Körperschnitte verstehen: Schnittflächen von Würfel, Quader und Zylinder einfach erklärt

Stell Dir vor, Du schneidest eine Wurst. Je nachdem, wie Du das Messer ansetzt, entstehen unterschiedliche Formen: gerade Scheiben, schräge Ovale oder sogar längliche Streifen. Genau so funktioniert es bei geometrischen Körpern. Wenn Du einen Würfel, Quader oder Zylinder durchschneidest, entstehen verschiedene Schnittflächen. Im Alltag begegnet Dir dieses Prinzip ständig: beim Aufschneiden von Lebensmitteln, beim Sägen von Holz oder beim Betrachten von Architekturmodellen. Aber was genau passiert mathematisch? Welche Formen sind möglich? Das schauen wir uns jetzt an.

Eine kleine Zeitreise: Die Geschichte von Körperschnitten

Die Beschäftigung mit Körperschnitten reicht zurück bis in die Antike. Bereits die alten Griechen interessierten sich dafür, welche Formen entstehen, wenn man dreidimensionale Objekte durchschneidet. Sie entdeckten dabei faszinierende Zusammenhänge zwischen Geometrie und Raum.

Ein wichtiger Meilenstein war die Arbeit von Apollonios von Perge (etwa 262-190 v. Chr.). Er untersuchte systematisch, was passiert, wenn man Kegel mit verschiedenen Ebenen schneidet. Seine Erkenntnisse führten zur Entdeckung der Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Diese Kurven spielen heute in der Physik und Astronomie eine zentrale Rolle.

Im 17. Jahrhundert revolutionierte René Descartes die Geometrie. Er entwickelte die analytische Geometrie und ermöglichte es, geometrische Formen durch Gleichungen zu beschreiben. Plötzlich konnte man Schnittflächen nicht nur zeichnen, sondern auch berechnen. Das war ein Durchbruch für die gesamte Mathematik.

Leonhard Euler (1707-1783) untersuchte später systematisch die Eigenschaften von Polyedern und deren Schnittflächen. Seine berühmte Polyederformel verbindet Ecken, Kanten und Flächen auf elegante Weise. Diese Formel hilft uns heute noch, komplexe Körper und ihre Schnitte zu verstehen.

In der modernen Mathematik sind Körperschnitte unverzichtbar. Die Computertomographie in der Medizin basiert auf genau diesem Prinzip: Ein Körper wird in viele dünne Schichten zerlegt, die dann zu einem dreidimensionalen Bild zusammengesetzt werden. Auch in der Architektur, im Maschinenbau und in der Computergrafik spielen Schnittflächen eine zentrale Rolle.

Die Grundlagen von Körperschnitten

Ein Körperschnitt entsteht, wenn eine Ebene einen dreidimensionalen Körper durchdringt. Die Schnittfläche ist die Fläche, die dabei sichtbar wird. Stell Dir vor, Du schneidest einen Apfel durch: Die freiliegende Innenseite ist die Schnittfläche.

Definition Körperschnitt: Ein Körperschnitt ist die Fläche, die entsteht, wenn eine Ebene einen dreidimensionalen Körper durchschneidet. Die Form dieser Fläche hängt davon ab, wie die Schnittebene zum Körper liegt.

Drei Faktoren bestimmen die Form der Schnittfläche: erstens der Körper selbst (Würfel, Quader, Zylinder), zweitens die Richtung der Schnittebene und drittens die Position der Schnittebene im Körper.

Bei einem Würfel mit gleich langen Kanten können verschiedene Schnittflächen entstehen. Ein horizontaler Schnitt parallel zur Grundfläche ergibt ein Quadrat. Ein schräger Schnitt kann ein Rechteck, ein Fünfeck oder sogar ein regelmässiges Sechseck erzeugen.

Ein Quader hat unterschiedlich lange Kanten. Parallele Schnitte zu den Seitenflächen ergeben Rechtecke. Die Grösse dieser Rechtecke variiert je nach Position der Schnittebene. Schräge Schnitte können auch hier Vielecke mit unterschiedlich vielen Ecken erzeugen.

Der Zylinder ist ein runder Körper mit kreisförmiger Grundfläche. Ein Schnitt parallel zur Grundfläche ergibt immer einen Kreis. Ein Schnitt parallel zur Achse ergibt ein Rechteck. Ein schräger Schnitt erzeugt eine Ellipse – eine gestreckte Kreisform.

