Körper - Körperschnitte

Stell dir vor, du schneidest einen Apfel in der Mitte durch. Die Schnittfläche zeigt dir das Innere – du siehst das Kerngehäuse als kreisförmigen Bereich. Schneidest du schräg, sieht die Schnittfläche oval aus.

Genauso funktioniert es mit geometrischen Körpern. Je nachdem, wie und wo du schneidest, entstehen unterschiedliche Formen. Diese Schnittflächen verraten viel über den Aufbau eines Körpers.

Was ist ein Körperschnitt?

Wenn eine ebene Fläche durch einen Körper gelegt wird, entsteht eine Schnittfigur. Diese Figur liegt genau dort, wo die Ebene den Körper «durchschneidet». Die Schnittfigur ist immer eine zweidimensionale Form.

DEFINITION

Ein Körperschnitt (oder Querschnitt) ist die Fläche, die entsteht, wenn eine Ebene einen Körper schneidet. Die Form der Schnittfläche hängt ab von:

• Der Art des Körpers
• Der Position der Schnittebene
• Der Richtung der Schnittebene

Die Schnittfläche ist immer eine ebene (flache) Figur.

Schnitte durch verschiedene Körper

Schnitte durch einen Würfel

Ein Würfel kann auf viele Arten geschnitten werden. Die Schnittfigur ist immer ein Vieleck.

Horizontaler Schnitt (parallel zur Grundfläche): Die Schnittfläche ist ein Quadrat. Egal in welcher Höhe du schneidest – es bleibt immer ein gleich grosses Quadrat.

Diagonaler Schnitt durch gegenüberliegende Kanten: Die Schnittfläche ist ein Rechteck. Dieses Rechteck ist grösser als die Seitenflächen des Würfels.

Schnitt durch drei Ecken: Wenn die Ebene durch drei nicht benachbarte Ecken geht, entsteht ein gleichseitiges Dreieck.

Schnitt durch sechs Kanten: Bei einem speziellen Schnitt kann sogar ein regelmässiges Sechseck entstehen.

Schnitte durch einen Quader

Beim Quader entstehen ähnliche Figuren wie beim Würfel. Da die Seitenlängen unterschiedlich sind, variieren die Schnittflächen mehr.

Schnitt parallel zur Grundfläche: Ein Rechteck mit den Massen der Grundfläche.

Schnitt parallel zur Seitenfläche: Ein Rechteck mit anderen Massen.

Diagonaler Schnitt: Rechtecke, Parallelogramme oder sogar Sechsecke sind möglich.

Schnitte durch einen Zylinder

Der Zylinder zeigt besonders interessante Schnittformen.

Schnitt parallel zur Grundfläche: Ein Kreis – gleich gross wie die Grundfläche.

Schnitt senkrecht zur Grundfläche (durch die Mitte): Ein Rechteck. Die Höhe entspricht der Zylinderhöhe, die Breite dem Durchmesser.

Schräger Schnitt: Eine Ellipse (ovale Form). Je schräger der Schnitt, desto länglicher die Ellipse.

Schnitte durch einen Kegel

Schnitt parallel zur Grundfläche: Ein Kreis, aber kleiner als die Grundfläche. Je höher der Schnitt, desto kleiner der Kreis.

Schnitt durch die Spitze, senkrecht zur Grundfläche: Ein gleichschenkliges Dreieck.

Schräger Schnitt: Hier entstehen verschiedene Formen: Ellipse, Parabel oder Hyperbel – je nach Winkel.

Häufiger Fehler: Viele denken, ein schräger Schnitt durch einen Zylinder ergibt einen Kreis. Das stimmt nicht! Ein schräger Schnitt durch einen Zylinder erzeugt immer eine Ellipse. Ein Kreis entsteht nur bei einem Schnitt parallel zur Grundfläche.

Schritt-für-Schritt: Schnittflächen bestimmen

So gehst du vor, wenn du eine Schnittfläche bestimmen sollst:

1. Identifiziere den Körper (Würfel, Quader, Zylinder, etc.)
2. Bestimme die Lage der Schnittebene (horizontal, vertikal, schräg)
3. Überlege: Welche Kanten oder Flächen werden geschnitten?
4. Verbinde die Schnittpunkte zu einer Figur
5. Benenne die entstandene Schnittfigur

Warum sind Körperschnitte wichtig?

