Umfang und Fläche von Figuren verstehen und berechnen

Darum geht's

Stell dir vor, du möchtest deinen Garten mit einem Zaun umranden. Du gehst einmal komplett um den Garten herum und misst dabei die Strecke. Das ist der Umfang – die Länge des Weges rund um eine Fläche.

Jetzt möchtest du den Rasen neu anlegen. Dafür musst du wissen, wie viel Rasenfläche du brauchst. Du schaust von oben auf den Garten und fragst dich: Wie gross ist diese Fläche eigentlich? Das ist der Flächeninhalt – der Platz, den eine Figur einnimmt.

Umfang und Fläche sind also zwei verschiedene Dinge. Der Umfang misst den Rand. Der Flächeninhalt misst den Inhalt. In diesem Artikel lernst du beide Grössen kennen, verstehen und berechnen.

Eine kleine Zeitreise

Die Frage „Wie gross ist diese Fläche?” beschäftigt die Menschen seit Tausenden von Jahren. Sie ist keine Erfindung des Schulunterrichts, sondern eine Frage des Alltags und des Überlebens.

Im alten Ägypten – Mathe am Nil

Vor rund 4000 Jahren lebten die Ägypter entlang des Nils. Jedes Jahr überschwemmte der Fluss das Land und brachte fruchtbaren Schlamm. Das war gut für die Landwirtschaft. Aber das Hochwasser verwischte alle Grenzsteine der Felder.

Wenn das Wasser zurückwich, mussten die Ägypter die Felder neu ausmessen und aufteilen. Wer hat welche Fläche? Wer muss wie viel Steuern zahlen? Dafür brauchten sie exakte Methoden zur Flächenberechnung. Die Spezialisten für diese Arbeit hiessen „Seilspanner”. Sie benutzten Seile mit Knoten in gleichmässigen Abständen, um rechte Winkel und Strecken abzumessen.

Das berühmte Papyrus Rhind, ein ägyptisches Mathematikbuch aus dem Jahr 1650 v. Chr., enthält bereits zahlreiche Aufgaben zur Flächenberechnung. Die Ägypter kannten Formeln für Rechtecke, Dreiecke und sogar für den Kreis.

In Mesopotamien – Mathe auf Tontafeln

Zur gleichen Zeit, zwischen Euphrat und Tigris im heutigen Irak, schrieben die Babylonier ihre Mathematik auf Tontafeln. Diese Tafeln überdauerten Jahrtausende und wurden von Archäologen ausgegraben. Sie zeigen, dass auch die Babylonier Umfang und Fläche von Feldern berechnen konnten.

Interessant: Die babylonischen Mathematiker erkannten bereits, dass zwei Felder denselben Umfang haben können, aber verschiedene Grössen. Das klingt nach einer Schulaufgabe, war aber für sie eine ernste landwirtschaftliche Frage.

Im antiken Griechenland – Mathe als Wissenschaft

Die griechischen Mathematiker, allen voran Euklid (um 300 v. Chr.), sammelten das gesamte Wissen ihrer Zeit und ordneten es in strenge Beweise. Sein Werk „Elemente” enthält detaillierte Beweise für Flächenberechnungen. Euklid zeigte nicht nur, wie man rechnet, sondern auch, warum die Formeln stimmen.

Heute – Mathe überall

Flächenberechnung ist in der modernen Welt allgegenwärtig. Architekten planen Grundrisse. Landvermesser messen Grundstücke. Innenarchitekten bestellen Bodenbeläge. Bauern berechnen, wie viel Saatgut sie brauchen. Überall steckt die Frage: Wie gross ist diese Fläche?

Du lernst also kein abstraktes Schulwissen. Du lernst etwas, das Menschen seit Jahrtausenden brauchen und anwenden.

Die Grundlagen

Bevor du rechnest, musst du zwei Begriffe klar trennen: Umfang und Flächeninhalt. Viele Schülerinnen und Schüler verwechseln sie. Dabei ist der Unterschied eigentlich ganz anschaulich.

Was ist der Umfang?

Stell dir eine Ameise vor, die genau auf dem Rand einer Figur läuft. Sie startet an einem Punkt, läuft den gesamten Rand entlang und kommt wieder am Ausgangspunkt an. Die Strecke, die sie dabei zurückgelegt hat, ist der Umfang.

Der Umfang ist also eine Länge. Man misst ihn in Zentimetern, Metern oder anderen Längeneinheiten.

