Addieren und Subtrahieren (ganze Zahlen) – So rechnest du mit Plus und Minus

Stell dir vor, du stehst in einem Aufzug im Erdgeschoss eines grossen Kaufhauses. Das Erdgeschoss ist die Etage Null. Du fährst drei Stockwerke nach oben in die Technikabteilung. Dann merkst du, dass du noch in die Tiefgarage musst – also fährst du fünf Stockwerke nach unten. Wo landest du? Du warst auf Etage 3 und bist 5 runtergefahren. Das bringt dich zwei Stockwerke unter die Erde, also auf Etage −2. Genau so funktioniert das Rechnen mit ganzen Zahlen. Du bewegst dich auf einer Linie – manchmal nach oben (Plus), manchmal nach unten (Minus). Und manchmal landest du dabei im negativen Bereich.

Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen sind alle Zahlen ohne Komma. Dazu gehören die positiven Zahlen wie $1, 2, 3, \ldots$, die Null und die negativen Zahlen wie $-1, -2, -3, \ldots$

Die Menge der ganzen Zahlen schreibt man als $\mathbb{Z}$. Das Z kommt vom deutschen Wort “Zahlen”.

Auf dem Zahlenstrahl liegen die positiven Zahlen rechts von der Null. Die negativen Zahlen liegen links davon.

$$\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, \ldots$$

Der Zahlenstrahl als Hilfsmittel

Beim Rechnen mit ganzen Zahlen hilft dir der Zahlenstrahl enorm. Stell dir vor, du stehst auf einer bestimmten Position und gehst dann Schritte nach rechts oder links.

Addition (+): Du gehst nach rechts (in Richtung der grösseren Zahlen).

Subtraktion (−): Du gehst nach links (in Richtung der kleineren Zahlen).

Aber Achtung: Das Vorzeichen der Zahl, die du addierst oder subtrahierst, beeinflusst die Richtung zusätzlich!

Regeln für die Addition

DEFINITION

Addition ganzer Zahlen:

1. Gleiches Vorzeichen: Beträge addieren, Vorzeichen übernehmen. $a + b = +(|a| + |b|) \quad \text{wenn } a > 0 \text{ und } b > 0$ $a + b = -(|a| + |b|) \quad \text{wenn } a < 0 \text{ und } b < 0$

2. Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen der betragsgrösseren Zahl übernehmen. $a + b = \pm(|a| - |b|)$ (Vorzeichen der betragsgrösseren Zahl)

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null – also die Zahl ohne Vorzeichen. Der Betrag von $-7$ ist $7$, geschrieben als $|-7| = 7$.

So stellst du dir die Addition vor

Denke an ein Thermometer. Positive Zahlen sind Temperaturen über Null, negative unter Null.

Wenn du $(-3) + (-5)$ rechnest, bist du bei $-3$ Grad und es wird noch $5$ Grad kälter. Du landest bei $-8$ Grad.

Wenn du $(-7) + 4$ rechnest, startest du bei $-7$ Grad und es wird $4$ Grad wärmer. Du landest bei $-3$ Grad.

Schritt-für-Schritt-Anleitung Addition

1. Bestimme die Vorzeichen beider Zahlen.
2. Haben beide das gleiche Vorzeichen? Dann addiere die Beträge und übernimm das gemeinsame Vorzeichen.
3. Haben sie verschiedene Vorzeichen? Dann subtrahiere den kleineren Betrag vom grösseren. Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der betragsgrösseren Zahl.

Regeln für die Subtraktion

DEFINITION

Subtraktion ganzer Zahlen:

Das Subtrahieren einer Zahl ist dasselbe wie das Addieren ihrer Gegenzahl. $a - b = a + (-b)$

Die Gegenzahl von $b$ ist $-b$. Die Gegenzahl von $-5$ ist $+5$.

Diese Regel vereinfacht alles: Du wandelst jede Subtraktion in eine Addition um!

Der Trick mit den doppelten Vorzeichen

Wenn zwei Vorzeichen direkt aufeinandertreffen, kannst du sie zusammenfassen:

• $+ (+) = +$ (Plus und Plus ergibt Plus)
• $+ (-) = -$ (Plus und Minus ergibt Minus)
• $- (+) = -$ (Minus und Plus ergibt Minus)
• $- (-) = +$ (Minus und Minus ergibt Plus)

Die letzte Regel überrascht viele. Aber denk dran: “Minus mal Minus ergibt Plus” – das gilt auch hier.

Typische Fehler beim Rechnen mit Vorzeichen:

1. Vorzeichen vergessen: Bei $5 - (-3)$ wird oft nur $5 - 3 = 2$ gerechnet. Richtig ist: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

2. Minus vor der Klammer übersehen: Bei $-(-7)$ ist das Ergebnis $+7$, nicht $-7$.

3. Beträge verwechseln: Bei $(-4) + 9$ gewinnt die $+9$, weil $9 > 4$. Das Ergebnis ist positiv: $+5$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung Subtraktion

1. Schreibe die Subtraktion als Addition der Gegenzahl um: $a - b = a + (-b)$.
2. Vereinfache doppelte Vorzeichen, falls vorhanden.
3. Wende die Regeln der Addition an.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Addition mit gleichen Vorzeichen

Berechne $(-6) + (-8)$.

Lösung:

Beide Zahlen sind negativ. Also addieren wir die Beträge und setzen ein Minus davor.

$$\begin{aligned} (-6) + (-8) &= -(6 + 8) \\ &= -14 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $-14$.

Beispiel:

Beispiel 2: Subtraktion mit Vorzeichenwechsel

Berechne $(-5) - (-12)$.

Lösung:

Zuerst wandeln wir die Subtraktion in eine Addition um. Die Gegenzahl von $-12$ ist $+12$.

$$(-5) - (-12) = (-5) + (+12)$$

Jetzt haben wir verschiedene Vorzeichen. Der Betrag von $12$ ist grösser als der von $5$. Also wird das Ergebnis positiv.

$$\begin{aligned} (-5) + 12 &= +(12 - 5) \\ &= +7 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $7$.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit Kontostand

Lena hat auf ihrem Konto CHF $-35$ (also $35$ Franken Schulden). Sie zahlt CHF $50$ ein und hebt danach CHF $80$ ab. Wie hoch ist ihr neuer Kontostand?

Lösung:

Wir rechnen schrittweise:

Startkontostand: $-35$

Nach der Einzahlung: $-35 + 50 = +15$

Nach der Abhebung: $15 - 80 = 15 + (-80) = -(80 - 15) = -65$

Lenas Kontostand beträgt CHF $-65$. Sie hat also $65$ Franken Schulden.

Quiz

❓ Frage: Berechne: $(-9) + (-4)$

Lösung anzeigen

$(-9) + (-4) = -(9 + 4) = -13$

Beide Zahlen sind negativ, also addieren wir die Beträge und setzen ein Minus davor.

❓ Frage: Berechne: $7 - (-3)$

Lösung anzeigen

$7 - (-3) = 7 + 3 = 10$

Minus und Minus ergibt Plus. Daher wird aus der Subtraktion eine Addition.

❓ Frage: Die Temperatur beträgt $-8$ Grad. Sie steigt um $5$ Grad. Wie kalt ist es jetzt?

Lösung anzeigen

$-8 + 5 = -(8 - 5) = -3$

Es ist jetzt $-3$ Grad. Der Betrag von $8$ ist grösser, daher bleibt das Ergebnis negativ.