Multiplizieren und Dividieren mit ganzen Zahlen – So klappt's mit Plus und Minus

Stell dir vor, du leihst dir jeden Tag Geld von deinem Freund. Jeden Tag fünf Franken. Nach einer Woche hast du dir siebenmal Geld geliehen. Wie viel Schulden hast du jetzt insgesamt?

Oder anders herum: Du bezahlst jeden Tag etwas von deinen Schulden zurück. Drei Tage lang, jeweils zehn Franken. Wie verändert sich dein Kontostand?

Diese Situationen zeigen, dass Mathematik nicht nur mit positiven Zahlen funktioniert. Manchmal rechnest du mit Schulden, Temperaturen unter null oder Tiefe unter dem Meeresspiegel. Dafür brauchst du die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen.

Von der Alltagssituation zur Rechnung

Nehmen wir das Schulden-Beispiel: Du leihst dir fünfmal drei Franken. Das sind Schulden, also minus drei Franken. Die Rechnung lautet:

$$5 \cdot (-3) = -15$$

Du hast jetzt fünfzehn Franken Schulden. Das Ergebnis ist negativ, weil du etwas Negatives (Schulden) vervielfachst.

Aber was passiert, wenn Schulden verschwinden? Stell dir vor, jemand streicht dir dreimal fünf Franken Schulden. Das ist wie: “Minus mal Minus”. Die Schulden werden weniger – dein Kontostand verbessert sich:

$$(-3) \cdot (-5) = +15$$

Das Ergebnis ist positiv. Wenn etwas Negatives weggenommen wird, ist das etwas Gutes.

Die Vorzeichenregeln

DEFINITION

Beim Multiplizieren und Dividieren gilt:

• Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis: $+ \cdot + = +$ und $- \cdot - = +$
• Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis: $+ \cdot - = -$ und $- \cdot + = -$

Als Formel für zwei Zahlen $a$ und $b$:

$$(+a) \cdot (+b) = +ab$$$$(-a) \cdot (-b) = +ab$$$$(+a) \cdot (-b) = -ab$$$$(-a) \cdot (+b) = -ab$$

Die gleichen Regeln gelten für die Division.

Merke dir: Gleich und gleich gibt plus. Ungleich gibt minus.

Du kannst dir das auch mit Daumen vorstellen. Daumen hoch ist Plus, Daumen runter ist Minus. Zwei Daumen hoch zusammen? Positiv. Zwei Daumen runter zusammen? Auch positiv (doppelte Verneinung). Ein Daumen hoch und einer runter? Negativ.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei Multiplikation und Division mit ganzen Zahlen vor:

1. Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses. Zähle die negativen Vorzeichen. Eine gerade Anzahl ergibt Plus. Eine ungerade Anzahl ergibt Minus.

2. Berechne den Betrag. Multipliziere oder dividiere die Zahlen ohne Vorzeichen.

3. Kombiniere Vorzeichen und Betrag. Setze das Vorzeichen vor das Ergebnis.

Bei mehreren Faktoren zählst du einfach alle Minuszeichen. Drei Minuszeichen? Ungerade, also Minus. Vier Minuszeichen? Gerade, also Plus.

Häufige Fehler:

• Vorzeichen vergessen: Schreibe bei negativen Ergebnissen immer das Minus hin. $(-2) \cdot 3 = -6$, nicht $6$.

• Klammern weglassen: Ohne Klammern kann $-3^2$ missverstanden werden. Meinst du $(-3)^2 = 9$ oder $-(3^2) = -9$? Setze Klammern!

• Punkt-vor-Strich ignorieren: Bei $-2 + 3 \cdot (-4)$ rechnest du zuerst $3 \cdot (-4) = -12$, dann $-2 + (-12) = -14$.

• Division durch null: Egal ob positiv oder negativ – durch null darfst du nie teilen.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Multiplikation

Berechne $(-4) \cdot 7$.

Schritt 1: Vorzeichen bestimmen. Ein Faktor ist negativ, einer positiv. Verschiedene Vorzeichen ergeben Minus.

Schritt 2: Betrag berechnen. $4 \cdot 7 = 28$.

Schritt 3: Ergebnis zusammensetzen.

$$(-4) \cdot 7 = -28$$

Beispiel:

Lösung: $(-4) \cdot 7 = -28$

Die Rechnung hat ein negatives und ein positives Vorzeichen. Das Ergebnis ist negativ.

Beispiel 2: Division mit zwei negativen Zahlen

Berechne $(-24) : (-6)$.

Schritt 1: Vorzeichen bestimmen. Beide Zahlen sind negativ. Gleiche Vorzeichen ergeben Plus.

Schritt 2: Betrag berechnen. $24 : 6 = 4$.

Schritt 3: Ergebnis zusammensetzen.

$$(-24) : (-6) = +4 = 4$$

Beispiel:

Lösung: $(-24) : (-6) = 4$

Minus geteilt durch Minus ergibt Plus. Das positive Vorzeichen schreibt man üblicherweise nicht.

Beispiel 3: Textaufgabe mit Temperatur

Die Temperatur sinkt jeden Tag um $3$ Grad. Wie verändert sich die Temperatur in einer Woche (7 Tage)?

Überlegung: “Sinken” bedeutet Minus. Also sinkt die Temperatur um $-3$ Grad pro Tag. Für 7 Tage multiplizieren wir.

Rechnung:

$$7 \cdot (-3) = -21$$

Beispiel:

Lösung: Die Temperatur sinkt in einer Woche um $21$ Grad.

Ein positiver Faktor (7 Tage) mal ein negativer Faktor (Sinken um 3 Grad) ergibt ein negatives Ergebnis.

Mehrere Faktoren

Bei mehr als zwei Faktoren wendest du die Regel mehrfach an. Oder du zählst die Minuszeichen:

$$(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = ?$$

Drei Minuszeichen – das ist ungerade. Das Ergebnis wird negativ.

$$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$ $$(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$$

Bei vier negativen Faktoren wäre das Ergebnis positiv. Gerade Anzahl bedeutet Plus.

Quiz

❓ Frage: Berechne: $(-5) \cdot (-8)$

Lösung anzeigen

$(-5) \cdot (-8) = 40$

Beide Faktoren sind negativ. Minus mal Minus ergibt Plus. Der Betrag ist $5 \cdot 8 = 40$.

❓ Frage: Berechne: $(-36) : 9$

Lösung anzeigen

$(-36) : 9 = -4$

Ein Faktor negativ, einer positiv. Verschiedene Vorzeichen ergeben Minus. Der Betrag ist $36 : 9 = 4$.

❓ Frage: Die Temperatur beträgt $-8$ Grad. Sie verdreifacht sich. Wie kalt ist es jetzt?

Lösung anzeigen

$3 \cdot (-8) = -24$ Grad

Achtung: “Verdreifachen” einer negativen Temperatur macht sie noch kälter, nicht wärmer. Das Ergebnis bleibt negativ.

Zusammenfassung

Beim Multiplizieren und Dividieren mit ganzen Zahlen entscheidest du zuerst über das Vorzeichen. Gleiche Vorzeichen geben Plus, verschiedene geben Minus. Dann rechnest du mit den Beträgen wie gewohnt.

Diese Regeln brauchst du später auch für Terme mit Variablen und für Gleichungen. Es lohnt sich, sie jetzt sicher zu beherrschen.