Definition

Ein Rechteck hat zwei Seiten der Länge $a$ (Längsseiten) und zwei Seiten der Breite $b$ (Breitseiten).

$$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)$$

Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die Seitenlänge heisst $a$.

$$U = 4 \cdot a$$

Die Einheit des Umfangs ist eine Längeneinheit: cm, m, km usw.

Was ist der Flächeninhalt?

Stell dir vor, du legst den Garten vollständig mit quadratischen Fliesen aus. Jede Fliese ist genau $1 \, \text{m} \times 1 \, \text{m}$ gross – also ein Quadratmeter. Zählst du alle Fliesen, weisst du, wie gross der Garten ist.

Das Auszählen von Fliesen ist mühsam. Zum Glück gibt es einen schnelleren Weg: Länge mal Breite. Bei einem $5 \, \text{m}$ langen und $3 \, \text{m}$ breiten Garten passen $5 \cdot 3 = 15$ Fliesen hinein.

Der Flächeninhalt misst den bedeckten Raum. Er hat eine Flächeneinheit: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ usw.

Die Kernmethode

Jetzt kommen die Formeln für den Flächeninhalt. Sie sind kurz, aber bedeutungsreich. Es lohnt sich, genau zu verstehen, was sie aussagen.

Definition

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Länge $a$ und Breite $b$ ist:

$$A = a \cdot b$$

Der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge $a$ ist:

$$A = a \cdot a = a^2$$

Das Symbol $a^2$ bedeutet ”$a$ zum Quadrat” oder ”$a$ hoch zwei”. Es bedeutet: $a$ wird mit sich selbst multipliziert. Daher kommt der Begriff “Quadratzahl” – eine Zahl, die man mit sich selbst multipliziert.

Die Einheit des Flächeninhalts ist eine Flächeneinheit: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ usw.

Warum funktioniert Länge mal Breite?

Stell dir ein Rechteck von $4 \, \text{cm}$ Länge und $3 \, \text{cm}$ Breite vor. Du kannst es mit einem Gitter aus Einheitsquadraten ($1 \, \text{cm} \times 1 \, \text{cm}$) ausfüllen. In jeder Zeile passen $4$ Quadrate. Es gibt $3$ Zeilen. Also passen insgesamt $4 \cdot 3 = 12$ Quadrate hinein. Das ist genau die Formel $A = a \cdot b$.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen:

1. Lies die Seitenlängen aus der Aufgabe ab.
2. Prüfe: Sind alle Angaben in derselben Einheit?
3. Setze die Werte in die Formel ein.
4. Rechne aus.
5. Schreibe die richtige Einheit dazu. Beim Umfang: Längeneinheit. Bei der Fläche: Flächeneinheit.

Beispiel:

Beispiel 1: Rechteck mit ganzen Zahlen

Ein Rechteck hat die Länge $a = 8 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 5 \, \text{cm}$.

Gesucht: Umfang $U$ und Flächeninhalt $A$.

Lösung Umfang:

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet $U = 2 \cdot (a + b)$.

$$U = 2 \cdot (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26 \, \text{cm}$$

Lösung Flächeninhalt:

Die Formel für den Flächeninhalt lautet $A = a \cdot b$.

$$A = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2$$

Ergebnis: Das Rechteck hat einen Umfang von $26 \, \text{cm}$ und einen Flächeninhalt von $40 \, \text{cm}^2$.

Beachte: Der Umfang hat die Einheit $\text{cm}$, der Flächeninhalt die Einheit $\text{cm}^2$. Das ist kein Fehler, sondern korrekt.

Beispiel:

Beispiel 2: Quadrat mit Dezimalzahlen

Ein quadratisches Fenster hat die Seitenlänge $a = 1{,}2 \, \text{m}$.

Gesucht: Umfang $U$ und Flächeninhalt $A$.

Lösung Umfang:

Beim Quadrat gilt $U = 4 \cdot a$.

$$U = 4 \cdot 1{,}2 = 4{,}8 \, \text{m}$$

Lösung Flächeninhalt:

Beim Quadrat gilt $A = a^2 = a \cdot a$.

$$A = 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44 \, \text{m}^2$$

Ergebnis: Das Fenster hat einen Umfang von $4{,}8 \, \text{m}$ und einen Flächeninhalt von $1{,}44 \, \text{m}^2$.

