Vielecke verstehen – Von Dreiecken bis zum Zehneck

Darum geht's

Stell dir vor, du baust mit Streichhölzern verschiedene geschlossene Figuren auf dem Tisch. Du legst drei Streichhölzer aneinander – fertig ist ein Dreieck. Mit vier Streichhölzern entsteht ein Viereck. Und was passiert, wenn du fünf, sechs oder sogar zehn Streichhölzer verwendest?

Genau solche Figuren begegnen dir überall: Verkehrsschilder, Bienenwaben, Fussballfelder, Stoppzeichen. Sie alle haben etwas gemeinsam – es sind geschlossene Figuren mit geraden Seiten. In der Mathematik haben diese Figuren einen besonderen Namen: Vielecke oder Polygone. In diesem Artikel lernst du alles darüber.

Eine kleine Zeitreise

Menschen beschäftigen sich seit Tausenden von Jahren mit Vielecken. Die Geschichte der Polygone reicht weit zurück – und sie ist spannender, als du vielleicht denkst.

Die alten Ägypter kannten Vielecke aus dem Alltag. Beim Bau der Pyramiden und beim Vermessen von Ackerland nach den Nilüberschwemmungen waren geometrische Figuren unverzichtbar. Die Felder hatten oft die Form von unregelmässigen Vierecken. Die Ägypter entwickelten praktische Methoden, um Flächen zu berechnen.

Die alten Griechen trieben die Mathematik der Vielecke auf ein neues Niveau. Der Mathematiker Euklid schrieb um 300 v. Chr. sein berühmtes Werk „Elemente”. Darin beschrieb er systematisch, wie man Vielecke konstruiert und welche Eigenschaften sie haben. Er interessierte sich besonders für regelmässige Vielecke – also solche, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross sind.

Ein anderer griechischer Mathematiker, Archimedes, nutzte Vielecke, um die Kreiszahl $\pi$ zu berechnen. Seine Idee war genial: Er legte Vielecke mit immer mehr Ecken in einen Kreis und um einen Kreis. Je mehr Ecken das Vieleck hatte, desto ähnlicher wurde es dem Kreis. Mit einem 96-Eck berechnete er $\pi$ auf mehrere Dezimalstellen genau.

Im Mittelalter spielten Vielecke in der Architektur eine grosse Rolle. Gotische Kathedralen sind voller regelmässiger Vielecke – in Fensterverzierungen, Bodenmosaiken und Gewölbestrukturen. Steinmetze und Baumeister kannten die Geometrie der Polygone sehr genau.

Heute begegnen dir Vielecke überall in Technik und Design. Computer-Grafiken bestehen aus Millionen winziger Dreiecke. Solarmodule sind Vierecke. Das Stoppschild ist ein regelmässiges Achteck. Und in der Natur bauen Bienen ihre Waben als regelmässige Sechsecke – weil das die stabilste und materialeffizienteste Form ist.

Das Wissen, das du in diesem Artikel lernst, hat also eine jahrtausendealte Geschichte. Du stehst auf den Schultern von Mathematikern aus aller Welt.

Die Grundlagen

Lass uns von deinem Streichholz-Experiment zur Mathematik wechseln. Jedes Mal, wenn du Streichhölzer zu einer geschlossenen Figur zusammenlegst, entstehen automatisch Ecken. Nämlich dort, wo sich zwei Streichhölzer treffen.

Definition

Ein Vieleck (auch: Polygon) ist eine geschlossene, ebene Figur, die von mindestens drei geraden Strecken begrenzt wird.

• Die Strecken heissen Seiten.
• Die Punkte, an denen sich zwei Seiten treffen, heissen Ecken (oder Eckpunkte).
• Die Winkel im Inneren der Figur heissen Innenwinkel.

Merksatz: Die Anzahl der Ecken ist immer gleich der Anzahl der Seiten!

