Geometrische Körper: Würfel, Quader, Kugel & Zylinder einfach erklärt

Stell Dir vor, Du stehst in einem Supermarkt. Überall siehst Du verschiedene Formen: Milchpackungen als Quader, Getränkedosen als Zylinder, Orangen als Kugeln, Zuckerwürfel als kleine Würfel. Diese Formen begegnen Dir täglich. Sie haben Namen und bestimmte Eigenschaften. Architekten nutzen sie für Gebäude. Designer entwerfen damit Möbel. Ingenieure berechnen damit Volumina. Ohne geometrische Körper könnten wir unsere dreidimensionale Welt nicht beschreiben. Du wirst lernen, diese Körper zu erkennen, zu benennen und zu verstehen. Bald siehst Du Deine Umgebung mit neuen Augen.

Eine kleine Zeitreise: Die Geschichte geometrischer Körper

Die Beschäftigung mit geometrischen Körpern reicht zurück bis in die Antike. Bereits die alten Ägypter kannten die Pyramide als geometrischen Körper. Sie bauten ihre monumentalen Bauwerke nach präzisen geometrischen Plänen. Die Griechen entwickelten die Geometrie weiter. Sie interessierten sich besonders für perfekte Formen.

Platon (427–347 v. Chr.) beschrieb fünf besondere Körper. Diese Platonischen Körper sind vollkommen symmetrisch: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Platon ordnete jedem Körper ein Element zu. Der Würfel stand für die Erde. Das Ikosaeder symbolisierte Wasser. Diese philosophische Sichtweise prägte das Denken über Jahrhunderte.

Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.) ging weiter. Er berechnete exakte Volumina und Oberflächen von Kugeln und Zylindern.
Seine Formel für das Kugelvolumen $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ gilt bis heute. Archimedes war so stolz auf seine Entdeckung, dass auf seinem Grab eine Kugel in einem Zylinder abgebildet wurde. Dieses Symbol zeigte sein wichtigstes mathematisches Ergebnis.

Im Mittelalter nutzte man geometrische Körper für den Bau von Kathedralen. Baumeister verstanden die Statik von Säulen (Zylindern) und Kuppeln (Kugeloberflächen). Die Renaissance brachte neue Erkenntnisse. Künstler wie Leonardo da Vinci zeichneten geometrische Körper perspektivisch korrekt. Sie verstanden, wie dreidimensionale Formen auf flachen Flächen dargestellt werden.

Heute sind geometrische Körper überall. In der Architektur bestimmen sie die Form von Gebäuden. In der Verpackungsindustrie optimieren Ingenieure Quader und Zylinder. Computergrafiken basieren auf geometrischen Körpern. Jedes 3D-Modell besteht aus vielen kleinen Polyedern. Die moderne Mathematik untersucht komplexe mehrdimensionale Körper. Doch die Grundformen bleiben gleich: Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Pyramide und Kegel.

Die Grundlagen geometrischer Körper

Geometrische Körper sind dreidimensionale Objekte. Sie haben Länge, Breite und Höhe. Im Gegensatz zu flachen Figuren (wie Quadrat oder Kreis) nehmen sie Raum ein. Du kannst sie anfassen und von allen Seiten betrachten.

Jeder Körper hat bestimmte Eigenschaften. Die wichtigsten sind:

• Flächen: Die flachen oder gekrümmten Oberflächen
• Kanten: Die Linien, wo zwei Flächen aufeinandertreffen
• Ecken: Die Punkte, wo mehrere Kanten zusammenkommen

Ein Würfel hat 6 gleich grosse quadratische Flächen. Er besitzt 12 gleich lange Kanten und 8 Ecken. Alle Winkel sind rechte Winkel. Ein Zuckerwürfel ist ein perfektes Beispiel.

Ein Quader ähnelt dem Würfel. Seine 6 Flächen sind Rechtecke. Die gegenüberliegenden Flächen sind gleich gross. Ein Schuhkarton ist ein typischer Quader. Er hat ebenfalls 12 Kanten und 8 Ecken.

