Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen – So löst du jeden Term

Stell dir vor, du bist ein Fahrstuhlführer in einem Hochhaus mit Tiefgarage. Du startest im Erdgeschoss. Dann fährt jemand drei Stockwerke hoch, dann zwei runter, dann wieder fünf hoch und schliesslich vier runter.

Wo bist du am Ende? Du musst die Bewegungen in der richtigen Reihenfolge zusammenrechnen. Dabei zählen Fahrten nach oben als Plus und Fahrten nach unten als Minus.

Genau so funktionieren Rechenausdrücke mit ganzen Zahlen. Du kombinierst positive und negative Zahlen durch verschiedene Rechenoperationen. Am Ende steht ein einziges Ergebnis.

Vom Fahrstuhl zur Mathematik

Die Fahrstuhlfahrt lässt sich als Rechenausdruck schreiben. Start im Erdgeschoss bedeutet: Du beginnst bei null. Drei hoch, zwei runter, fünf hoch, vier runter wird zu:

$$0 + 3 - 2 + 5 - 4$$

Dieser Ausdruck heisst Term. Ein Term ist eine sinnvolle Kombination aus Zahlen und Rechenzeichen. Du rechnest von links nach rechts und erhältst das Ergebnis $2$.

Bei komplexeren Termen kommen Klammern und verschiedene Rechenarten hinzu. Dann brauchst du klare Regeln für die richtige Reihenfolge.

Die Rechenregeln für Terme

DEFINITION

Reihenfolge der Rechenoperationen (KLAPS-Regel):

1. Klammern zuerst
2. Absolute Werte und Potenzen
3. Punkt vor Strich (Multiplikation und Division)
4. Strich (Addition und Subtraktion) von links nach rechts

Für einen Term $a + b \cdot c$ gilt: Zuerst $b \cdot c$, dann das Ergebnis zu $a$ addieren.

Die Reihenfolge ist entscheidend. Ohne diese Regeln wäre $3 + 4 \cdot 2$ mehrdeutig. Mit der Regel ist klar: Erst $4 \cdot 2 = 8$, dann $3 + 8 = 11$.

Klammern als Vorfahrtsschild

Klammern überschreiben alle anderen Regeln. Was in der Klammer steht, wird zuerst berechnet. Bei verschachtelten Klammern arbeitest du von innen nach aussen.

Stell dir Klammern wie geschützte Bereiche vor. Erst wenn der Inhalt zu einer Zahl geworden ist, darf die Klammer verschwinden.

Vorzeichen richtig behandeln

Bei ganzen Zahlen trägst du auch negative Zahlen im Gepäck. Diese haben ein Minuszeichen direkt vor der Zahl. In Termen schreibst du negative Zahlen oft in Klammern, um Verwirrung zu vermeiden.

Der Ausdruck $5 - (-3)$ bedeutet: Von $5$ wird $-3$ subtrahiert. Minus und Minus ergibt Plus. Also: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Typische Fehler bei Vorzeichen:

• Minus mal Minus vergessen: Bei $(-2) \cdot (-3)$ ist das Ergebnis $+6$, nicht $-6$.
• Subtraktion einer negativen Zahl: $7 - (-4)$ wird zu $7 + 4 = 11$. Viele rechnen fälschlich $7 - 4 = 3$.
• Vorzeichenwechsel in Klammern: Bei $-(3 - 5)$ musst du zuerst die Klammer lösen: $-(−2) = +2$.

Die Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei jedem Term vor:

1. Überblick verschaffen: Welche Rechenarten kommen vor? Gibt es Klammern?
2. Klammern identifizieren: Markiere alle Klammern und beginne mit den innersten.
3. Klammern auflösen: Berechne den Inhalt jeder Klammer vollständig.
4. Punkt vor Strich: Führe alle Multiplikationen und Divisionen aus.
5. Strich-Rechnungen: Addiere und subtrahiere von links nach rechts.
6. Ergebnis prüfen: Stimmt das Vorzeichen? Ist die Grössenordnung plausibel?

Vorstellungshilfe: Der Zahlenstrahl

Denke bei Additionen und Subtraktionen an einen Zahlenstrahl. Du startest bei einer Zahl. Addition bedeutet: nach rechts gehen. Subtraktion bedeutet: nach links gehen.

Bei $-3 + 7$ startest du bei $-3$ und gehst $7$ Schritte nach rechts. Du landest bei $+4$.

Bei Multiplikation stellst du dir wiederholte Sprünge vor. $(-2) \cdot 3$ bedeutet: Drei Sprünge von je $-2$. Du landest bei $-6$.

Beispiele

Beispiel 1: Einfacher Term ohne Klammern

Aufgabe: Berechne $8 - 3 + 2 \cdot 4$

Lösung:

Zuerst identifizieren wir die Rechenarten: Subtraktion, Addition und Multiplikation. Punkt vor Strich bedeutet: Erst die Multiplikation.

$$8 - 3 + 2 \cdot 4 = 8 - 3 + 8$$

Jetzt von links nach rechts:

$$8 - 3 + 8 = 5 + 8 = 13$$

Das Ergebnis ist $13$.

Beispiel 2: Term mit Klammern und negativen Zahlen

Aufgabe: Berechne $(-4) \cdot (3 - 7) + 2$

Lösung:

Zuerst die Klammer $(3 - 7)$:

$$3 - 7 = -4$$

Jetzt steht da: $(-4) \cdot (-4) + 2$

Die Multiplikation kommt vor der Addition. Minus mal Minus ergibt Plus:

$$(-4) \cdot (-4) = 16$$

Schliesslich die Addition:

$$16 + 2 = 18$$

Das Ergebnis ist $18$.

Beispiel 3: Textaufgabe – Kontostand berechnen

Aufgabe: Lisa hat 50 CHF auf ihrem Konto. Sie gibt dreimal je 12 CHF aus und bekommt dann 25 CHF zurück. Wie lautet ihr Kontostand?

Lösung:

Wir übersetzen die Situation in einen Term. Ausgaben sind negativ, Einnahmen positiv:

$$50 + 3 \cdot (-12) + 25$$

Zuerst die Multiplikation:

$$3 \cdot (-12) = -36$$

Der Term wird zu:

$$50 + (-36) + 25 = 50 - 36 + 25$$

Von links nach rechts:

$$50 - 36 = 14$$ $$14 + 25 = 39$$

Lisas Kontostand beträgt 39 CHF.

Quiz

❓ Frage: Berechne: $6 + 2 \cdot (-3)$

Lösung anzeigen

Erst Punkt vor Strich: $2 \cdot (-3) = -6$

Dann: $6 + (-6) = 6 - 6 = 0$

Ergebnis: $0$

❓ Frage: Berechne: $(-5) - (-8) + 3$

Lösung anzeigen

Minus mal Minus wird Plus: $(-5) - (-8) = -5 + 8 = 3$

Dann: $3 + 3 = 6$

Ergebnis: $6$

❓ Frage: Berechne: $(4 - 9) \cdot (-2) - 1$

Lösung anzeigen

Zuerst die Klammer: $4 - 9 = -5$

Dann die Multiplikation: $(-5) \cdot (-2) = 10$

Schliesslich: $10 - 1 = 9$

Ergebnis: $9$