$\text{Anzahl Ecken} = \text{Anzahl Seiten} = n$

Stell dir vor, du spannst ein Gummiband um mehrere Nägel in einem Brett. Das Gummiband bildet automatisch ein Vieleck – je nachdem, wie viele Nägel du verwendest:

• 3 Nägel → Dreieck (3 Ecken, 3 Seiten)
• 4 Nägel → Viereck (4 Ecken, 4 Seiten)
• 5 Nägel → Fünfeck (5 Ecken, 5 Seiten)

Der Name verrät dir immer sofort, wie viele Ecken und Seiten die Figur hat. In der Mathematik haben Vielecke spezielle Namen aus dem Griechischen oder Lateinischen:

Anzahl Ecken	Deutscher Name	Fachbegriff
3	Dreieck	Trigon
4	Viereck	Tetragon
5	Fünfeck	Pentagon
6	Sechseck	Hexagon
7	Siebeneck	Heptagon
8	Achteck	Oktagon
9	Neuneck	Nonagon
10	Zehneck	Dekagon
12	Zwölfeck	Dodekagon
$n$	$n$-Eck	$n$-Gon

Es gibt noch zwei wichtige Unterscheidungen. Ein regelmässiges Vieleck hat alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross. Ein unregelmässiges Vieleck hat unterschiedliche Seiten oder Winkel. Ausserdem kann ein Vieleck konvex sein (alle Ecken zeigen nach aussen) oder konkav (mindestens eine Ecke zeigt nach innen).

Die Kernmethode

Hier kommt eine spannende Entdeckung. Egal wie „verzogen” ein Vieleck aussieht – die Summe aller Innenwinkel hängt nur von der Anzahl der Ecken ab.

Definition

Die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit $n$ Ecken berechnet sich mit:

$\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Ecken (und Seiten) des Vielecks.

Für regelmässige Vielecke gilt zusätzlich:

$\text{Ein Innenwinkel} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Warum funktioniert diese Formel? Du kannst jedes Vieleck in Dreiecke zerlegen. Dazu ziehst du von einer Ecke aus Linien zu allen anderen Ecken – ausser zu den beiden direkt benachbarten. Ein Viereck teilst du so in 2 Dreiecke. Ein Fünfeck in 3 Dreiecke. Ein $n$-Eck in $(n-2)$ Dreiecke.

Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von $180°$ hat, multiplizierst du einfach:

$\text{Innenwinkelsumme} = \underbrace{(n-2)}_{\text{Anzahl Dreiecke}} \cdot 180°$

So gehst du immer vor:

1. Zähle die Anzahl der Ecken: $n$
2. Berechne $n - 2$
3. Multipliziere mit $180°$

Beispiel:

Beispiel 1: Innenwinkelsumme eines Fünfecks

Wie gross ist die Innenwinkelsumme eines Fünfecks?

Lösung:

Ein Fünfeck hat $n = 5$ Ecken. Wende die Formel an:

$\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$

$= (5 - 2) \cdot 180°$

$= 3 \cdot 180°$

$= 540°$

Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $540°$.

Probe: Zerlege das Fünfeck gedanklich in Dreiecke. Von einer Ecke aus ziehst du 2 Diagonalen – das ergibt 3 Dreiecke. Drei Dreiecke haben zusammen $3 \cdot 180° = 540°$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Winkel im regelmässigen Achteck

Ein Stoppschild hat die Form eines regelmässigen Achtecks. Wie gross ist jeder einzelne Innenwinkel?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Innenwinkelsumme. Ein Achteck hat $n = 8$ Ecken:

$\text{Innenwinkelsumme} = (8 - 2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$

Schritt 2: Bei einem regelmässigen Achteck sind alle 8 Winkel gleich gross. Teile deshalb durch 8:

$\text{Ein Innenwinkel} = \frac{1080°}{8} = 135°$

Jeder Innenwinkel des Stoppschilds misst $135°$.

Merke: Das Stoppschild hat bewusst diese Form. Ein Achteck fällt von Weitem auf – anders als ein Viereck oder Dreieck.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Kein Vieleck ohne geschlossene Form: Nicht jede Figur mit Ecken ist ein Vieleck. Eine Figur muss geschlossen sein (kein offenes Ende), nur aus geraden Linien bestehen und mindestens 3 Ecken haben. Ein Kreis ist kein Vieleck. Eine offene Zickzack-Linie ist kein Vieleck.

Achtung

Klammern zuerst berechnen: Bei der Formel $(n-2) \cdot 180°$ musst du zuerst die Klammer ausrechnen. Erst dann multiplizierst du mit $180°$.

Falsch: $6 - 2 \cdot 180° = 6 - 360° = -354°$ ❌

Richtig: $(6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$ ✓

Negative Winkel gibt es bei Vielecken nicht. Ein negatives Ergebnis zeigt dir sofort: Hier stimmt etwas mit der Rechenreihenfolge nicht.

Achtung

Regelmässig heisst beides: Ein Vieleck ist nur dann regelmässig, wenn sowohl alle Seiten gleich lang als auch alle Winkel gleich gross sind. Eine Raute hat zwar alle Seiten gleich lang, aber die Winkel sind unterschiedlich. Eine Raute ist deshalb kein regelmässiges Viereck (kein Quadrat).