Die Kugel ist einzigartig. Sie hat nur eine einzige gekrümmte Fläche. Es gibt keine Kanten oder Ecken. Jeder Punkt auf der Oberfläche hat denselben Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand heisst Radius $r$. Ein Fussball ist fast eine perfekte Kugel.

Der Zylinder hat zwei gleich grosse kreisförmige Grundflächen. Sie sind parallel zueinander. Die Mantelfläche verbindet die beiden Kreise. Eine Getränkedose zeigt diese Form. Die Höhe $h$ ist der Abstand zwischen den Grundflächen.

Diese Körper bilden die Basis. Du wirst sie überall wiedererkennen.

Die Kernmethode um geometrische Körper sicher zu erkennen und zu beschreiben

Um geometrische Körper sicher zu erkennen und zu beschreiben, folge dieser systematischen Methode. Sie hilft Dir, jeden Körper präzise zu bestimmen.

Schritt 1: Betrachte die Form genau Schaue Dir den Körper von allen Seiten an. Ist er rund oder hat er Ecken? Hat er flache oder gekrümmte Flächen? Diese erste Beobachtung grenzt die Möglichkeiten bereits ein. Ein Körper mit gekrümmter Oberfläche ist entweder eine Kugel, ein Zylinder oder ein Kegel.

Schritt 2: Zähle die Flächen Bestimme, wie viele Flächen der Körper hat. Ein Würfel hat immer 6 Flächen. Ein Quader ebenfalls 6 Flächen. Eine Pyramide hat je nach Grundfläche unterschiedlich viele Flächen. Achte darauf, ob die Flächen gleich gross sind oder unterschiedlich.

Schritt 3: Untersuche die Grundfläche Viele Körper haben eine erkennbare Grundfläche. Ein Zylinder hat einen Kreis als Grundfläche. Eine Pyramide kann ein Quadrat oder Dreieck als Grundfläche haben. Die Form der Grundfläche bestimmt oft den Namen des Körpers.

Schritt 4: Prüfe die Symmetrie Ist der Körper gleichmässig aufgebaut? Ein Würfel ist perfekt symmetrisch. Ein Quader hat drei verschiedene Kantenlängen. Die Kugel ist in alle Richtungen symmetrisch. Symmetrie ist ein wichtiges Erkennungsmerkmal.

Schritt 5: Zähle Kanten und Ecken Wie viele Kanten verbinden die Flächen? Wie viele Ecken hat der Körper? Ein Würfel hat 12 Kanten und 8 Ecken. Eine Kugel hat weder Kanten noch Ecken. Diese Zahlen bestätigen Deine Vermutung.

Schritt 6: Benenne den Körper Jetzt kannst Du den Körper eindeutig benennen. Nutze die gesammelten Informationen. Ein Körper mit 6 quadratischen Flächen ist ein Würfel. Ein Körper mit kreisförmiger Grundfläche und gerader Mantelfläche ist ein Zylinder.

Definition: Das Grundprinzip geometrischer Körper Geometrische Körper werden durch ihre Flächen, Kanten und Ecken charakterisiert. Die wichtigsten Grössen sind die Kantenlängen $a$, $b$, $c$ (bei Quadern), der Radius $r$ (bei Kugeln und Zylindern) und die Höhe $h$ (bei Zylindern, Pyramiden und Kegeln). Jeder Körper hat ein eindeutiges Volumen $V$ und eine Oberfläche $O$, die sich aus diesen Grössen berechnen lassen.

Beispiel 1: Einstiegsaufgabe

Aufgabe: Du hast einen Spielwürfel vor Dir.
Jede Kantenlänge beträgt $2\,\text{cm}$.
Bestimme, welche Eigenschaften dieser geometrische Körper hat. Wie viele Flächen, Kanten und Ecken besitzt er?

Lösungsweg: Wir untersuchen den Spielwürfel systematisch nach unserer Methode.