Die Schnittfläche ist immer eine zweidimensionale Fläche, auch wenn sie in einem dreidimensionalen Raum liegt. Du kannst ihre Fläche berechnen und ihre Form genau beschreiben.

Die Kernmethode für Körperschnitte: Systematisches Vorgehen beim Analysieren von Schnittflächen

Um Körperschnitte zu verstehen und zu analysieren, brauchst Du eine klare Methode. Diese Schritt-für-Schritt-Anleitung hilft Dir, systematisch vorzugehen:

Schritt 1: Identifiziere den Körper Bestimme zuerst, welchen Körper Du vor Dir hast. Ist es ein Würfel, Quader oder Zylinder? Notiere die wichtigsten Masse: Kantenlängen beim Würfel und Quader, Radius und Höhe beim Zylinder.

Schritt 2: Analysiere die Schnittebene Untersuche, wie die Schnittebene zum Körper liegt. Ist sie parallel zu einer Grund- oder Seitenfläche? Oder verläuft sie schräg? Die Richtung der Schnittebene bestimmt die Form der Schnittfläche.

Schritt 3: Bestimme die Schnittfläche Überlege, welche Form entsteht. Bei parallelen Schnitten erhältst Du meist die gleiche Form wie die Grund- oder Seitenfläche. Bei schrägen Schnitten entstehen komplexere Formen. Zeichne eine Skizze, um die Situation zu visualisieren.

Schritt 4: Berechne relevante Grössen Ermittle die Abmessungen der Schnittfläche. Bei einem Rechteck brauchst Du Länge und Breite. Bei einem Kreis den Radius. Nutze geometrische Zusammenhänge und den Satz des Pythagoras, wenn nötig.

Schritt 5: Berechne die Fläche Wende die passende Flächenformel an. Für Rechtecke gilt $A = a \cdot b$, für Kreise $A = \pi r^2$. Achte auf die richtigen Einheiten und runde sinnvoll.

Tipp: Fertige immer eine Skizze an. Sie hilft Dir, räumliche Zusammenhänge zu erkennen. Markiere bekannte Masse farbig und beschrifte alle wichtigen Punkte.

Definition: Das Grundprinzip von Körperschnitten Die Form der Schnittfläche hängt von der Orientierung der Schnittebene ab. Parallele Schnitte erzeugen Flächen, die der Grund- oder Seitenfläche ähneln. Schräge Schnitte erzeugen neue Formen. Die Fläche $A$ der Schnittfläche berechnest Du mit der passenden Flächenformel, wobei die Abmessungen aus der räumlichen Geometrie folgen.

Beispiel 1: Horizontaler Schnitt durch einen Würfel

Aufgabe: Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 4$ cm. Du schneidest ihn horizontal in halber Höhe durch. Welche Form entsteht und wie gross ist die Schnittfläche?

Lösungsweg: Zuerst identifiziere ich den Körper: Es ist ein Würfel mit Kantenlänge $a = 4$ cm.

Die Schnittebene verläuft horizontal und parallel zur Grundfläche. Sie liegt genau in der Mitte des Würfels.

Da die Schnittebene parallel zur quadratischen Grundfläche verläuft, entsteht als Schnittfläche ein Quadrat. Dieses Quadrat hat die gleiche Seitenlänge wie die Grundfläche, nämlich $a = 4$ cm.

Ich berechne die Fläche des Quadrats:

$$\begin{align*} A &= a \cdot a \\ &= 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \\ &= 16 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit einer Fläche von $16$ cm².

Erkenntnis: Bei einem horizontalen Schnitt parallel zur Grundfläche entsteht immer ein Quadrat mit der gleichen Seitenlänge wie der Würfel.

Beispiel 2: Schräger Schnitt durch einen Quader

Aufgabe: Ein Quader hat die Masse $a = 6$ cm, $b = 4$ cm und Höhe $h = 3$ cm. Du schneidest ihn mit einer vertikalen Ebene, die durch die Mitte der Grundfläche verläuft und parallel zur Seite $b$ ist. Bestimme Form und Fläche der Schnittfläche.

Lösungsweg: Der Körper ist ein Quader mit den Abmessungen $a = 6$ cm, $b = 4$ cm und $h = 3$ cm.