Achtung

Konvex und konkav verwechseln: Bei einem konvexen Vieleck zeigen alle Ecken nach aussen. Das Gummiband-Bild hilft: Wenn du ein Gummiband um das Vieleck legst, liegt es überall an. Bei einem konkaven Vieleck gibt es mindestens eine Ecke, die nach innen zeigt. Das Gummiband liegt dann nicht überall an. Sterne und Pfeile sind typisch konkave Vielecke.

Beispiel:

Beispiel 3: Wie viele Ecken hat das Vieleck?

Die Innenwinkelsumme eines Vielecks beträgt $1440°$. Um welches Vieleck handelt es sich?

Lösung:

Du kennst die Formel: $\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$

Setze $1440°$ ein und löse nach $n$ auf:

$1440° = (n - 2) \cdot 180°$

Teile beide Seiten durch $180°$:

$\frac{1440°}{180°} = n - 2$

$8 = n - 2$

Addiere $2$ auf beiden Seiten:

$n = 8 + 2 = 10$

Es handelt sich um ein Zehneck (Dekagon).

Probe: $(10 - 2) \cdot 180° = 8 \cdot 180° = 1440°$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Fehlenden Winkel berechnen

Ein Fünfeck hat vier bekannte Innenwinkel: $100°$, $110°$, $115°$, $95°$. Wie gross ist der fünfte Winkel?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Innenwinkelsumme eines Fünfecks:

$\text{Innenwinkelsumme} = (5 - 2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$

Schritt 2: Addiere die vier bekannten Winkel:

$100° + 110° + 115° + 95° = 420°$

Schritt 3: Ziehe die Summe von der Innenwinkelsumme ab:

$x = 540° - 420° = 120°$

Der fünfte Innenwinkel beträgt $120°$.

Probe: $100° + 110° + 115° + 95° + 120° = 540°$ ✓

Vertiefung

Du kennst jetzt die Grundlagen der Vielecke. Jetzt schauen wir uns zwei fortgeschrittene Aspekte an.

Diagonalen eines Vielecks

Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei nicht benachbarte Ecken verbindet. Beim Dreieck gibt es keine Diagonalen. Beim Viereck gibt es genau 2. Beim Fünfeck gibt es 5. Die Anzahl der Diagonalen wächst schnell.

Definition

Ein Vieleck mit $n$ Ecken hat genau

$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$

Diagonalen. Dabei zählt die Formel jede Verbindungslinie zwischen zwei Ecken – abzüglich der $n$ Seiten selbst.

$n$	Vieleck	Diagonalen
3	Dreieck	0
4	Viereck	2
5	Fünfeck	5
6	Sechseck	9
8	Achteck	20
10	Zehneck	35

Warum lautet die Formel so? Von jeder der $n$ Ecken aus kannst du zu $(n-3)$ anderen Ecken eine Diagonale ziehen. Du ziehst nämlich keine Linie zu dir selbst und keine zu den beiden Nachbarecken – das wären Seiten, keine Diagonalen. Da jede Diagonale zwei Endpunkte hat, teilst du durch 2, um Doppelzählungen zu vermeiden.

Vielecke in der Natur und Technik

Regelmässige Sechsecke tauchen in der Natur erstaunlich oft auf. Bienenwaben sind das bekannteste Beispiel. Warum Sechsecke? Sie füllen eine Fläche lückenlos aus und brauchen dabei am wenigsten Material für die Trennwände. Basaltsäulen (Gesteinsformationen) entstehen ebenfalls oft als Sechsecke. Schneeflocken haben eine sechszählige Symmetrie. In der Technik nutzt man Sechsecke bei Schraubenköpfen und Muttern – sie lassen sich gut mit einem Schraubenschlüssel greifen.

Beispiel:

Beispiel 5: Diagonalen eines Sechsecks

Wie viele Diagonalen hat ein regelmässiges Sechseck?

Lösung:

Ein Sechseck hat $n = 6$ Ecken. Verwende die Formel:

$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$

$d = \frac{6 \cdot (6 - 3)}{2}$

$d = \frac{6 \cdot 3}{2}$

$d = \frac{18}{2} = 9$

Ein Sechseck hat 9 Diagonalen.