Schritt 1: Wir betrachten die Form. Der Spielwürfel hat nur flache Flächen und rechte Winkel.

Schritt 2: Wir zählen die Flächen. Der Würfel hat 6 Flächen: oben, unten, vorne, hinten, links, rechts.

Schritt 3: Jede Fläche ist ein Quadrat mit Seitenlänge $a = 2\,\text{cm}$. Alle Flächen sind gleich gross.

Schritt 4: Der Würfel ist perfekt symmetrisch. Jede Kante hat dieselbe Länge.

Schritt 5: Wir zählen die Kanten und Ecken:

• Kanten: 12 Stück (4 oben, 4 unten, 4 verbindende Kanten)
• Ecken: 8 Stück (4 oben, 4 unten)

Schritt 6: Dieser Körper ist ein Würfel.

Zusätzlich können wir die Oberfläche berechnen:

$$\begin{align*} O &= 6 \cdot a^2 \\ &= 6 \cdot (2\,\text{cm})^2 \\ &= 6 \cdot 4\,\text{cm}^2 \\ &= 24\,\text{cm}^2 \end{align*}$$

Die Oberfläche beträgt $24\,\text{cm}^2$.

Beispiel 2: Aufbauende Aufgabe

Aufgabe: Eine Getränkedose hat die Form eines Zylinders. Der Radius der kreisförmigen Grundfläche beträgt $r = 3\,\text{cm}$. Die Höhe der Dose ist $h = 12\,\text{cm}$. Bestimme die Eigenschaften dieses Körpers. Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat er?

Lösungsweg: Wir analysieren die Getränkedose nach unserer Methode.

Schritt 1: Die Dose hat eine gekrümmte Mantelfläche und zwei flache Deckflächen.

Schritt 2: Der Zylinder hat insgesamt 3 Flächen:

• 1 gekrümmte Mantelfläche
• 2 kreisförmige Grundflächen (oben und unten)

Schritt 3: Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius $r = 3\,\text{cm}$.

Schritt 4: Der Zylinder ist rotationssymmetrisch um seine Mittelachse.

Schritt 5: Der Zylinder hat besondere Eigenschaften:

• Kanten: 2 kreisförmige Kanten (Übergänge zwischen Mantel und Grundflächen)
• Ecken: 0 Stück (Kreise haben keine Ecken)

Schritt 6: Dieser Körper ist ein Zylinder.

Der Unterschied zum Würfel ist deutlich: Der Zylinder hat gekrümmte Flächen und keine Ecken. Wir können das Volumen berechnen:

$$\begin{align*} V &= \pi \cdot r^2 \cdot h \\ &= \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot 12\,\text{cm} \\ &= \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} \\ &= 108\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 339{,}3\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Das Volumen beträgt etwa $339{,}3\,\text{cm}^3$.

Die häufigsten Stolpersteine

⚠️ Achtung: Verwechslung von Würfel und Quader Viele Schüler denken, jeder rechteckige Körper sei ein Würfel. Das stimmt nicht. Ein Würfel hat immer gleich lange Kanten. Ein Quader kann unterschiedliche Kantenlängen haben. Beispiel: Ein Schuhkarton mit den Massen $30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}$ ist ein Quader, kein Würfel. Prüfe immer: Sind alle Kanten gleich lang? Falls ja, ist es ein Würfel. Falls nein, ist es ein Quader. Merke Dir: Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

⚠️ Achtung: Falsche Zuordnung von Flächen und Kanten Beim Zählen von Flächen und Kanten entstehen oft Fehler. Schüler vergessen versteckte Flächen oder zählen Kanten doppelt. Beispiel: Bei einem Quader zählst Du nur die sichtbaren 3 Flächen und kommst auf 3 statt 6. Richtig ist: Ein Quader hat immer 6 Flächen (oben, unten, vorne, hinten, links, rechts). Drehe den Körper in Gedanken oder zeichne ein Netz. Ein Netz zeigt alle Flächen ausgebreitet. So vergisst Du keine Fläche. Bei den Kanten hilft eine systematische Zählung: erst die oberen 4, dann die unteren 4, zuletzt die 4 verbindenden Kanten.

