bevor du beginnst.

Quiz - Teste dein Wissen

Frage 1: Was ist bei der Addition $687 + 245$ der Übertrag von der Einerstelle zur Zehnerstelle?

Der Übertrag ist $1$. Bei den Einern rechnest du $7 + 5 = 12$. Du schreibst die $2$ auf und der Übertrag $1$ wandert zur Zehnerstelle. Dort rechnest du dann $8 + 4 + 1 = 13$.

Frage 2: Bei der Subtraktion $503 - 278$ musst du mehrfach leihen. Wie oft und von welchen Stellen?

Du musst zweimal leihen. Zuerst bei den Einern: $3 - 8$ geht nicht, du leihst von der Zehnerstelle. Aber dort ist $0$. Also leihst du zuerst von der Hunderterstelle zur Zehnerstelle, dann von der Zehnerstelle zur Einerstelle. Aus $503$ wird gedanklich $4\,9\,13$. Das Ergebnis ist $225$.

Frage 3: Warum ist das Kommutativgesetz bei der Subtraktion nicht gültig?

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge egal ist. Bei der Addition gilt: $5 + 3 = 3 + 5 = 8$. Bei der Subtraktion ist das nicht so: $5 - 3 = 2$, aber $3 - 5$ ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht definiert. Die Differenz würde negativ, und das gehört nicht zu den natürlichen Zahlen. Deshalb muss bei der Subtraktion der Minuend grösser oder gleich dem Subtrahend sein.

Ausblick - Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Nachdem du Addition und Subtraktion beherrschst, kommen die anderen Grundrechenarten. Als nächstes lernst du die Multiplikation. Sie ist eine verkürzte Addition gleicher Zahlen. Statt $5 + 5 + 5 + 5$ schreibst du $4 \cdot 5$. Das spart Zeit und macht komplexere Rechnungen möglich. Die Multiplikation baut direkt auf deinem Wissen über Addition auf. Später folgt die Division als Umkehrung der Multiplikation. Mit allen vier Grundrechenarten kannst du dann praktisch jedes Alltagsproblem mathematisch lösen. Du wirst sehen, wie sie ineinandergreifen und sich gegenseitig ergänzen.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung 1:

$$\begin{align*} &\phantom{+}56 \\ &+37 \\ &\overline{\phantom{+}93} \end{align*}$$

Einerstelle: $6 + 7 = 13$, schreibe $3$, Übertrag $1$. Zehnerstelle: $5 + 3 + 1 = 9$. Ergebnis: $93$

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Lösung 2:

$$\begin{align*} &\phantom{-}92 \\ &-48 \\ &\overline{\phantom{-}44} \end{align*}$$

Einerstelle: $2 - 8$ geht nicht. Leihe von Zehnerstelle: $12 - 8 = 4$. Zehnerstelle: $8 - 4 = 4$ (aus $9$ wurde $8$ durch Leihen). Ergebnis: $44$

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Lösung 3:

Wir addieren drei Zahlen. Das geht in einem Schritt:

$$\begin{align*} &\phantom{+}348 \\ &\phantom{+}127 \\ &+215 \\ &\overline{\phantom{+}690} \end{align*}$$

Einerstelle: $8 + 7 + 5 = 20$, schreibe $0$, Übertrag $2$. Zehnerstelle: $4 + 2 + 1 + 2 = 9$. Hunderterstelle: $3 + 1 + 2 = 6$. Ergebnis: $690$

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Lösung 4:

$$\begin{align*} &\phantom{-}600 \\ &-437 \\ &\overline{\phantom{-}163} \end{align*}$$

Einerstelle: $0 - 7$ geht nicht. Zehnerstelle hat auch $0$. Hunderterstelle hat auch $0$. Leihe von Tausenderstelle: Aus $600$ wird gedanklich $5\,9\,10$. Dann von Zehnerstelle zur Einerstelle: $5\,8\,10$. Einerstelle: $10 - 7 = 3$. Zehnerstelle: $9 - 3 = 6$ (wurde aus $10$ zu $9$). Hunderterstelle: $5 - 4 = 1$. Ergebnis: $163$

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Lösung 5:

Gesucht: $278 - 189$

$$\begin{align*} &\phantom{-}278 \\ &-189 \\ &\overline{\phantom{-}\phantom{1}89} \end{align*}$$

Einerstelle: $8 - 9$ geht nicht. Leihen: $18 - 9 = 9$. Zehnerstelle: $6 - 8$ geht nicht (aus $7$ wurde $6$). Leihen: $16 - 8 = 8$. Hunderterstelle: $1 - 1 = 0$ (aus $2$ wurde $1$). Ergebnis: $89$ Seiten bleiben noch.

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Lösung 6:

$$\begin{align*} &\phantom{-}4005 \\ &-1876 \\ &\overline{\phantom{-}2129} \end{align*}$$

Einerstelle: $5 - 6$ geht nicht. Zehnerstelle ist $0$. Hunderterstelle ist $0$. Leihe von Tausenderstelle: Aus $4005$ wird $3\,9\,9\,15$. Einerstelle: $15 - 6 = 9$. Zehnerstelle: $9 - 7 = 2$. Hunderterstelle: $9 - 8 = 1$. Tausenderstelle: $3 - 1 = 2$. Ergebnis: $2129$

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Lösung 7:

$$\begin{align*} &\phantom{+}18347 \\ &+\phantom{1}2895 \\ &\overline{\phantom{+}21242} \end{align*}$$

Einerstelle: $7 + 5 = 12$, schreibe $2$, Übertrag $1$. Zehnerstelle: $4 + 9 + 1 = 14$, schreibe $4$, Übertrag $1$. Hunderterstelle: $3 + 8 + 1 = 12$, schreibe $2$, Übertrag $1$. Tausenderstelle: $8 + 2 + 1 = 11$, schreibe $1$, Übertrag $1$. Zehntausenderstelle: $1 + 0 + 1 = 2$. Ergebnis: $21\,242$ Zuschauer

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Lösung 8:

Zwei Teilaufgaben:

Teil 1: Gesamtzahl der Schüler

$$\begin{align*} &\phantom{+}324 \\ &\phantom{+}287 \\ &+198 \\ &\overline{\phantom{+}809} \end{align*}$$

Einerstelle: $4 + 7 + 8 = 19$, schreibe $9$, Übertrag $1$. Zehnerstelle: $2 + 8 + 9 + 1 = 20$, schreibe $0$, Übertrag $2$. Hunderterstelle: $3 + 2 + 1 + 2 = 8$. Insgesamt: $809$ Schüler

Teil 2: Schüler nicht in der Turnhalle

$$\begin{align*} &\phantom{-}809 \\ &-145 \\ &\overline{\phantom{-}664} \end{align*}$$

Einerstelle: $9 - 5 = 4$. Zehnerstelle: $0 - 4$ geht nicht. Leihen: $10 - 4 = 6$. Hunderterstelle: $7 - 1 = 6$ (aus $8$ wurde $7$). Ergebnis: $664$ Schüler sind nicht in der Turnhalle.