Körper - Körper (Grundlagen)
Stell dir vor, du räumst dein Zimmer auf. Da liegt ein Fussball in der Ecke, eine Getränkedose auf dem Schreibtisch und ein Schuhkarton unter dem Bett. Jeder dieser Gegenstände hat eine bestimmte Form. Der Fussball ist rund, die Dose hat eine längliche Form mit runden Deckeln, und der Karton hat rechteckige Seiten.
In der Mathematik nennen wir solche dreidimensionalen Formen «Körper». Sie unterscheiden sich von flachen Figuren wie Kreisen oder Rechtecken. Ein Körper hat nicht nur Länge und Breite, sondern auch Höhe – er nimmt Raum ein.
Was ist ein geometrischer Körper?
Abschnitt betitelt „Was ist ein geometrischer Körper?“Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Objekt. Das bedeutet: Du kannst ihn in die Hand nehmen. Er hat Ausdehnung in drei Richtungen – Länge, Breite und Höhe.
Flache Figuren wie Dreiecke oder Quadrate sind zweidimensional. Sie existieren nur auf einer Fläche. Körper hingegen haben ein Volumen. Sie füllen einen bestimmten Raum aus.
Ein geometrischer Körper ist eine dreidimensionale Form mit:
- Flächen: Die Aussenseiten des Körpers (auch Seitenflächen genannt)
- Kanten: Die Linien, an denen zwei Flächen zusammentreffen
- Ecken: Die Punkte, an denen mehrere Kanten zusammentreffen
Die Anzahl dieser Elemente ist für jeden Körpertyp charakteristisch.
Die wichtigsten Körper im Überblick
Abschnitt betitelt „Die wichtigsten Körper im Überblick“Der Würfel
Abschnitt betitelt „Der Würfel“Der Würfel ist der «perfekte» Körper. Alle seine sechs Flächen sind gleich grosse Quadrate. Alle zwölf Kanten sind gleich lang. Ein Spielwürfel ist das bekannteste Beispiel.
Eigenschaften des Würfels:
- 6 quadratische Flächen
- 12 gleich lange Kanten
- 8 Ecken
Der Quader
Abschnitt betitelt „Der Quader“Der Quader ist dem Würfel ähnlich, aber flexibler. Seine sechs Flächen sind Rechtecke. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils gleich gross. Ein Ziegelstein oder ein Buch sind typische Quader.
Eigenschaften des Quaders:
- 6 rechteckige Flächen
- 12 Kanten (je 4 gleich lang)
- 8 Ecken
Die Kugel
Abschnitt betitelt „Die Kugel“Die Kugel ist vollkommen rund. Sie hat keine Ecken und keine Kanten. Ihre Oberfläche ist eine einzige gekrümmte Fläche. Jeder Punkt auf der Oberfläche hat den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.
Eigenschaften der Kugel:
- 1 gekrümmte Fläche
- 0 Kanten
- 0 Ecken
Der Zylinder
Abschnitt betitelt „Der Zylinder“Stell dir eine Getränkedose vor. Oben und unten befinden sich Kreise. Die Seite ist eine gekrümmte Fläche, die diese Kreise verbindet. Das ist ein Zylinder.
Eigenschaften des Zylinders:
- 2 kreisförmige Grundflächen
- 1 gekrümmte Mantelfläche
- 0 Ecken
- 2 kreisförmige Kanten
Der Kegel
Abschnitt betitelt „Der Kegel“Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche. Von dort aus läuft er spitz zu – bis zur Spitze. Eine Eistüte oder ein Partyhut haben diese Form.
Eigenschaften des Kegels:
- 1 kreisförmige Grundfläche
- 1 gekrümmte Mantelfläche
- 1 Spitze
- 1 kreisförmige Kante
Die Pyramide
Abschnitt betitelt „Die Pyramide“Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche. Meist ist diese quadratisch oder dreieckig. Von den Ecken der Grundfläche führen Kanten zur Spitze. Die berühmten Pyramiden in Ägypten haben eine quadratische Grundfläche.
Eigenschaften einer quadratischen Pyramide:
- 1 quadratische Grundfläche
- 4 dreieckige Seitenflächen
- 8 Kanten
- 5 Ecken (4 unten, 1 Spitze)
Häufiger Fehler: Viele verwechseln Flächen mit Seiten. Bei einem Körper sprechen wir von Flächen (die Aussenseiten). «Seiten» verwenden wir nur bei flachen Figuren wie Dreiecken oder Vierecken. Achte auf diese Unterscheidung!
Körper erkennen und unterscheiden
Abschnitt betitelt „Körper erkennen und unterscheiden“Um Körper zu unterscheiden, stellst du dir folgende Fragen:
- Hat der Körper Ecken? (Ja → kein Ball/Kugel)
- Hat der Körper nur ebene Flächen? (Ja → z.B. Würfel, Quader, Pyramide)
- Hat der Körper gekrümmte Flächen? (Ja → z.B. Kugel, Zylinder, Kegel)
- Sind alle Flächen gleich gross? (Ja bei Würfel)
- Hat der Körper eine Spitze? (Ja → Kegel oder Pyramide)
Beispiel 1: Körper im Alltag erkennen
Abschnitt betitelt „Beispiel 1: Körper im Alltag erkennen“Aufgabe: Welche Körperform hat eine Konservendose?
Lösung: Die Dose hat oben und unten je einen Kreis. Die Seite ist gebogen und verbindet die beiden Kreise. Es gibt keine Ecken.
Das ist ein Zylinder.
Beispiel 2: Eigenschaften bestimmen
Abschnitt betitelt „Beispiel 2: Eigenschaften bestimmen“Aufgabe: Ein Körper hat 6 gleich grosse quadratische Flächen. Um welchen Körper handelt es sich? Wie viele Kanten und Ecken hat er?
Lösung: Sechs gleich grosse Quadrate deuten auf einen Würfel hin.
Der Würfel hat:
- Flächen
- Kanten
- Ecken
Beispiel 3: Körper aus Beschreibung erkennen
Abschnitt betitelt „Beispiel 3: Körper aus Beschreibung erkennen“Aufgabe: Lisa beschreibt einen Körper: «Er hat eine dreieckige Grundfläche. Von jeder Ecke des Dreiecks geht eine Kante nach oben zu einer Spitze.» Welcher Körper ist gemeint?
Lösung: Lisa beschreibt eine dreiseitige Pyramide (auch Tetraeder genannt).
Sie hat:
- dreieckige Grundfläche
- dreieckige Seitenflächen
- Kanten
- Ecken
Zusammenfassung
Abschnitt betitelt „Zusammenfassung“Geometrische Körper sind dreidimensionale Formen. Sie haben Flächen, Kanten und Ecken. Die wichtigsten Körper sind Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel und Pyramide. Jeder Körper hat typische Eigenschaften, an denen du ihn erkennst.