⚠️ Achtung: Verwechslung von Radius und Durchmesser Bei Kugeln und Zylindern verwechseln Schüler oft Radius $r$ und Durchmesser $d$. Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Der Durchmesser ist doppelt so gross: $d = 2r$. Beispiel: Eine Aufgabe sagt “Die Kugel hat einen Durchmesser von $10\,\text{cm}$”. Du setzt direkt $r = 10\,\text{cm}$ in die Formel ein. Falsch! Der Radius ist nur $r = 5\,\text{cm}$. Das Volumen wird damit viel zu gross berechnet. Lies die Aufgabe genau. Steht dort “Radius” oder “Durchmesser”? Rechne bei Bedarf um: $r = \frac{d}{2}$ oder $d = 2r$.

Beispiel 3: Komplexere Aufgabe

Aufgabe: Ein Aquarium hat die Form eines Quaders. Die Länge beträgt $50\,\text{cm}$, die Breite $30\,\text{cm}$ und die Höhe $40\,\text{cm}$. Du möchtest das Aquarium zu drei Vierteln mit Wasser füllen. Zusätzlich stellst Du eine dekorative Kugel aus Keramik mit Radius $r = 5\,\text{cm}$ hinein. Wie viel Wasser (in Litern) benötigst Du insgesamt? Beachte: Die Kugel verdrängt Wasser.

Lösungsweg: Wir lösen die Aufgabe in mehreren Schritten.

Schritt 1: Volumen des Quaders berechnen

Das Gesamtvolumen des Aquariums ist:

$$\begin{align*} V_{\text{Quader}} &= a \cdot b \cdot c \\ &= 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \\ &= 60\,000\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 2: Drei Viertel des Volumens

Du füllst nur drei Viertel des Aquariums:

$$\begin{align*} V_{\text{Füllung}} &= \frac{3}{4} \cdot V_{\text{Quader}} \\ &= \frac{3}{4} \cdot 60\,000\,\text{cm}^3 \\ &= 45\,000\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 3: Volumen der Kugel berechnen

Die Kugel verdrängt Wasser. Ihr Volumen ist:

$$\begin{align*} V_{\text{Kugel}} &= \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \cdot (5\,\text{cm})^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \cdot 125\,\text{cm}^3 \\ &= \frac{500}{3}\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 523{,}6\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 4: Benötigtes Wasservolumen

Das Wasser muss die Kugel berücksichtigen:

$$\begin{align*} V_{\text{Wasser}} &= V_{\text{Füllung}} - V_{\text{Kugel}} \\ &= 45\,000\,\text{cm}^3 - 523{,}6\,\text{cm}^3 \\ &= 44\,476{,}4\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 5: Umrechnung in Liter

Wir wissen: $1\,\text{Liter} = 1000\,\text{cm}^3$. Also:

$$\begin{align*} V_{\text{Wasser}} &= \frac{44\,476{,}4\,\text{cm}^3}{1000} \\ &\approx 44{,}48\,\text{Liter} \end{align*}$$

Du benötigst etwa $44{,}5\,\text{Liter}$ Wasser.

Beispiel 4: Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe: Du arbeitest in einer Bäckerei. Der Chef möchte eine neue zylindrische Kuchenform kaufen. Die Form soll einen Durchmesser von $24\,\text{cm}$ und eine Höhe von $8\,\text{cm}$ haben. Gleichzeitig habt ihr eine rechteckige Backform (Quader) mit den Massen $30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}$. Welche Form fasst mehr Teig? Wie viel mehr (in Prozent)?

Lösungsweg: Wir vergleichen die Volumina beider Formen.