Die Schnittebene verläuft vertikal durch die Mitte der Grundfläche und parallel zur Seite $b$. Sie ist senkrecht zur Grundfläche und parallel zur Höhe.

Da die Schnittebene parallel zur Seite $b$ und zur Höhe $h$ verläuft, entsteht ein Rechteck. Die beiden Seitenlängen dieses Rechtecks sind $b = 4$ cm (Breite des Quaders) und $h = 3$ cm (Höhe des Quaders).

Ich berechne die Fläche:

$$\begin{align*} A &= b \cdot h \\ &= 4 \text{ cm} \cdot 3 \text{ cm} \\ &= 12 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit einer Fläche von $12$ cm².

Unterschied zu Beispiel 1: Hier entsteht kein Quadrat, sondern ein Rechteck. Die Schnittebene verläuft nicht horizontal, sondern vertikal. Die Abmessungen der Schnittfläche entsprechen zwei verschiedenen Kanten des Quaders ($b$ und $h$), nicht einer einzigen Kantenlänge wie beim Würfel.

Die häufigsten Stolpersteine: Was passiert, wenn man Würfel, Quader oder Zylinder durchschneidet?

Alles klar — hier ist der Text so formatiert, dass jede Zeile mit > beginnt (reines Markdown-Blockzitat):

⚠️ Achtung: Verwechslung von Schnittfläche und Seitenfläche

Viele Schüler verwechseln die Schnittfläche mit einer vorhandenen Seitenfläche des Körpers. Die Schnittfläche ist jedoch eine neue Fläche, die erst durch den Schnitt entsteht. Sie muss nicht identisch mit einer Seitenfläche sein.

Beispiel: Bei einem Würfel mit Kantenlänge 5 cm wird diagonal durch zwei gegenüberliegende Kanten geschnitten. Viele denken, die Schnittfläche sei ein Quadrat mit Fläche 25 cm².

Tatsächlich entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen – 5 cm – $5\sqrt{2}$ cm (Diagonale der Würfelseite).

Die korrekte Fläche ist: $A = 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \approx 35{,}36\ \text{cm}^2$

Tipp: Zeichne immer eine Skizze und markiere die Schnittebene farbig. Prüfe, ob die Schnittfläche wirklich mit einer Seitenfläche übereinstimmt oder eine neue Form bildet.

⚠️ Achtung: Falsche Annahmen bei schrägen Schnitten

Bei schrägen Schnitten nehmen viele Schüler an, dass die Schnittfläche die gleiche Form wie bei parallelen Schnitten hat. Das stimmt nicht. Ein schräger Schnitt durch einen Zylinder erzeugt keine kreisförmige Fläche, sondern eine Ellipse.

Beispiel: Ein Zylinder mit Radius $r = 3$ cm wird schräg geschnitten. Ein Schüler berechnet die Schnittfläche als $A = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ cm². Das wäre nur bei einem horizontalen Schnitt korrekt.

Bei einem schrägen Schnitt ist die Ellipse gestreckt und die Fläche grösser. Wenn die Schnittebene um 30° geneigt ist, musst Du den Streckungsfaktor $\frac{1}{\cos(30°)}$ berücksichtigen.

Tipp: Prüfe immer die Orientierung der Schnittebene. Überlege, ob die Fläche verzerrt wird. Nutze geometrische Zusammenhänge wie den Satz des Pythagoras oder Winkelfunktionen.

⚠️ Achtung: Verwechslung von Radius und Durchmesser beim Zylinder

Beim Zylinder verwechseln Schüler oft Radius und Durchmesser. Das führt zu einem Fehler um den Faktor 4 bei der Flächenberechnung.

Beispiel: Ein Zylinder hat den Durchmesser $d = 8$ cm. Ein Schüler berechnet die Schnittfläche bei einem horizontalen Schnitt als $A = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ cm². Das ist falsch. Der Radius ist $r = \frac{d}{2} = 4$ cm. Die korrekte Fläche ist $A = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ cm².

Tipp: Markiere in deiner Skizze deutlich, ob eine Angabe Radius oder Durchmesser ist. Schreibe $r$ für Radius und $d$ für Durchmesser. Rechne vor der Flächenberechnung immer von Durchmesser in Radius um: $r = \frac{d}{2}$.

Beispiel 3: Komplexere Aufgabe

Aufgabe: Ein Würfel mit Kantenlänge $a = 6$ cm wird diagonal durch zwei gegenüberliegende Kanten geschnitten. Die Schnittebene verläuft von der unteren vorderen Kante zur oberen hinteren Kante. Bestimme die Form und die Fläche der Schnittfläche.

