Multiplikation & Teilen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Darum geht's

Stell dir vor, du hilfst beim Tischdecken für eine Geburtstagsparty. An jedem der 4 Tische sollen genau 3 Muffins stehen. Wie viele Muffins brauchst du insgesamt?

Du könntest jetzt zählen: 3 Muffins, noch mal 3, noch mal 3, noch mal 3. Das dauert aber lange!

Oder du lernst einen Trick: Mal-Nehmen (Multiplizieren) ist eine Abkürzung für “immer wieder das Gleiche dazuzählen”.

Und was ist, wenn nach der Party 12 Gummibärchen übrig sind und du sie fair an 4 Freunde verteilen willst? Dann musst du teilen (dividieren). Das ist das Gegenteil vom Mal-Nehmen.

In diesem Artikel lernst du beide Rechenarten Schritt für Schritt kennen.

Eine kleine Zeitreise

Rechnen ist uralt. Menschen haben schon vor Tausenden von Jahren multipliziert und dividiert – lange bevor es Schulen, Bücher oder sogar Papier gab.

Die alten Ägypter und ihr Trick

Die alten Ägypter lebten vor mehr als 4000 Jahren am Nil. Sie mussten jedes Jahr nach der Nilüberschwemmung ihre Felder neu vermessen und aufteilen. Dafür brauchten sie das Teilen. Sie schrieben ihre Rechnungen auf Papyrusrollen – das ist eine Art Papier aus Schilf.

Ein berühmtes Dokument ist der Rhind-Papyrus. Er ist über 3500 Jahre alt und enthält viele Rechenaufgaben. Die Ägypter multiplizierten, indem sie Zahlen immer wieder verdoppelten. Das war ihr cleverer Trick!

Die Römer und ihre Tafeln

Die Römer im alten Rom nutzten das Einmaleins schon vor etwa 2000 Jahren. Händler auf dem Marktplatz mussten schnell ausrechnen: “3 Amphoren Wein zu je 5 Münzen – wie viel kostet das?” Wer das Einmaleins kannte, war im Vorteil.

Kinder in Rom lernten die Einmaleins-Tabellen auswendig. Das klingt anstrengend, ist aber auch heute noch nützlich. Denn wer das Einmaleins im Kopf hat, rechnet viel schneller.

Das Zeichen für Mal-Nehmen

Das Zeichen $\cdot$ für die Multiplikation wurde erst vor etwa 400 Jahren erfunden. Der englische Mathematiker William Oughtred nutzte 1631 erstmals das Kreuzzeichen $\times$. Den kleinen Punkt $\cdot$ verwendete Gottfried Wilhelm Leibniz, ein berühmter deutscher Mathematiker, ab 1698. In der Schule benutzen wir heute meistens den Punkt.

Das Zeichen $:$ für die Division kam ungefähr zur gleichen Zeit auf. Vorher schrieben die Menschen ihre Rechnungen einfach in Worten aus – viel umständlicher!

Warum das alles wichtig ist

Multiplikation und Division sind keine Erfindungen für die Schule. Sie lösen echte Probleme. Bäcker berechnen Zutaten, Architekten messen Räume auf, Eltern teilen Süssigkeiten gerecht auf. Das Rechnen, das du heute lernst, benutzen Menschen auf der ganzen Welt – jeden Tag.

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Die Grundlagen

Bevor du los rechnest, lernst du die wichtigsten Begriffe kennen. Diese Fachbegriffe helfen dir, Aufgaben zu verstehen und zu erklären.

Die Multiplikation – Mal-Nehmen

Erinnern wir uns an die Muffins: 4 Tische, an jedem 3 Muffins.

Du könntest rechnen:

$3 + 3 + 3 + 3 = 12$

Das ist aber umständlich. Deshalb gibt es das Mal-Nehmen:

$4 \cdot 3 = 12$

Das bedeutet: “Nimm die 3 genau 4 Mal.” Der kleine Punkt $\cdot$ heisst Mal-Zeichen.

Definition

Multiplikation ist eine Abkürzung für das wiederholte Addieren der gleichen Zahl.

