Negative Zahlen verstehen und anwenden

Stell dir vor, du stehst im Winter draussen.
Am Morgen ist es kalt, am Abend noch kälter.
Man spricht nicht nur von kalt, sondern von Temperaturen unter null.
Genau dafür braucht man negative Zahlen.

Warum brauchen wir negative Zahlen?

Mit positiven Zahlen kannst du zählen und messen.
Sie reichen aber nicht für alle Alltagssituationen.
Schulden, Tiefen oder Temperaturen unter null fehlen dann.
Negative Zahlen schliessen diese Lücke.

Negative Zahlen zeigen eine Richtung unter null.
Sie sind nicht schlechter oder kleiner im Sinn von Wert.
Sie liegen einfach auf der anderen Seite der null.
Das ist der wichtigste Gedanke dieser Lektion.

Der Brückenschlag vom Alltag zur Mathematik

Denke an ein Thermometer im Winter.
Die null Grad ist ein besonderer Punkt.
Alles darüber ist warm im Vergleich.
Alles darunter ist kalt.

Sinkt die Temperatur weiter, wird die Zahl negativer.
Minus fünf Grad ist kälter als minus zwei Grad.
Obwohl fünf grösser als zwei ist.
Hier zählt die Lage zur null.

In der Mathematik übertragen wir das auf Zahlen.
Dazu nutzen wir die Zahlengerade.
Sie hilft dir, negative Zahlen richtig einzuordnen.
So vermeidest du viele Denkfehler.

Die offizielle Definition

DEFINITION

Negative Zahlen sind ganze Zahlen kleiner als null.
Sie werden mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel
$-1, -2, -3, \ldots$

Das Minuszeichen ist kein Rechenzeichen.
Es gehört zur Zahl selbst.
Es zeigt die Lage links von null.
Ohne dieses Zeichen wäre die Zahl positiv.

Kopfkino: Die Zahlengerade

Stell dir eine waagrechte Linie vor.
In der Mitte steht die null.
Rechts davon liegen die positiven Zahlen.
Links davon liegen die negativen Zahlen.

Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.
Die Zahl $-1$ liegt näher bei null als $-5$.
Darum ist $-1$ grösser als $-5$.
Dieses Bild solltest du immer im Kopf haben.

Der Abstand zur null heisst Betrag.
Der Betrag von $-4$ ist $4$.
Der Betrag ist nie negativ.
Er misst nur die Entfernung zur null.

Negative Zahlen vergleichen

Beim Vergleichen hilft dir immer die Zahlengerade.
Weiter rechts bedeutet grösser.
Weiter links bedeutet kleiner.
Das gilt auch bei negativen Zahlen.

Beispiel: $-3$ und $-7$.
$-3$ liegt weiter rechts.
Darum ist $-3$ grösser als $-7$.
Viele Fehler entstehen genau hier.

Eine Zahl mit grösserem Betrag ist nicht automatisch grösser.
Zum Beispiel ist $-10$ kleiner als $-2$.
Achte immer auf die Lage zur null.

Rechnen mit negativen Zahlen

Negative Zahlen addieren

Beim Addieren bewegst du dich auf der Zahlengerade.
Eine positive Zahl geht nach rechts.
Eine negative Zahl geht nach links.
Du startest bei der ersten Zahl.

Beispiel: $-4 + 2$.
Du startest bei $-4$.
Dann gehst du zwei Schritte nach rechts.
Du landest bei $-2$.

Negative Zahlen subtrahieren

Beim Subtrahieren ändert sich die Richtung.
Du bewegst dich entgegen dem Vorzeichen.
Minus minus bedeutet eine Bewegung nach rechts.
Das ist besonders wichtig.

Beispiel: $-1 - \left(-3\right)$.
Du startest bei $-1$.
Dann gehst du drei Schritte nach rechts.
Du landest bei $2$.

Doppelte Minuszeichen sind eine häufige Fehlerquelle.
Minus minus ist nicht minus.
Es bedeutet eine Richtungsumkehr.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei Aufgaben mit negativen Zahlen vor

1. Zeichne dir die Zahlengerade im Kopf.
2. Markiere den Startpunkt.
3. Prüfe das Vorzeichen der zweiten Zahl.
4. Bewege dich nach links oder rechts.
5. Lies das Ergebnis ab.

Diese Methode funktioniert bei allen Aufgaben.
Sie ist besonders am Anfang sehr hilfreich.
Mit Übung brauchst du sie immer seltener.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache negative Zahl

Ordne die Zahl $-3$ ein.

$-3$ liegt links von null.
Sie ist kleiner als $-1$.
Sie ist grösser als $-5$.

Beispiel:

Beispiel 2: Rechnen mit negativen Zahlen

Berechne $-5 + 3$.

Du startest bei $-5$.
Du gehst drei Schritte nach rechts.

$-5 + 3 = -2$

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit Temperatur

Am Abend sind es $-6 \, ^\circ\text{C}$.
In der Nacht sinkt die Temperatur um $4 \, ^\circ\text{C}$.

Die Rechnung lautet:
$-6 + \left(-4\right) = -10$

Am Morgen sind es $-10 \, ^\circ\text{C}$.

Übung: Teste dein Verständnis

❓ Frage:

Welche Zahl ist kleiner: $-8$ oder $-3$?

Lösung anzeigen

-8 ist kleiner als -3, denn es gilt $-8 < -3$.

❓ Frage:

Berechne $-2 + \left(-5\right)$.

Lösung anzeigen

$-2 + \left(-5\right) = -7$

❓ Frage:

Berechne $-4 - \left(-1\right)$.

Lösung anzeigen

$-4 - \left(-1\right) = -3$

Zusammenfassung

Negative Zahlen beschreiben Werte unter null.
Sie liegen links auf der Zahlengerade.
Ihre Grösse erkennst du an der Lage zur null.
Mit klaren Bildern rechnest du sicher und korrekt.