Tipp zur Dezimalmultiplikation: $1{,}2 \cdot 1{,}2$ rechnet sich leichter als $12 \cdot 12 = 144$, dann zwei Dezimalstellen: $1{,}44$.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Umfang und Fläche gibt es einige typische Fehler, die immer wieder auftauchen. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Einheiten verwechseln: Der Umfang hat immer eine Längeneinheit: cm, m, km. Der Flächeninhalt hat immer eine Flächeneinheit: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$. Diese darfst du nicht vermischen. Es ist falsch, den Umfang in $\text{cm}^2$ oder den Flächeninhalt in cm anzugeben. Kontrolliere nach jeder Aufgabe: Passt meine Einheit zur gesuchten Grösse?

Achtung

Formeln verwechseln: Umfang bedeutet “rundherum gehen” – du addierst alle Seiten. Fläche bedeutet “ausfüllen” – du multiplizierst Länge mal Breite. Eine gute Eselsbrücke: Beim Umfang gehst du “um” die Figur (addieren). Bei der Fläche legst du sie mit Fliesen “aus” (multiplizieren). Wenn du unsicher bist, stelle dir die Ameise und die Fliesen vor.

Achtung

Verschiedene Einheiten in einer Aufgabe: Manchmal ist eine Seite in cm und die andere in m angegeben. Dann musst du zuerst umrechnen. Entweder alles in cm oder alles in m. Erst dann darfst du rechnen. Beispiel: $a = 150 \, \text{cm}$ und $b = 2 \, \text{m}$. Rechne um: $b = 200 \, \text{cm}$. Dann: $A = 150 \cdot 200 = 30\,000 \, \text{cm}^2$.

Achtung

Die gesuchte Seite vergessen: Manche Aufgaben geben den Umfang oder die Fläche vor und fragen nach einer Seitenlänge. Dann musst du die Formel umkehren. Wenn $U = 24 \, \text{cm}$ und $a = 8 \, \text{cm}$ bekannt sind, kannst du $b$ mit $b = \dfrac{U}{2} - a = 12 - 8 = 4 \, \text{cm}$ berechnen. Lies die Aufgabe genau: Was ist gegeben, was ist gesucht?

Beispiel:

Beispiel 3: Fehlende Seitenlänge berechnen

Ein Rechteck hat den Umfang $U = 30 \, \text{cm}$. Die Länge beträgt $a = 9 \, \text{cm}$.

Gesucht: Die Breite $b$.

Lösung:

Die Formel lautet $U = 2 \cdot (a + b)$. Du kannst sie nach $b$ umformen:

Teile zuerst durch $2$:

$$\frac{U}{2} = a + b$$$$\frac{30}{2} = 9 + b$$$$15 = 9 + b$$

Subtrahiere $9$ auf beiden Seiten:

$$b = 15 - 9 = 6 \, \text{cm}$$

Probe: $U = 2 \cdot (9 + 6) = 2 \cdot 15 = 30 \, \text{cm}$ ✓

Ergebnis: Die Breite des Rechtecks beträgt $6 \, \text{cm}$.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe aus dem Alltag

Familie Meier möchte ihr Wohnzimmer mit neuem Parkett auslegen. Das Zimmer ist $6{,}5 \, \text{m}$ lang und $4 \, \text{m}$ breit. Parkett kostet $35 \, \text{CHF}$ pro Quadratmeter. Ausserdem soll das Zimmer eine neue Sockelleiste erhalten. Sockelleisten kosten $8 \, \text{CHF}$ pro Meter. Wie viel kostet das insgesamt?

Lösung:

Schritt 1: Flächeninhalt berechnen (für das Parkett).

$$A = 6{,}5 \cdot 4 = 26 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Umfang berechnen (für die Sockelleisten).

$$U = 2 \cdot (6{,}5 + 4) = 2 \cdot 10{,}5 = 21 \, \text{m}$$

Schritt 3: Kosten berechnen.

Parkett: $26 \cdot 35 = 910 \, \text{CHF}$

Sockelleisten: $21 \cdot 8 = 168 \, \text{CHF}$

Gesamt: $910 + 168 = 1078 \, \text{CHF}$

Ergebnis: Die Renovierung kostet insgesamt $1078 \, \text{CHF}$.

Vertiefung

Du kennst nun die Grundformeln. Jetzt schauen wir uns einen faszinierenden Zusammenhang an: Umfang und Flächeninhalt sind voneinander unabhängig. Das klingt erst seltsam, wird aber schnell klar.