$\text{Anzahl der Gruppen} \cdot \text{Anzahl pro Gruppe} = \text{Ergebnis}$

Die Zahlen, die man multipliziert, heissen Faktoren. Das Ergebnis heisst Produkt.

Beispiel: Bei $4 \cdot 3 = 12$ sind $4$ und $3$ die Faktoren. Die Zahl $12$ ist das Produkt.

So kannst du dir das vorstellen

Male dir Punkte in deinem Kopf vor:

• $4 \cdot 3$ = 4 Reihen mit je 3 Punkten
• $2 \cdot 5$ = 2 Reihen mit je 5 Punkten

Du kannst auch an Schachteln denken: “Ich habe 4 Schachteln, in jeder sind 3 Bonbons.” Die 4 ist die Anzahl der Schachteln. Die 3 ist die Anzahl der Bonbons in jeder Schachtel. Das Produkt $12$ ist die Gesamtzahl der Bonbons.

Schritt für Schritt multiplizieren

1. Schau dir die erste Zahl an – so viele Gruppen hast du.
2. Schau dir die zweite Zahl an – so viele Dinge sind in jeder Gruppe.
3. Zähle alle zusammen oder nutze das kleine Einmaleins.
4. Schreibe das Ergebnis auf.

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Die Kernmethode

Jetzt lernst du die zweite Rechenart kennen: die Division. Sie ist das Gegenteil der Multiplikation.

Die Division – Teilen

Jetzt zu den Gummibärchen: Du hast 12 Stück und möchtest sie an 4 Freunde fair verteilen. Du fragst dich: “Wie viele bekommt jeder?”

$12 : 4 = 3$

Jeder bekommt 3 Gummibärchen. Der Doppelpunkt $:$ ist das Geteilt-Zeichen.

Definition

Division ist das Aufteilen einer Menge in gleich grosse Gruppen.

$\text{Gesamtzahl} : \text{Anzahl der Gruppen} = \text{Anzahl pro Gruppe}$

Die Zahl, die geteilt wird, heisst Dividend. Die Zahl, durch die geteilt wird, heisst Divisor. Das Ergebnis heisst Quotient.

Beispiel: Bei $12 : 4 = 3$ ist $12$ der Dividend, $4$ der Divisor und $3$ der Quotient.

So kannst du dir das vorstellen

Stell dir vor, du verteilst Spielkarten an Mitspieler:

• $12 : 4$ = 12 Karten an 4 Spieler verteilen
• Du gibst reihum jedem eine Karte, bis alle verteilt sind
• Am Ende hat jeder 3 Karten

Schritt für Schritt dividieren

1. Schau dir die erste Zahl an – so viele Dinge hast du insgesamt.
2. Schau dir die zweite Zahl an – in so viele Gruppen teilst du auf.
3. Überlege: “Welche Zahl mal die zweite Zahl ergibt die erste?”
4. Schreibe das Ergebnis auf.

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Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Multiplikation

In einem Eierkarton liegen immer 6 Eier. Du kaufst 3 Kartons. Wie viele Eier hast du insgesamt?

Lösung:

Du hast 3 Kartons. In jedem Karton liegen 6 Eier. Das bedeutet: 3 Gruppen mit je 6 Dingen.

$3 \cdot 6 = 18$

Du hast 18 Eier insgesamt.

Überprüfung durch Addition:

$6 + 6 + 6 = 18 \checkmark$

Das Ergebnis stimmt. Die Multiplikation ist die schnellere Methode.

Merke: $3 \cdot 6$ und $6 \cdot 3$ ergeben beide $18$. Es spielt keine Rolle, welche Zahl vorne steht.

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Beispiel:

Beispiel 2: Einfache Division

24 Buntstifte sollen gleichmässig in 4 Schachteln verteilt werden. Wie viele Stifte kommen in jede Schachtel?

Lösung:

Du hast 24 Stifte insgesamt. Du teilst sie auf 4 Schachteln auf.

$24 : 4 = 6$

In jede Schachtel kommen 6 Buntstifte.

