Winkel im Dreieck und Viereck – So findest du jeden fehlenden Winkel

Stell dir vor, du baust ein Zelt auf. Die drei Stangen treffen sich oben in einer Spitze. Wenn du eine Stange verschiebst, ändern sich automatisch auch die anderen Ecken. Kippst du eine Stange zu weit nach aussen, passt das Zelt nicht mehr zusammen.

Bei einem Bilderrahmen ist es ähnlich. Die vier Ecken müssen genau passen. Ist eine Ecke zu spitz oder zu stumpf, klafft der Rahmen auseinander.

Dreiecke und Vierecke haben eine geheime Regel. Die Winkel in ihren Ecken ergeben zusammen immer dieselbe Summe. Diese Regel hilft dir, fehlende Winkel zu berechnen.

Die Winkelsumme verstehen

Vom Zelt zur Mathematik

Beim Zelt hast du gemerkt: Die drei Ecken hängen zusammen. Änderst du einen Winkel, müssen sich die anderen anpassen.

In der Mathematik drücken wir das so aus: Alle Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen einen festen Wert. Egal wie schief oder spitz das Dreieck aussieht.

Beim Bilderrahmen gilt dasselbe für vier Ecken. Die vier Innenwinkel eines Vierecks ergeben zusammen ebenfalls einen festen Wert.

DEFINITION

Winkelsumme im Dreieck:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Winkelsumme im Viereck:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Die griechischen Buchstaben $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma) und $\delta$ (Delta) stehen für die einzelnen Winkel in den Ecken.

Was bedeutet das?

Die Winkelsumme ist wie ein Kuchen, den du aufteilen musst. Im Dreieck hast du genau $180°$ zu verteilen. Im Viereck sind es $360°$.

Stell dir den Winkel als Öffnung zwischen zwei Linien vor. Je grösser die Zahl, desto weiter die Öffnung. Ein rechter Winkel hat $90°$. Das ist wie eine Zimmerecke.

Im Dreieck passen also genau zwei rechte Winkel hinein: $90° + 90° = 180°$. Im Viereck sind es vier rechte Winkel: $4 \cdot 90° = 360°$.

So findest du einen fehlenden Winkel

Bei Dreiecken:

1. Addiere alle bekannten Winkel.
2. Ziehe das Ergebnis von $180°$ ab.
3. Das Ergebnis ist der fehlende Winkel.

Bei Vierecken:

1. Addiere alle bekannten Winkel.
2. Ziehe das Ergebnis von $360°$ ab.
3. Das Ergebnis ist der fehlende Winkel.

Typischer Fehler: Dreieck und Viereck verwechseln

Viele Schüler rechnen bei Vierecken versehentlich mit $180°$ statt $360°$. Zähle vor dem Rechnen immer die Ecken! Drei Ecken bedeuten $180°$. Vier Ecken bedeuten $360°$.

Weiterer Fehler: Winkel vergessen

Prüfe am Ende, ob deine Antwort Sinn ergibt. Ein Winkel kann nicht negativ sein. Er kann auch nicht grösser als $180°$ in einem Dreieck sein.

Beispiele

Beispiel 1: Einfaches Dreieck

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 60°$ und $\beta = 80°$. Wie gross ist $\gamma$?

Beispiel:

Gegeben: $\alpha = 60°$, $\beta = 80°$

Gesucht: $\gamma$

Rechnung:

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$.

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Wir setzen die bekannten Winkel ein:

$$60° + 80° + \gamma = 180°$$

Wir addieren die bekannten Winkel:

$$140° + \gamma = 180°$$

Wir lösen nach $\gamma$ auf:

$$\gamma = 180° - 140° = 40°$$

Antwort: Der dritte Winkel beträgt $40°$.

Probe: $60° + 80° + 40° = 180°$ ✓

Beispiel 2: Viereck mit drei bekannten Winkeln

Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 70°$, $\beta = 110°$ und $\gamma = 85°$. Berechne $\delta$.

Beispiel:

Gegeben: $\alpha = 70°$, $\beta = 110°$, $\gamma = 85°$

Gesucht: $\delta$

Rechnung:

Die Winkelsumme im Viereck beträgt $360°$.

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Wir setzen ein:

$$70° + 110° + 85° + \delta = 360°$$

Wir addieren die bekannten Winkel:

$$265° + \delta = 360°$$

Wir lösen nach $\delta$ auf:

$$\delta = 360° - 265° = 95°$$

Antwort: Der vierte Winkel beträgt $95°$.

Probe: $70° + 110° + 85° + 95° = 360°$ ✓

Beispiel 3: Textaufgabe – Das gleichschenklige Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich gross. Der Winkel an der Spitze beträgt $50°$. Wie gross sind die Basiswinkel?

Beispiel:

Gegeben: Winkel an der Spitze $= 50°$, zwei gleiche Basiswinkel

Gesucht: Grösse der Basiswinkel

Überlegung:

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel identisch. Wir nennen sie beide $\alpha$. Der dritte Winkel ist $50°$.

Rechnung:

$$\alpha + \alpha + 50° = 180°$$

Wir fassen zusammen:

$$2 \cdot \alpha + 50° = 180°$$

Wir subtrahieren $50°$:

$$2 \cdot \alpha = 130°$$

Wir teilen durch $2$:

$$\alpha = 65°$$

Antwort: Beide Basiswinkel betragen jeweils $65°$.

Probe: $65° + 65° + 50° = 180°$ ✓

Besondere Dreiecke und Vierecke

Manche Formen haben spezielle Eigenschaften. Diese helfen beim Rechnen.

Gleichseitiges Dreieck: Alle drei Winkel sind gleich gross. Da $180° \div 3 = 60°$, hat jeder Winkel $60°$.

Rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel beträgt genau $90°$. Die anderen beiden Winkel ergeben zusammen $90°$.

Rechteck: Alle vier Winkel betragen $90°$. Die Probe: $4 \cdot 90° = 360°$ ✓

Quadrat: Wie das Rechteck hat es vier rechte Winkel.

Quiz

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 45°$ und $\beta = 90°$. Wie gross ist $\gamma$?

Lösung anzeigen

$$\gamma = 180° - 45° - 90° = 45°$$

Der dritte Winkel beträgt $45°$.

❓ Frage: Ein Viereck hat drei Winkel: $80°$, $100°$ und $90°$. Wie gross ist der vierte Winkel?

Lösung anzeigen

$$\delta = 360° - 80° - 100° - 90° = 90°$$

Der vierte Winkel beträgt $90°$.

❓ Frage: In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt ein Basiswinkel $70°$. Wie gross ist der Winkel an der Spitze?

Lösung anzeigen

Da beide Basiswinkel gleich sind, gilt:

$$\text{Spitzenwinkel} = 180° - 70° - 70° = 40°$$

Der Winkel an der Spitze beträgt $40°$.

Zusammenfassung

Die Winkelsumme ist dein Werkzeug für fehlende Winkel. Im Dreieck nutzt du $180°$. Im Viereck nutzt du $360°$.

Der Rechenweg ist immer gleich: Bekannte Winkel addieren, dann von der Winkelsumme abziehen. Vergiss die Probe nicht. Sie zeigt dir, ob dein Ergebnis stimmt.