Schritt 1: Volumen der zylindrischen Form

Der Durchmesser ist $d = 24\,\text{cm}$. Der Radius ist:

$$r = \frac{d}{2} = \frac{24\,\text{cm}}{2} = 12\,\text{cm}$$

Das Volumen des Zylinders berechnen wir:

$$\begin{align*} V_{\text{Zylinder}} &= \pi r^2 h \\ &= \pi \cdot (12\,\text{cm})^2 \cdot 8\,\text{cm} \\ &= \pi \cdot 144\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} \\ &= 1152\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 3619{,}1\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 2: Volumen der rechteckigen Form

Das Volumen des Quaders ist:

$$\begin{align*} V_{\text{Quader}} &= a \cdot b \cdot c \\ &= 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\ &= 4800\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 3: Vergleich der Volumina

Die rechteckige Form fasst mehr:

$$\begin{align*} \Delta V &= V_{\text{Quader}} - V_{\text{Zylinder}} \\ &= 4800\,\text{cm}^3 - 3619{,}1\,\text{cm}^3 \\ &= 1180{,}9\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Schritt 4: Prozentuale Differenz

Wie viel mehr fasst die rechteckige Form im Vergleich zur zylindrischen?

$$\begin{align*} \text{Prozent} &= \frac{\Delta V}{V_{\text{Zylinder}}} \cdot 100\% \\ &= \frac{1180{,}9\,\text{cm}^3}{3619{,}1\,\text{cm}^3} \cdot 100\% \\ &\approx 32{,}6\% \end{align*}$$

Die rechteckige Form fasst etwa $32{,}6\%$ mehr Teig als die zylindrische Form. Für grosse Kuchen ist sie die bessere Wahl.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Ein Karton hat die Form eines Würfels. Jede Kante ist $15\,\text{cm}$ lang. Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat dieser Würfel?

Aufgabe 2: Eine Tischtennisball-Kugel hat einen Durchmesser von $4\,\text{cm}$. Wie gross ist der Radius dieser Kugel?

Aufgabe 3: Ein Geschenkkarton ist ein Quader mit den Massen $40\,\text{cm} \times 25\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}$. Berechne das Volumen dieses Kartons.

Aufgabe 4: Eine Konservendose hat die Form eines Zylinders. Der Radius beträgt $4\,\text{cm}$ und die Höhe $10\,\text{cm}$. Berechne das Volumen der Dose. (Nutze $\pi \approx 3{,}14$)

Aufgabe 5: Ein Schwimmbad hat die Form eines Quaders mit den Massen $25\,\text{m} \times 12\,\text{m} \times 2\,\text{m}$. Wie viele Liter Wasser passen in das Becken, wenn es komplett gefüllt ist? (Tipp: $1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{Liter}$)

Aufgabe 6: Eine Eiskugel hat einen Radius von $3\,\text{cm}$. Berechne das Volumen dieser Kugel. Verwende die Formel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ und $\pi \approx 3{,}14$.

Aufgabe 7: Ein Hersteller produziert zwei Verpackungen: Eine würfelförmige Schachtel mit Kantenlänge $20\,\text{cm}$ und eine quaderförmige Schachtel mit den Massen $25\,\text{cm} \times 16\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$. Welche Verpackung fasst mehr? Wie viel mehr (in $\text{cm}^3$)?

Aufgabe 8: Ein Zylinder und eine Kugel haben denselben Radius $r = 6\,\text{cm}$. Der Zylinder hat eine Höhe von $h = 8\,\text{cm}$. Berechne beide Volumina und bestimme, welcher Körper mehr Raum einnimmt. Um wie viel Prozent unterscheiden sich die Volumina?

Das Wichtigste in Kürze

Geometrische Körper sind dreidimensional. Sie besitzen Länge, Breite und Höhe. Die wichtigsten Merkmale sind Flächen, Kanten und Ecken. Ein Würfel hat 6 gleiche quadratische Flächen, 12 gleich lange Kanten und 8 Ecken. Ein Quader hat ebenfalls 6 Flächen, aber unterschiedliche Kantenlängen. Beide gehören zu den Polyedern mit flachen Flächen.