Probe mit Multiplikation:

Um zu prüfen, ob dein Ergebnis stimmt, rechnest du zurück:

$4 \cdot 6 = 24 \checkmark$

Das stimmt! Die Probe zeigt dir, ob dein Ergebnis richtig ist. Merke dir: Division und Multiplikation sind Umkehrungen voneinander. Mit der Multiplikation kannst du jede Division überprüfen.

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Die häufigsten Stolpersteine

Beim Lernen von Multiplikation und Division passieren immer wieder dieselben Fehler. Hier lernst du die häufigsten kennen – damit du sie vermeidest.

Achtung

Reihenfolge bei der Division: Bei der Division ist die Reihenfolge wichtig!

$12 : 4 = 3$, aber $4 : 12$ ergibt keine ganze Zahl!

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge egal: $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4$. Beim Teilen funktioniert das nicht so. $12 : 4$ und $4 : 12$ sind verschiedene Aufgaben.

Achtung

Durch Null teilen geht nicht: Man kann niemals durch $0$ teilen. $6 : 0$ gibt es nicht!

Stell dir vor, du willst 6 Äpfel an 0 Freunde verteilen – das ergibt keinen Sinn. Wie viele Äpfel bekommt jede Person? Die Frage hat keine Antwort. Merke dir: Teilen durch Null ist verboten. Aufgaben wie $8 : 0$ oder $15 : 0$ kannst du nicht lösen.

Achtung

Mal Null ist immer Null: Wenn du eine Zahl mit $0$ multiplizierst, ist das Ergebnis immer $0$.

$5 \cdot 0 = 0$ und $0 \cdot 100 = 0$.

Das ergibt Sinn: “Nimm 5 Gruppen mit je 0 Dingen.” Du hast nichts. Oder: “Nimm 0 Gruppen.” Es gibt gar keine Gruppe, also auch nichts. Das Ergebnis ist immer $0$.

Achtung

Mal Eins ändert nichts: Wenn du eine Zahl mit $1$ multiplizierst, bleibt sie gleich.

$7 \cdot 1 = 7$ und $1 \cdot 15 = 15$.

Du nimmst die Zahl genau 1 Mal – sie verändert sich nicht. Genauso: $8 : 1 = 8$. Du teilst 8 Dinge auf 1 Gruppe auf. Alle 8 Dinge sind in dieser einen Gruppe.

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Beispiel:

Beispiel 3: Beide Rechenarten zusammen

Für einen Schulausflug werden Äpfel eingekauft. Es sind 5 Tüten mit je 4 Äpfeln. Diese Äpfel sollen an 10 Kinder verteilt werden. Wie viele Äpfel bekommt jedes Kind?

Lösung:

Diese Aufgabe hat zwei Schritte.

Schritt 1: Wie viele Äpfel sind es insgesamt?

Du hast 5 Tüten, in jeder sind 4 Äpfel:

$5 \cdot 4 = 20 \text{ Äpfel}$

Schritt 2: Die 20 Äpfel werden auf 10 Kinder aufgeteilt:

$20 : 10 = 2$

Jedes Kind bekommt 2 Äpfel.

Probe: $10 \cdot 2 = 20$ ✓

Das passt! Immer wenn du zwei Schritte rechnest, lohnt es sich, am Ende zu prüfen.

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Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Eine Aufgabe aus dem Alltag

Du kaufst Sticker für dein Album. Ein Päckchen kostet 3 Franken und enthält 8 Sticker. Du hast 15 Franken gespart. Wie viele Päckchen kannst du kaufen, und wie viele Sticker bekommst du insgesamt?

Lösung:

Schritt 1: Wie viele Päckchen kannst du für 15 Franken kaufen?

$15 : 3 = 5 \text{ Päckchen}$

Schritt 2: Wie viele Sticker sind das insgesamt?

$5 \cdot 8 = 40 \text{ Sticker}$

Du kannst 5 Päckchen kaufen und bekommst 40 Sticker insgesamt.

Probe für Schritt 1: $5 \cdot 3 = 15$ ✓

Probe für Schritt 2: $40 : 5 = 8$ ✓

Beide Proben stimmen. Das zeigt: Wenn du Multiplikation und Division zusammen nutzt, kannst du auch knifflige Alltagsprobleme lösen.