Überprüfung: Von jeder der 6 Ecken gehen je 3 Diagonalen ab (zu den 3 nicht benachbarten Ecken). Das ergibt $6 \cdot 3 = 18$. Da jede Diagonale doppelt gezählt wurde: $\dfrac{18}{2} = 9$. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst zu lösen. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (leicht) Ein Siebeneck hat wie viele Seiten?

Aufgabe 2 (leicht) Berechne die Innenwinkelsumme eines Dreiecks mit der Formel. Was fällt dir auf?

Aufgabe 3 (leicht) Berechne die Innenwinkelsumme eines Neunecks.

Aufgabe 4 (mittel) Ein regelmässiges Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $720°$. Wie gross ist ein einzelner Innenwinkel?

Aufgabe 5 (mittel) Ein Viereck hat drei bekannte Innenwinkel: $80°$, $95°$ und $110°$. Wie gross ist der vierte Winkel?

Aufgabe 6 (mittel) Die Innenwinkelsumme eines Vielecks beträgt $1800°$. Wie viele Ecken hat das Vieleck? Wie heisst es?

Aufgabe 7 (mittel) Wie viele Diagonalen hat ein Viereck? Überprüfe dein Ergebnis mit der Formel.

Aufgabe 8 (schwer) Ein regelmässiges Vieleck hat einen Innenwinkel von $150°$. Wie viele Ecken hat dieses Vieleck?

Aufgabe 9 (schwer) Ein Siebeneck hat sechs bekannte Innenwinkel: $125°$, $130°$, $128°$, $122°$, $135°$ und $118°$. Wie gross ist der siebte Winkel?

Aufgabe 10 (knifflig) Wie viele Diagonalen hat ein Zehneck? Zeige den vollständigen Rechenweg.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Vieleck ist eine geschlossene Figur aus mindestens 3 geraden Seiten.
• Die Anzahl der Ecken ist immer gleich der Anzahl der Seiten: $n$.
• Die Innenwinkelsumme lautet: $(n - 2) \cdot 180°$
• Bei einem regelmässigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross.
• Den einzelnen Winkel eines regelmässigen Vielecks berechnest du: $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$
• Die Anzahl der Diagonalen lautet: $\dfrac{n \cdot (n-3)}{2}$
• Konvex: alle Ecken zeigen nach aussen. Konkav: mindestens eine Ecke zeigt nach innen.

Quiz

❓ Frage: Ein Siebeneck hat wie viele Seiten?

Lösung anzeigen

Ein Siebeneck hat 7 Seiten. Die Anzahl der Seiten ist immer gleich der Anzahl der Ecken!

❓ Frage: Berechne die Innenwinkelsumme eines Neunecks.

Lösung anzeigen

Ein Neuneck hat $n = 9$ Ecken: $\text{Innenwinkelsumme} = (9 - 2) \cdot 180° = 7 \cdot 180° = 1260°$

❓ Frage: Ein regelmässiges Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $720°$. Wie gross ist ein einzelner Innenwinkel?

Lösung anzeigen

Da alle 6 Winkel gleich gross sind: $\text{Ein Winkel} = \frac{720°}{6} = 120°$ Jeder Innenwinkel eines regelmässigen Sechsecks beträgt $120°$.

❓ Frage: Ist ein Stoppschild konvex oder konkav?

Lösung anzeigen

Ein Stoppschild ist konvex. Alle 8 Ecken des regelmässigen Achtecks zeigen nach aussen. Ein Gummiband um das Stoppschild würde überall anliegen.

❓ Frage: Ein regelmässiges Vieleck hat einen Innenwinkel von $108°$. Wie viele Ecken hat es?

Lösung anzeigen

Setze in die Formel ein: $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 108°$ $(n-2) \cdot 180° = 108° \cdot n$ $180n - 360 = 108n$ $72n = 360$ $n = 5$ Es handelt sich um ein Fünfeck (Pentagon).

Ausblick

Du hast jetzt ein solides Fundament über Vielecke aufgebaut. In der 6. Klasse lernst du, wie man Flächen von Vielecken berechnet – zum Beispiel die Fläche eines Trapezes oder eines allgemeinen Vierecks. Später in der Mittelstufe begegnest du dem Thema Ähnlichkeit von Figuren: Zwei Vielecke können dieselbe Form, aber unterschiedliche Grössen haben. Ausserdem wirst du lernen, wie Vielecke mit dem Koordinatensystem zusammenhängen – das ist die Grundlage für Computergrafik und Navigation. Vielecke sind also kein abgeschlossenes Thema, sondern der Startpunkt für viele weitere mathematische Entdeckungen.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Ein Siebeneck hat 7 Seiten. Bei Vielecken gilt immer: Anzahl Ecken = Anzahl Seiten. Ein Siebeneck hat 7 Ecken, also auch 7 Seiten.