Körperschnitte begegnen dir überall. In der Medizin zeigen CT-Bilder Schnitte durch den Körper. Architekten zeichnen Gebäudeschnitte. Beim Kochen siehst du Schnittflächen von Obst und Gemüse.

Das Verstehen von Schnitten hilft dir, räumlich zu denken. Du lernst, dir vorzustellen, wie ein Körper «innen» aussieht.

Beispiel:

Beispiel 1: Horizontaler Schnitt durch einen Würfel

Aufgabe: Ein Würfel mit Kantenlänge $a = 4 \, \text{cm}$ wird parallel zur Grundfläche geschnitten. Welche Form hat die Schnittfläche? Wie gross ist sie?

Lösung: Bei einem horizontalen Schnitt (parallel zur Grundfläche) entsteht ein Quadrat.

Das Quadrat hat dieselben Masse wie die Grundfläche:

• Seitenlänge: $4 \, \text{cm}$
• Fläche: $A = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{cm}^2$

Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit $16 \, \text{cm}^2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Senkrechter Schnitt durch einen Zylinder

Aufgabe: Ein Zylinder hat den Radius $r = 3 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 10 \, \text{cm}$. Er wird senkrecht zur Grundfläche durch die Mitte geschnitten. Beschreibe die Schnittfläche.

Lösung: Ein senkrechter Schnitt durch die Mitte ergibt ein Rechteck.

Die Masse des Rechtecks:

• Breite = Durchmesser = $2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \, \text{cm}$
• Höhe = Zylinderhöhe = $10 \, \text{cm}$

Fläche des Rechtecks: $A = 6 \cdot 10 = 60 \, \text{cm}^2$

Die Schnittfläche ist ein Rechteck mit den Massen $6 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}$.

Beispiel:

Beispiel 3: Schräger Schnitt – Schnittform erkennen

Aufgabe: Emma behauptet: «Wenn ich einen Kegel schräg schneide, aber nicht durch die Spitze, entsteht immer ein Kreis.» Hat sie recht?

Lösung: Emma hat nicht recht.

Ein schräger Schnitt durch einen Kegel (ohne die Spitze zu treffen) erzeugt eine Ellipse – eine ovale Form. Ein Kreis entsteht nur, wenn die Schnittebene parallel zur Grundfläche liegt.

Je schräger der Schnitt, desto länglicher wird die Ellipse. Bei sehr steilem Winkel können sogar Parabeln oder Hyperbeln entstehen.

Schnittfiguren auf einen Blick

Körper	Schnittrichtung	Schnittfigur
Würfel	parallel zur Grundfläche	Quadrat
Würfel	diagonal durch Kanten	Rechteck
Quader	parallel zur Grundfläche	Rechteck
Zylinder	parallel zur Grundfläche	Kreis
Zylinder	senkrecht durch Mitte	Rechteck
Zylinder	schräg	Ellipse
Kegel	parallel zur Grundfläche	Kreis
Kegel	durch die Spitze, senkrecht	Dreieck
Kugel	beliebig	Kreis

Wichtig: Bei einer Kugel ist die Schnittfläche immer ein Kreis – egal wie du schneidest! Der grösste Kreis entsteht, wenn du genau durch den Mittelpunkt schneidest.

❓ Frage: Ein Zylinder wird schräg durchgeschnitten (nicht parallel zur Grundfläche). Welche Form hat die Schnittfläche?

Lösung anzeigen

Die Schnittfläche ist eine Ellipse (ovale Form). Nur bei einem Schnitt parallel zur Grundfläche entsteht ein Kreis.

❓ Frage: Durch welchen Schnitt kann bei einem Würfel ein regelmässiges Sechseck entstehen?

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Ein Sechseck entsteht, wenn die Schnittebene alle sechs Flächen des Würfels schneidet. Die Ebene muss schräg durch den Würfel gelegt werden, sodass sie jede Seitenfläche genau einmal trifft.

❓ Frage: Welche Schnittfigur entsteht, wenn du eine Kugel durchschneidest?

Lösung anzeigen

Bei einer Kugel entsteht immer ein Kreis – unabhängig von der Schnittrichtung. Der grösste Kreis (mit dem Radius der Kugel) entsteht beim Schnitt durch den Mittelpunkt.