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Vertiefung

Du hast jetzt die Grundlagen gelernt. Jetzt schaust du dir an, wie Multiplikation und Division noch tiefer zusammenhängen – und wie dir das beim Rechnen hilft.

Das Tauschgesetz der Multiplikation

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren egal. Das nennt man das Tauschgesetz (oder Kommutativgesetz):

$4 \cdot 3 = 3 \cdot 4 = 12$

Das ist praktisch! Wenn du $9 \cdot 2$ nicht sofort weisst, kannst du $2 \cdot 9 = 18$ nutzen. Beides ergibt dasselbe.

Die Umkehraufgaben

Multiplikation und Division sind Umkehroperationen. Aus jeder Multiplikationsaufgabe entstehen zwei Divisionsaufgaben:

$5 \cdot 3 = 15 \quad \Rightarrow \quad 15 : 5 = 3 \quad \text{und} \quad 15 : 3 = 5$

Das nennt man eine Aufgabenfamilie. Drei Aufgaben gehören zusammen.

Definition

Eine Aufgabenfamilie besteht aus drei zusammengehörenden Aufgaben:

$a \cdot b = c \quad \Rightarrow \quad c : a = b \quad \text{und} \quad c : b = a$

Beispiel: Die Aufgabenfamilie zu $6 \cdot 4 = 24$:

$24 : 6 = 4 \quad \text{und} \quad 24 : 4 = 6$

Warum Aufgabenfamilien helfen

Wenn du eine Division lösen willst, überlege dir die passende Multiplikation. Statt $\,?$ bei $28 : 4 = \,?$ zu suchen, fragst du dich: “Was muss ich mit 4 multiplizieren, um 28 zu erhalten?” Du weisst: $4 \cdot 7 = 28$. Also ist $28 : 4 = 7$.

Das Einmaleins ist deshalb so wichtig: Es hilft dir nicht nur bei Multiplikationsaufgaben, sondern auch bei allen Divisionsaufgaben!

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Beispiel:

Beispiel 5: Aufgabenfamilien anwenden

Finde alle Aufgaben der Aufgabenfamilie zu $7 \cdot 4$.

Löse dann: $56 : 8 = \,?$

Lösung Teil 1:

Zuerst berechnest du das Produkt:

$7 \cdot 4 = 28$

Die vollständige Aufgabenfamilie lautet:

$7 \cdot 4 = 28 \qquad 4 \cdot 7 = 28$

$28 : 7 = 4 \qquad 28 : 4 = 7$

Lösung Teil 2:

Du suchst: $56 : 8 = \,?$

Überlege: Welche Zahl mal $8$ ergibt $56$?

$8 \cdot 7 = 56 \quad \Rightarrow \quad 56 : 8 = 7$

Das Ergebnis ist $7$.

Probe: $7 \cdot 8 = 56$ ✓

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Übungen

Hier sind 10 Aufgaben für dich. Fange mit den einfachen an. Die späteren Aufgaben sind etwas kniffliger. Löse alle im Heft. Die Lösungen findest du weiter unten.

Aufgabe 1: Berechne: $3 \cdot 4 = \,?$

Aufgabe 2: Berechne: $5 \cdot 6 = \,?$

Aufgabe 3: Berechne: $18 : 3 = \,?$

Aufgabe 4: Berechne: $35 : 7 = \,?$

Aufgabe 5: Ein Bäcker backt täglich 6 Brote. Wie viele Brote bäckt er in 5 Tagen?

Aufgabe 6: 42 Schülerinnen und Schüler werden in 6 gleich grosse Gruppen aufgeteilt. Wie viele Kinder sind in jeder Gruppe?

Aufgabe 7: Schreibe die vollständige Aufgabenfamilie zu $8 \cdot 5$.

Aufgabe 8: Vera hat 4 Schachteln mit je 9 Buntstiften. Sie gibt 12 Stifte an ihre Freundin ab. Wie viele Stifte hat Vera noch?