Lösungsweg: Ich identifiziere den Körper: Ein Würfel mit Kantenlänge $a = 6$ cm.

Die Schnittebene verläuft diagonal durch den Würfel. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Kanten, die nicht auf derselben Seite liegen. Ich fertige eine Skizze an und markiere die Schnittkanten.

Um die Form zu bestimmen, überlege ich, welche Kanten die Schnittebene schneidet. Die Ebene schneidet durch vier Kanten des Würfels. Diese vier Schnittpunkte bilden die Ecken der Schnittfläche. Da der Würfel symmetrisch ist und die Schnittebene diagonal verläuft, entsteht ein Rechteck.

Jetzt bestimme ich die Abmessungen des Rechtecks. Die eine Seite des Rechtecks entspricht der Kantenlänge des Würfels: $b_1 = 6$ cm.

Die andere Seite ist die Diagonale einer Würfelseite. Mit dem Satz des Pythagoras berechne ich diese Diagonale:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{a^2 + a^2} \\ &= \sqrt{6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{36 + 36} \\ &= \sqrt{72} \\ &= 6\sqrt{2} \text{ cm} \end{align*}$$

Das Rechteck hat also die Seitenlängen $b_1 = 6$ cm und $b_2 = 6\sqrt{2}$ cm.

Ich berechne die Fläche:

$$\begin{align*} A &= b_1 \cdot b_2 \\ &= 6 \text{ cm} \cdot 6\sqrt{2} \text{ cm} \\ &= 36\sqrt{2} \text{ cm}^2 \\ &\approx 50{,}91 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit einer Fläche von $36\sqrt{2}$ cm² oder etwa $50{,}91$ cm².

Erkenntnis: Ein diagonaler Schnitt durch einen Würfel erzeugt ein Rechteck. Eine Seite entspricht der Kantenlänge, die andere Seite ist die Diagonale einer Würfelseite. Die Fläche ist grösser als die einer Würfelseite.

Beispiel 4: Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe: Ein zylindrisches Brot hat einen Durchmesser von $d = 10$ cm und eine Länge von $l = 30$ cm. Du schneidest es schräg an, sodass die Schnittebene einen Winkel von 60° zur Grundfläche bildet. Bestimme die Fläche der Schnittfläche, die mit Butter bestrichen werden kann.

Lösungsweg: Ich übersetze die Situation in mathematische Begriffe. Das Brot ist ein Zylinder mit Durchmesser $d = 10$ cm (also Radius $r = 5$ cm) und Länge $l = 30$ cm. Die Schnittebene bildet einen Winkel von 60° zur horizontalen Grundfläche.

Bei einem horizontalen Schnitt wäre die Schnittfläche ein Kreis mit Radius $r = 5$ cm und Fläche:

$$A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2$$

Durch den schrägen Schnitt entsteht jedoch eine Ellipse. Die Ellipse ist eine gestreckte Version des Kreises. Der Streckungsfaktor hängt vom Schnittwinkel ab.

Der Winkel zur Grundfläche beträgt 60°. Die Schnittebene ist also um 30° gegenüber der Senkrechten geneigt (da $90° - 60° = 30°$).

Die kleine Halbachse der Ellipse entspricht dem Radius des Zylinders: $b = r = 5$ cm.

Die grosse Halbachse berechne ich mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{\cos(30°)}$:

$$\begin{align*} a &= \frac{r}{\cos(30°)} \\ &= \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{10}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \end{align*}$$

Die Fläche der Ellipse berechne ich mit der Formel $A = \pi \cdot a \cdot b$:

$$\begin{align*} A &= \pi \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot 5 \\ &= \pi \cdot \frac{50\sqrt{3}}{3} \\ &= \frac{50\sqrt{3}\pi}{3} \text{ cm}^2 \\ &\approx 90{,}69 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche, die mit Butter bestrichen werden kann, beträgt etwa $90{,}69$ cm².

Erkenntnis: Ein schräger Schnitt durch einen Zylinder erzeugt eine grössere Fläche als ein horizontaler Schnitt. Je schräger der Schnitt, desto grösser die Schnittfläche.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 5$ cm. Du schneidest ihn horizontal in der Mitte durch. Welche Form entsteht und wie gross ist die Schnittfläche?