---

Lösung zu Aufgabe 2

Ein Dreieck hat $n = 3$ Ecken. Wende die Formel an:

$\text{Innenwinkelsumme} = (3 - 2) \cdot 180° = 1 \cdot 180° = 180°$

Das Ergebnis $180°$ kennst du bereits. Die Formel liefert für das Dreieck genau das bekannte Ergebnis. Das zeigt: Die Formel ist korrekt und gilt ab $n = 3$.

---

Lösung zu Aufgabe 3

Ein Neuneck hat $n = 9$ Ecken:

$\text{Innenwinkelsumme} = (9 - 2) \cdot 180° = 7 \cdot 180° = 1260°$

Die Innenwinkelsumme eines Neunecks beträgt $1260°$.

---

Lösung zu Aufgabe 4

Die Innenwinkelsumme eines Sechsecks beträgt $720°$. Bei einem regelmässigen Sechseck sind alle 6 Winkel gleich gross:

$\text{Ein Winkel} = \frac{720°}{6} = 120°$

Jeder Innenwinkel beträgt $120°$.

---

Lösung zu Aufgabe 5

Schritt 1: Berechne die Innenwinkelsumme eines Vierecks ($n = 4$):

$\text{Innenwinkelsumme} = (4 - 2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°$

Schritt 2: Addiere die drei bekannten Winkel:

$80° + 95° + 110° = 285°$

Schritt 3: Berechne den vierten Winkel:

$x = 360° - 285° = 75°$

Der vierte Innenwinkel beträgt $75°$.

Probe: $80° + 95° + 110° + 75° = 360°$ ✓

---

Lösung zu Aufgabe 6

Setze $1800°$ in die Formel ein:

$1800° = (n - 2) \cdot 180°$

$\frac{1800°}{180°} = n - 2$

$10 = n - 2$

$n = 12$

Es handelt sich um ein Zwölfeck (Dodekagon).

Probe: $(12 - 2) \cdot 180° = 10 \cdot 180° = 1800°$ ✓

---

Lösung zu Aufgabe 7

Ein Viereck hat $n = 4$ Ecken. Verwende die Diagonalen-Formel:

$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2} = \frac{4 \cdot (4 - 3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ein Viereck hat 2 Diagonalen.

Überprüfung: Zeichne ein Viereck $ABCD$. Die Diagonalen sind $AC$ und $BD$. Das sind tatsächlich 2 Stück. ✓

---

Lösung zu Aufgabe 8

Du weisst: Ein einzelner Innenwinkel eines regelmässigen $n$-Ecks beträgt $\dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$.

Setze $150°$ ein:

$\frac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 150°$

Multipliziere beide Seiten mit $n$:

$(n-2) \cdot 180° = 150° \cdot n$

$180n - 360 = 150n$

$30n = 360$

$n = 12$

Das Vieleck ist ein Zwölfeck (Dodekagon).

Probe: $\dfrac{(12-2) \cdot 180°}{12} = \dfrac{10 \cdot 180°}{12} = \dfrac{1800°}{12} = 150°$ ✓

---

Lösung zu Aufgabe 9

Schritt 1: Berechne die Innenwinkelsumme eines Siebenecks ($n = 7$):

$\text{Innenwinkelsumme} = (7 - 2) \cdot 180° = 5 \cdot 180° = 900°$

Schritt 2: Addiere die sechs bekannten Winkel:

$125° + 130° + 128° + 122° + 135° + 118° = 758°$

Schritt 3: Berechne den siebten Winkel:

$x = 900° - 758° = 142°$

Der siebte Innenwinkel beträgt $142°$.

Probe: $758° + 142° = 900°$ ✓

---

Lösung zu Aufgabe 10

Ein Zehneck hat $n = 10$ Ecken. Verwende die Diagonalen-Formel:

$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$

$d = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2}$

$d = \frac{10 \cdot 7}{2}$

$d = \frac{70}{2} = 35$

Ein Zehneck hat 35 Diagonalen.

Überprüfung mit dem Gedankenexperiment: Von jeder der 10 Ecken gehen $10 - 3 = 7$ Diagonalen ab. Das ergibt $10 \cdot 7 = 70$. Da jede Diagonale doppelt gezählt wurde: $\dfrac{70}{2} = 35$. ✓