Gleicher Umfang – verschiedene Flächen

Stell dir vor, du hast $16 \, \text{cm}$ Zaun. Du kannst daraus verschiedene Rechtecke bauen. Welches hat die grösste Fläche?

Länge $a$	Breite $b$	Umfang $U$	Fläche $A$
$7 \, \text{cm}$	$1 \, \text{cm}$	$16 \, \text{cm}$	$7 \, \text{cm}^2$
$6 \, \text{cm}$	$2 \, \text{cm}$	$16 \, \text{cm}$	$12 \, \text{cm}^2$
$5 \, \text{cm}$	$3 \, \text{cm}$	$16 \, \text{cm}$	$15 \, \text{cm}^2$
$4 \, \text{cm}$	$4 \, \text{cm}$	$16 \, \text{cm}$	$16 \, \text{cm}^2$

Du siehst: Alle vier Rechtecke haben denselben Umfang. Aber ihre Flächen sind verschieden. Je ähnlicher Länge und Breite sind, desto grösser wird die Fläche. Das Quadrat hat bei gleichem Umfang immer die grösste Fläche.

Dieses Wissen hat praktische Bedeutung: Wenn du ein Gehege für ein Tier bauen willst und eine bestimmte Menge Zaun hast, machst du das Gehege quadratisch. So bekommt das Tier den meisten Platz.

Definition

Bei einem festen Umfang $U$ hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt aller Rechtecke.

Umgekehrt: Bei einem festen Flächeninhalt $A$ hat das Quadrat den kleinsten Umfang aller Rechtecke.

Das nennt man das isoperimetrische Problem – es beschäftigt Mathematiker seit der Antike.

Flächeneinheiten umrechnen

Manchmal muss man zwischen Flächeneinheiten umrechnen. Das ist knifflig, weil Flächeneinheiten quadratisch skalieren.

$1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}$, aber $1 \, \text{m}^2 = 100 \cdot 100 = 10\,000 \, \text{cm}^2$.

Das ist logisch: Ein Quadrat mit Seitenlänge $1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}$ hat die Fläche $100 \cdot 100 = 10\,000 \, \text{cm}^2$.

Wichtige Umrechnungen:

$$1 \, \text{m}^2 = 10\,000 \, \text{cm}^2$$ $$1 \, \text{km}^2 = 1\,000\,000 \, \text{m}^2$$ $$1 \, \text{ha} = 10\,000 \, \text{m}^2$$

Das Hektar (ha) ist eine Flächeneinheit, die in der Landwirtschaft häufig verwendet wird. Ein Fussballfeld hat ungefähr $0{,}7 \, \text{ha}$.

Beispiel:

Beispiel 5: Zusammengesetztes Problem

Ein Schulhof hat die Form eines Rechtecks mit $a = 40 \, \text{m}$ und $b = 25 \, \text{m}$. In der Mitte des Schulhofs gibt es ein quadratisches Beet mit der Seitenlänge $c = 5 \, \text{m}$. Der Rest des Schulhofs soll gepflastert werden.

Gesucht: Die zu pflasternde Fläche.

Lösung:

Schritt 1: Fläche des gesamten Schulhofs berechnen.

$$A_{\text{Schulhof}} = 40 \cdot 25 = 1000 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Fläche des Beetes berechnen.

$$A_{\text{Beet}} = 5 \cdot 5 = 25 \, \text{m}^2$$

Schritt 3: Zu pflasternde Fläche berechnen.

$$A_{\text{Pflaster}} = A_{\text{Schulhof}} - A_{\text{Beet}} = 1000 - 25 = 975 \, \text{m}^2$$

Ergebnis: Es müssen $975 \, \text{m}^2$ gepflastert werden.

Merke: Bei zusammengesetzten Flächen berechnest du die Teile einzeln und addierst oder subtrahierst sie danach.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne oben und arbeite dich vor. Die vollständigen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Grundlagen (Aufgaben 1–4)

Aufgabe 1: Ein Rechteck hat die Länge $a = 10 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 6 \, \text{cm}$. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

Aufgabe 2: Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 7 \, \text{m}$. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

Aufgabe 3: Ein Rechteck hat den Umfang $U = 28 \, \text{cm}$ und die Länge $a = 9 \, \text{cm}$. Wie lang ist die Breite $b$?

Aufgabe 4: Ein Quadrat hat den Flächeninhalt $A = 49 \, \text{cm}^2$. Wie lang ist eine Seite?