Aufgabe 2: Ein Quader hat die Masse $a = 8$ cm, $b = 6$ cm und Höhe $h = 4$ cm. Du schneidest ihn mit einer vertikalen Ebene parallel zur Seite $a$. Bestimme die Fläche der Schnittfläche.

Aufgabe 3: Ein Zylinder hat einen Durchmesser von $d = 12$ cm. Du schneidest ihn horizontal durch. Berechne die Fläche der Schnittfläche. (Nutze $\pi \approx 3{,}14$)

Aufgabe 4: Ein Würfel mit Kantenlänge $a = 8$ cm wird diagonal durch zwei gegenüberliegende Kanten geschnitten. Berechne die Fläche der entstehenden rechteckigen Schnittfläche.

Aufgabe 5: Ein Quader hat die Abmessungen $a = 10$ cm, $b = 6$ cm und $h = 8$ cm. Eine Schnittebene verläuft diagonal von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke durch die Höhe und die Seite $a$. Bestimme die Länge der Diagonale, die als eine Seite der Schnittfläche entsteht.

Aufgabe 6: Ein zylindrisches Glas hat einen Radius von $r = 4$ cm und eine Höhe von $h = 12$ cm. Du kippst es um 45° und schneidest es horizontal ab. Die Schnittfläche ist eine Ellipse. Berechne die Fläche dieser Ellipse.

Aufgabe 7: Ein Käsestück hat die Form eines Quaders mit den Massen $a = 15$ cm, $b = 10$ cm und $h = 8$ cm. Du schneidest es diagonal von der linken unteren vorderen Ecke zur rechten oberen hinteren Ecke. Die Schnittfläche ist ein Rechteck. Berechne die Fläche dieser Schnittfläche.

Aufgabe 8: Ein Baumstamm hat die Form eines Zylinders mit Durchmesser $d = 40$ cm und Länge $l = 2$ m. Ein Holzfäller sägt den Stamm schräg an, sodass die Schnittebene einen Winkel von 75° zur Grundfläche bildet. Berechne die Fläche der Schnittfläche in cm². (Nutze $\cos(15°) \approx 0{,}966$ und $\pi \approx 3{,}14$)

Das Wichtigste in Kürze

Körperschnitte erzeugen zweidimensionale Flächen: Wenn Du einen dreidimensionalen Körper mit einer Ebene durchschneidest, entsteht eine Schnittfläche. Diese Fläche ist zweidimensional und liegt in der Schnittebene. Die Form dieser Fläche hängt davon ab, wie die Ebene zum Körper orientiert ist.

Parallele Schnitte ergeben vertraute Formen: Ein horizontaler Schnitt durch einen Würfel ergibt ein Quadrat. Ein Schnitt parallel zur Grundfläche eines Zylinders ergibt einen Kreis. Bei Quadern entstehen Rechtecke. Diese Formen entsprechen den Grund- oder Seitenflächen des Körpers.

Schräge Schnitte erzeugen neue Formen: Ein diagonaler Schnitt durch einen Würfel kann ein Rechteck oder ein Vieleck erzeugen. Ein schräger Schnitt durch einen Zylinder erzeugt eine Ellipse. Je schräger der Schnitt, desto stärker weicht die Form vom ursprünglichen Grundriss ab.

Die Berechnung folgt festen Formeln: Für Rechtecke nutzt Du $A = a \cdot b$, für Kreise $A = \pi r^2$ und für Ellipsen $A = \pi \cdot a \cdot b$. Bei schrägen Schnitten musst Du oft den Satz des Pythagoras oder Winkelfunktionen einsetzen, um die Abmessungen zu bestimmen.

Körperschnitte haben praktische Bedeutung: Im Alltag begegnest Du Körperschnitten beim Schneiden von Lebensmitteln, beim Sägen von Holz oder in der Medizin bei der Computertomographie. Das Verständnis von Schnittflächen hilft Dir, räumliche Situationen besser zu erfassen und zu berechnen.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Ein Würfel wird horizontal durch die Mitte geschnitten. Welche Form hat die Schnittfläche?

Die Schnittfläche ist ein Quadrat. Da die Schnittebene parallel zur Grundfläche verläuft und der Würfel alle Kanten gleich lang hat, entsteht ein Quadrat mit der gleichen Seitenlänge wie die Kantenlänge des Würfels. Die Fläche beträgt $A = a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge ist.