Die Kugel ist der symmetrischste Körper. Jeder Punkt auf der Oberfläche hat denselben Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand heisst Radius $r$. Die Kugel hat keine Kanten und keine Ecken. Nur eine einzige gekrümmte Fläche umschliesst das Volumen. Die Formel für das Kugelvolumen lautet $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Der Zylinder verbindet flache und gekrümmte Flächen. Er besitzt zwei kreisförmige Grundflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Die Höhe $h$ verbindet beide Kreise senkrecht. Das Volumen berechnest Du mit $V = \pi r^2 h$. Getränkedosen und Konserven sind praktische Beispiele für Zylinder.

Achte auf den Unterschied zwischen Radius und Durchmesser. Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Der Durchmesser ist doppelt so gross: $d = 2r$. Viele Fehler entstehen durch Verwechslung dieser Grössen. Lies Aufgaben genau und rechne bei Bedarf um.

Systematisches Vorgehen führt zum Erfolg. Betrachte jeden Körper von allen Seiten. Zähle Flächen, Kanten und Ecken. Untersuche die Grundfläche und prüfe die Symmetrie. So erkennst Du jeden geometrischen Körper sicher und vermeidest Verwechslungen.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Ein Würfel und ein Quader haben beide 6 Flächen. Was unterscheidet sie?

Beim Würfel sind alle 6 Flächen gleich grosse Quadrate. Alle Kanten haben dieselbe Länge. Beim Quader sind die Flächen Rechtecke. Die gegenüberliegenden Flächen sind gleich gross, aber es gibt drei verschiedene Kantenlängen. Ein Würfel ist also ein spezieller Quader mit gleich langen Kanten.

Frage 2: Eine Kugel hat einen Durchmesser von 10 cm. Welche Grösse benötigst Du für die Volumenformel?

Für die Volumenformel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ brauchst Du den Radius, nicht den Durchmesser. Der Radius ist halb so gross wie der Durchmesser: $r = \frac{d}{2} = \frac{10\,\text{cm}}{2} = 5\,\text{cm}$. Setze also $r = 5\,\text{cm}$ in die Formel ein.

Frage 3: Du hast einen Zylinder mit Radius 4 cm und Höhe 10 cm. Ein zweiter Zylinder hat Radius 8 cm und Höhe 5 cm. Welcher hat das grössere Volumen?

Der zweite Zylinder hat das grössere Volumen. Beim ersten gilt: $V_1 = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi\,\text{cm}^3$. Beim zweiten gilt: $V_2 = \pi \cdot 8^2 \cdot 5 = 320\pi\,\text{cm}^3$. Der Radius wird quadriert, daher hat die Verdoppelung des Radius einen stärkeren Effekt als die Halbierung der Höhe.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Jetzt kennst Du die grundlegenden geometrischen Körper. Der nächste Schritt führt Dich zu Netzen und Schrägbildern. Du lernst, wie Du dreidimensionale Körper auf Papier darstellst. Ein Netz zeigt alle Flächen ausgebreitet. Du siehst, wie ein Würfel oder Quader gefaltet wird. Schrägbilder geben eine räumliche Ansicht. Diese Fähigkeiten helfen Dir beim technischen Zeichnen und beim räumlichen Vorstellungsvermögen. Danach folgen Berechnungen von Oberflächen und komplexeren Volumina. Du verstehst, wie Architekten und Ingenieure mit geometrischen Körpern arbeiten. Dein geometrisches Denken wird immer präziser.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1:

Ein Würfel hat immer dieselbe Anzahl an Flächen, Kanten und Ecken, unabhängig von der Kantenlänge.

• Flächen: 6 (oben, unten, vorne, hinten, links, rechts)
• Kanten: 12 (4 oben, 4 unten, 4 verbindende)
• Ecken: 8 (4 oben, 4 unten)

Die Kantenlänge von $15\,\text{cm}$ ändert nichts an diesen Zahlen.