Aufgabe 9: Ein Zug hat 7 Waggons. In jedem Waggon sitzen 8 Personen. Am nächsten Bahnhof steigen $\dfrac{1}{2}$ aller Personen aus. Wie viele Personen sind noch im Zug?

Aufgabe 10: Leon kauft 3 Pakete Kaugummis. Jedes Paket enthält 8 Stück. Er teilt alle Kaugummis gleichmässig an sich und 5 Freunde auf. Wie viele Kaugummis bekommt jede Person?

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Das Wichtigste in Kürze

Hier sind die wichtigsten Punkte aus diesem Artikel:

• Multiplikation ist eine Abkürzung für das wiederholte Addieren. $4 \cdot 3$ bedeutet: “Addiere die 3 genau 4-mal.”
• Die Zahlen bei der Multiplikation heissen Faktoren, das Ergebnis heisst Produkt.
• Division ist das Aufteilen einer Menge in gleich grosse Gruppen. $12 : 4$ bedeutet: “Teile 12 auf 4 Gruppen auf.”
• Die Zahl, die geteilt wird, heisst Dividend, die Zahl, durch die geteilt wird, Divisor, das Ergebnis Quotient.
• Bei der Multiplikation gilt das Tauschgesetz: $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4$.
• Multiplikation und Division bilden Aufgabenfamilien. Mit der Multiplikation kannst du jede Division überprüfen.
• Durch Null teilen ist verboten. Mit Null multiplizieren ergibt immer Null.

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❓ Frage: Rechne im Kopf: $7 \cdot 3 = \,?$

Lösung anzeigen

$7 \cdot 3 = 21$ Denkweg: $7 + 7 + 7 = 21$, oder aus dem Einmaleins: $7 \cdot 3 = 21$.

❓ Frage: Wie viel ist $36 : 6$?

Lösung anzeigen

$36 : 6 = 6$ Denkweg: “Was mal $6$ ergibt $36$?” Es gilt $6 \cdot 6 = 36$. Also ist $36 : 6 = 6$.

❓ Frage: Du hast 5 Päckchen mit je 8 Stickern. Dann verschenkst du die Hälfte aller Sticker. Wie viele behältst du?

Lösung anzeigen

Schritt 1: $5 \cdot 8 = 40$ Sticker insgesamt. Schritt 2: Die Hälfte behalten: $40 : 2 = 20$. Du behältst 20 Sticker.

❓ Frage: Welche zwei Divisionsaufgaben gehören zur Multiplikation $9 \cdot 3 = 27$?

Lösung anzeigen

Die Aufgabenfamilie zu $9 \cdot 3 = 27$ enthält: $27 : 9 = 3$ und $27 : 3 = 9$. Diese drei Aufgaben gehören immer zusammen.

❓ Frage: Ein Karton enthält 6 Reihen mit je 4 Orangen. Wie viele Orangen sind im Karton?

Lösung anzeigen

$6 \cdot 4 = 24$ Im Karton sind 24 Orangen. Probe: $4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24$ ✓

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Ausblick

Du hast jetzt die Grundlagen der Multiplikation und Division gemeistert. Damit bist du gut vorbereitet für das nächste Thema: das vollständige Kleine Einmaleins bis $10 \cdot 10$. Dort lernst du alle Einmaleins-Reihen auswendig.

Später in der 3. und 4. Klasse lernst du, wie du auch grössere Zahlen multiplizierst und dividierst – zum Beispiel $24 \cdot 3$ oder $96 : 4$. Alles, was du jetzt lernst, ist die Grundlage dafür. Wer das Kleine Einmaleins sicher kann, hat es viel leichter!

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Lösungen

Hier findest du die ausführlichen Lösungswege für alle 10 Übungsaufgaben.

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Lösung zu Aufgabe 1

Berechne: $3 \cdot 4 = \,?$

Du nimmst die 4 genau 3-mal:

$4 + 4 + 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 4 = 12$

Ergebnis: 12

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Lösung zu Aufgabe 2

Berechne: $5 \cdot 6 = \,?$

Du nimmst die 6 genau 5-mal:

$6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot 6 = 30$

Ergebnis: 30

Probe mit Tauschgesetz: $6 \cdot 5 = 30$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 3

Berechne: $18 : 3 = \,?$

Du fragst dich: “Was mal $3$ ergibt $18$?”