Frage 2: Ein Zylinder mit Radius 6 cm wird schräg geschnitten. Die Schnittebene bildet einen Winkel von 60° zur Grundfläche. Ist die Schnittfläche grösser oder kleiner als die Grundfläche?

Die Schnittfläche ist grösser als die Grundfläche. Bei einem horizontalen Schnitt wäre die Fläche $A = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ cm². Durch den schrägen Schnitt entsteht eine Ellipse, die gestreckt ist. Der Streckungsfaktor ist $\frac{1}{\cos(30°)} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15$. Die Schnittfläche ist also etwa 15% grösser als die Grundfläche.

Frage 3: Ein Quader hat die Masse 12 cm × 8 cm × 5 cm. Du schneidest ihn diagonal von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke. Welche Form hat die Schnittfläche?

Die Schnittfläche ist ein Rechteck. Die beiden Seiten des Rechtecks sind die Diagonale der Grundfläche und die Höhe des Quaders. Die Diagonale der Grundfläche berechnest Du mit dem Satz des Pythagoras: $d = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} \approx 14{,}42$ cm. Das Rechteck hat also die Abmessungen 14,42 cm × 5 cm.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Nachdem Du jetzt verstanden hast, wie Körperschnitte entstehen und welche Formen dabei auftreten, ist der nächste logische Schritt das Thema Volumen und Oberfläche von Körpern. Du wirst lernen, wie Du das Volumen von Würfeln, Quadern und Zylindern berechnest. Dabei nutzt Du Dein Wissen über Schnittflächen: Das Volumen eines Körpers kannst Du Dir als Summe unendlich vieler, unendlich dünner Schnittflächen vorstellen. Diese Vorstellung hilft Dir, die Volumenformeln zu verstehen und anzuwenden. Ausserdem wirst Du die Oberfläche berechnen – also die Summe aller Seitenflächen. Dein Verständnis von Körperschnitten bildet die Grundlage für diese neuen Konzepte.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1: Der Würfel hat die Kantenlänge $a = 5$ cm. Ein horizontaler Schnitt parallel zur Grundfläche erzeugt eine quadratische Schnittfläche.

Die Seitenlänge des Quadrats entspricht der Kantenlänge des Würfels: $a = 5$ cm.

Ich berechne die Fläche:

$$\begin{align*} A &= a \cdot a \\ &= 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \\ &= 25 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit einer Fläche von $25$ cm².

Lösung zu Aufgabe 2: Der Quader hat die Abmessungen $a = 8$ cm, $b = 6$ cm und $h = 4$ cm. Die Schnittebene verläuft vertikal und parallel zur Seite $a$.

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $a = 8$ cm und $h = 4$ cm.

Ich berechne die Fläche:

$$\begin{align*} A &= a \cdot h \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \\ &= 32 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Fläche der Schnittfläche beträgt $32$ cm².

Lösung zu Aufgabe 3: Der Zylinder hat einen Durchmesser von $d = 12$ cm. Der Radius ist $r = \frac{d}{2} = 6$ cm.

Ein horizontaler Schnitt erzeugt eine kreisförmige Schnittfläche.

Ich berechne die Fläche mit der Kreisformel:

$$\begin{align*} A &= \pi r^2 \\ &= 3{,}14 \cdot 6^2 \\ &= 3{,}14 \cdot 36 \\ &= 113{,}04 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Schnittfläche beträgt etwa $113{,}04$ cm².

Lösung zu Aufgabe 4: Der Würfel hat die Kantenlänge $a = 8$ cm. Ein diagonaler Schnitt durch zwei gegenüberliegende Kanten erzeugt ein Rechteck.

Die eine Seite des Rechtecks entspricht der Kantenlänge: $b_1 = 8$ cm.

Die andere Seite ist die Diagonale einer Würfelseite. Ich berechne sie mit dem Satz des Pythagoras:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{a^2 + a^2} \\ &= \sqrt{8^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{64 + 64} \\ &= \sqrt{128} \\ &= 8\sqrt{2} \text{ cm} \end{align*}$$

Jetzt berechne ich die Fläche des Rechtecks:

$$\begin{align*} A &= b_1 \cdot d \\ &= 8 \text{ cm} \cdot 8\sqrt{2} \text{ cm} \\ &= 64\sqrt{2} \text{ cm}^2 \\ &\approx 90{,}51 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Fläche der Schnittfläche beträgt $64\sqrt{2}$ cm² oder etwa $90{,}51$ cm².