Lösung zu Aufgabe 2:

Der Durchmesser ist $d = 4\,\text{cm}$. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers:

$$\begin{align*} r &= \frac{d}{2} \\ &= \frac{4\,\text{cm}}{2} \\ &= 2\,\text{cm} \end{align*}$$

Der Radius der Tischtennisball-Kugel beträgt $2\,\text{cm}$.

Lösung zu Aufgabe 3:

Das Volumen eines Quaders berechnest Du mit $V = a \cdot b \cdot c$:

$$\begin{align*} V &= 40\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} \\ &= 1000\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} \\ &= 15\,000\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Der Geschenkkarton fasst $15\,000\,\text{cm}^3$ oder $15\,\text{dm}^3$ oder $15\,\text{Liter}$.

Lösung zu Aufgabe 4:

Das Volumen eines Zylinders ist $V = \pi r^2 h$:

$$\begin{align*} V &= \pi \cdot (4\,\text{cm})^2 \cdot 10\,\text{cm} \\ &= \pi \cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} \\ &= 160\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 160 \cdot 3{,}14\,\text{cm}^3 \\ &\approx 502{,}4\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Die Konservendose hat ein Volumen von etwa $502{,}4\,\text{cm}^3$.

Lösung zu Aufgabe 5:

Zuerst berechnen wir das Volumen des Beckens:

$$\begin{align*} V &= 25\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} \\ &= 300\,\text{m}^2 \cdot 2\,\text{m} \\ &= 600\,\text{m}^3 \end{align*}$$

Nun rechnen wir in Liter um. Es gilt $1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{Liter}$:

$$\begin{align*} V &= 600\,\text{m}^3 \cdot 1000 \\ &= 600\,000\,\text{Liter} \end{align*}$$

Das Schwimmbad fasst $600\,000\,\text{Liter}$ Wasser.

Lösung zu Aufgabe 6:

Das Volumen einer Kugel berechnen wir mit $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:

$$\begin{align*} V &= \frac{4}{3}\pi \cdot (3\,\text{cm})^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \cdot 27\,\text{cm}^3 \\ &= \frac{108}{3}\pi\,\text{cm}^3 \\ &= 36\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 36 \cdot 3{,}14\,\text{cm}^3 \\ &\approx 113{,}04\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Die Eiskugel hat ein Volumen von etwa $113\,\text{cm}^3$.

Lösung zu Aufgabe 7:

Volumen der würfelförmigen Schachtel:

$$\begin{align*} V_{\text{Würfel}} &= a^3 \\ &= (20\,\text{cm})^3 \\ &= 8000\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Volumen der quaderförmigen Schachtel:

$$\begin{align*} V_{\text{Quader}} &= 25\,\text{cm} \cdot 16\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} \\ &= 400\,\text{cm}^2 \cdot 20\,\text{cm} \\ &= 8000\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Beide Verpackungen fassen genau gleich viel: $8000\,\text{cm}^3$. Die Differenz beträgt $0\,\text{cm}^3$.

Lösung zu Aufgabe 8:

Volumen des Zylinders:

$$\begin{align*} V_{\text{Zylinder}} &= \pi r^2 h \\ &= \pi \cdot (6\,\text{cm})^2 \cdot 8\,\text{cm} \\ &= \pi \cdot 36\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} \\ &= 288\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 904{,}3\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Volumen der Kugel:

$$\begin{align*} V_{\text{Kugel}} &= \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \cdot (6\,\text{cm})^3 \\ &= \frac{4}{3}\pi \cdot 216\,\text{cm}^3 \\ &= \frac{864}{3}\pi\,\text{cm}^3 \\ &= 288\pi\,\text{cm}^3 \\ &\approx 904{,}3\,\text{cm}^3 \end{align*}$$

Überraschend: Beide Körper haben exakt dasselbe Volumen von $288\pi\,\text{cm}^3$. Die prozentuale Differenz beträgt $0\%$. Dies ist ein besonderer Fall, der zeigt, wie unterschiedliche Körper bei passender Wahl der Masse identische Volumina haben können.