$3 \cdot 6 = 18 \quad \Rightarrow \quad 18 : 3 = 6$

Ergebnis: 6

Probe: $6 \cdot 3 = 18$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 4

Berechne: $35 : 7 = \,?$

Du fragst dich: “Was mal $7$ ergibt $35$?”

$7 \cdot 5 = 35 \quad \Rightarrow \quad 35 : 7 = 5$

Ergebnis: 5

Probe: $5 \cdot 7 = 35$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 5

Ein Bäcker backt täglich 6 Brote. Wie viele Brote bäckt er in 5 Tagen?

Du hast 5 Tage, an jedem Tag 6 Brote. Das sind 5 Gruppen mit je 6 Dingen:

$5 \cdot 6 = 30$

Ergebnis: Der Bäcker bäckt in 5 Tagen 30 Brote.

Probe durch Addition: $6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 6

42 Schülerinnen und Schüler werden in 6 gleich grosse Gruppen aufgeteilt. Wie viele Kinder sind in jeder Gruppe?

Du teilst 42 Kinder auf 6 Gruppen auf:

$42 : 6 = 7$

Denkweg: “Was mal $6$ ergibt $42$?” Es gilt $6 \cdot 7 = 42$.

Ergebnis: In jeder Gruppe sind 7 Kinder.

Probe: $6 \cdot 7 = 42$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 7

Schreibe die vollständige Aufgabenfamilie zu $8 \cdot 5$.

Zuerst das Produkt berechnen:

$8 \cdot 5 = 40$

Die vollständige Aufgabenfamilie:

$8 \cdot 5 = 40 \qquad 5 \cdot 8 = 40$

$40 : 8 = 5 \qquad 40 : 5 = 8$

Ergebnis: 4 Aufgaben gehören zur Familie von $8 \cdot 5 = 40$.

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Lösung zu Aufgabe 8

Vera hat 4 Schachteln mit je 9 Buntstiften. Sie gibt 12 Stifte an ihre Freundin ab. Wie viele Stifte hat Vera noch?

Schritt 1: Wie viele Stifte hat Vera zuerst?

$4 \cdot 9 = 36 \text{ Stifte}$

Schritt 2: Sie gibt 12 Stifte ab:

$36 - 12 = 24 \text{ Stifte}$

Ergebnis: Vera hat noch 24 Stifte.

Probe für Schritt 1: $9 + 9 + 9 + 9 = 36$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 9

Ein Zug hat 7 Waggons. In jedem Waggon sitzen 8 Personen. Am nächsten Bahnhof steigt die Hälfte aller Personen aus. Wie viele Personen sind noch im Zug?

Schritt 1: Wie viele Personen sind insgesamt im Zug?

$7 \cdot 8 = 56 \text{ Personen}$

Schritt 2: Die Hälfte steigt aus. Das bedeutet, die andere Hälfte bleibt:

$56 : 2 = 28 \text{ Personen}$

Ergebnis: Nach dem Bahnhof sind noch 28 Personen im Zug.

Probe: $28 + 28 = 56$ ✓ (Die eine Hälfte bleibt, die andere steigt aus, zusammen alle 56.)

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Lösung zu Aufgabe 10

Leon kauft 3 Pakete Kaugummis. Jedes Paket enthält 8 Stück. Er teilt alle Kaugummis gleichmässig an sich und 5 Freunde auf. Wie viele Kaugummis bekommt jede Person?

Wichtig: Leon und 5 Freunde sind zusammen 6 Personen.

Schritt 1: Wie viele Kaugummis hat Leon insgesamt?

$3 \cdot 8 = 24 \text{ Kaugummis}$

Schritt 2: Aufteilen auf 6 Personen (Leon + 5 Freunde):

$24 : 6 = 4 \text{ Kaugummis pro Person}$

Ergebnis: Jede Person bekommt 4 Kaugummis.

Probe: $6 \cdot 4 = 24$ ✓