Lösung zu Aufgabe 5: Der Quader hat die Abmessungen $a = 10$ cm, $b = 6$ cm und $h = 8$ cm.

Die Schnittebene verläuft diagonal durch die Höhe $h$ und die Seite $a$. Die gesuchte Diagonale verbindet eine untere Ecke mit der gegenüberliegenden oberen Ecke in dieser Ebene.

Ich nutze den Satz des Pythagoras in der Ebene, die von $a$ und $h$ aufgespannt wird:

$$\begin{align*} d &= \sqrt{a^2 + h^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{100 + 64} \\ &= \sqrt{164} \\ &= 2\sqrt{41} \text{ cm} \\ &\approx 12{,}81 \text{ cm} \end{align*}$$

Die Länge der Diagonale beträgt $2\sqrt{41}$ cm oder etwa $12{,}81$ cm.

Lösung zu Aufgabe 6: Das Glas hat einen Radius von $r = 4$ cm. Bei einem horizontalen Schnitt ohne Neigung wäre die Schnittfläche ein Kreis mit Fläche:

$$A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2$$

Durch die Neigung um 45° entsteht eine Ellipse. Die kleine Halbachse bleibt $b = r = 4$ cm.

Die grosse Halbachse berechne ich mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{\cos(45°)}$:

$$\begin{align*} a &= \frac{r}{\cos(45°)} \\ &= \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= 4\sqrt{2} \text{ cm} \end{align*}$$

Die Fläche der Ellipse ist:

$$\begin{align*} A &= \pi \cdot a \cdot b \\ &= \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4 \\ &= 16\sqrt{2}\pi \text{ cm}^2 \\ &\approx 71{,}00 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Fläche der Schnittfläche beträgt etwa $71{,}00$ cm².

Lösung zu Aufgabe 7: Der Quader hat die Abmessungen $a = 15$ cm, $b = 10$ cm und $h = 8$ cm.

Die diagonale Schnittebene verläuft von der linken unteren vorderen Ecke zur rechten oberen hinteren Ecke. Die Schnittfläche ist ein Rechteck.

Die eine Seite des Rechtecks ist die Diagonale der Grundfläche:

$$\begin{align*} d_1 &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ &= \sqrt{15^2 + 10^2} \\ &= \sqrt{225 + 100} \\ &= \sqrt{325} \\ &= 5\sqrt{13} \text{ cm} \end{align*}$$

Die andere Seite ist die Höhe des Quaders: $d_2 = h = 8$ cm.

Ich berechne die Fläche:

$$\begin{align*} A &= d_1 \cdot d_2 \\ &= 5\sqrt{13} \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \\ &= 40\sqrt{13} \text{ cm}^2 \\ &\approx 144{,}22 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Fläche der Schnittfläche beträgt $40\sqrt{13}$ cm² oder etwa $144{,}22$ cm².

Lösung zu Aufgabe 8: Der Baumstamm hat einen Durchmesser von $d = 40$ cm, also Radius $r = 20$ cm. Die Länge beträgt $l = 2$ m $= 200$ cm.

Die Schnittebene bildet einen Winkel von 75° zur Grundfläche. Das bedeutet, sie ist um 15° zur Senkrechten geneigt ($90° - 75° = 15°$).

Bei einem horizontalen Schnitt wäre die Fläche ein Kreis:

$$A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 20^2 = 3{,}14 \cdot 400 = 1256 \text{ cm}^2$$

Durch den schrägen Schnitt entsteht eine Ellipse. Die kleine Halbachse ist $b = r = 20$ cm.

Die grosse Halbachse berechne ich mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{\cos(15°)}$:

$$\begin{align*} a &= \frac{r}{\cos(15°)} \\ &= \frac{20}{0{,}966} \\ &\approx 20{,}70 \text{ cm} \end{align*}$$

Die Fläche der Ellipse ist:

$$\begin{align*} A &= \pi \cdot a \cdot b \\ &= 3{,}14 \cdot 20{,}70 \cdot 20 \\ &= 3{,}14 \cdot 414 \\ &\approx 1300 \text{ cm}^2 \end{align*}$$

Die Fläche der Schnittfläche beträgt etwa $1300$ cm².