Aufbau (Aufgaben 5–7)

Aufgabe 5: Ein Zimmer ist $4{,}5 \, \text{m}$ lang und $3{,}5 \, \text{m}$ breit. Wie viel Quadratmeter Teppich brauchst du, um den Boden vollständig zu bedecken?

Aufgabe 6: Ein Rechteck hat die Länge $a = 1{,}5 \, \text{m}$ und die Breite $b = 80 \, \text{cm}$. Berechne den Flächeninhalt in $\text{cm}^2$ und in $\text{m}^2$.

Aufgabe 7: Ein Garten hat den Umfang $U = 60 \, \text{m}$. Die Länge beträgt $a = 18 \, \text{m}$. Wie gross ist der Flächeninhalt des Gartens?

Anwendung (Aufgaben 8–9)

Aufgabe 8: Du möchtest ein rechteckiges Blumenbeet ($a = 3 \, \text{m}$, $b = 2 \, \text{m}$) mit einem Holzbord einfassen. Das Holzbord kostet $4 \, \text{CHF}$ pro Meter. Wie viel zahlst du insgesamt?

Aufgabe 9: Ein rechteckiger Parkplatz ist $120 \, \text{m}$ lang und $50 \, \text{m}$ breit. In der Mitte befindet sich ein quadratisches Gebäude mit einer Seitenlänge von $20 \, \text{m}$. Wie gross ist die Parkplatzfläche ohne das Gebäude?

Knobelaufgabe (Aufgabe 10)

Aufgabe 10: Du hast $24 \, \text{m}$ Zaunmaterial. Du möchtest ein Rechteck einzäunen. Welche Länge und Breite musst du wählen, damit der Flächeninhalt möglichst gross wird? Probiere verschiedene Möglichkeiten aus und erkläre, was du beobachtest.

Das Wichtigste in Kürze

Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur. Er hat eine Längeneinheit (cm, m).

Für ein Rechteck gilt: $U = 2 \cdot (a + b)$. Für ein Quadrat gilt: $U = 4 \cdot a$.

Der Flächeninhalt ist der Platz, den eine Figur bedeckt. Er hat eine Flächeneinheit ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Für ein Rechteck gilt: $A = a \cdot b$. Für ein Quadrat gilt: $A = a^2$.

Umfang und Fläche sind unabhängig voneinander. Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche. Bei gleichem Umfang hat das Quadrat immer die grösste Fläche.

Bei zusammengesetzten Figuren berechnest du die Teile einzeln und addierst oder subtrahierst sie.

Vergiss nie: Die richtige Einheit ist genauso wichtig wie die richtige Zahl.

Quiz

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Seiten $a = 12 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Umfang?

Lösung anzeigen

$U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (12 + 4) = 2 \cdot 16 = 32 \, \text{cm}$ Der Umfang beträgt $32 \, \text{cm}$.

❓ Frage: Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 9 \, \text{m}$. Wie gross ist der Flächeninhalt?

Lösung anzeigen

$A = a^2 = 9 \cdot 9 = 81 \, \text{m}^2$ Der Flächeninhalt beträgt $81 \, \text{m}^2$.

❓ Frage: Ein Zimmer ist $5 \, \text{m}$ lang und $4 \, \text{m}$ breit. Wie viele Quadratmeter Teppich brauchst du, um den ganzen Boden zu bedecken?

Lösung anzeigen

$A = a \cdot b = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{m}^2$ Du brauchst $20 \, \text{m}^2$ Teppich.

❓ Frage: Ein Rechteck hat den Umfang $U = 40 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 8 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Länge $a$?

Lösung anzeigen

Forme die Formel um: $\dfrac{U}{2} = a + b$, also $\dfrac{40}{2} = a + 8$, also $20 = a + 8$. Daraus folgt: $a = 20 - 8 = 12 \, \text{cm}$. Die Länge beträgt $12 \, \text{cm}$.

❓ Frage: Zwei Rechtecke haben beide den Umfang $U = 20 \, \text{cm}$. Rechteck A hat die Seiten $a = 8 \, \text{cm}$ und $b = 2 \, \text{cm}$. Rechteck B hat die Seiten $a = 6 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Welches Rechteck hat den grösseren Flächeninhalt?

Lösung anzeigen

Flächeninhalt Rechteck A: $A = 8 \cdot 2 = 16 \, \text{cm}^2$ Flächeninhalt Rechteck B: $A = 6 \cdot 4 = 24 \, \text{cm}^2$ Rechteck B hat den grösseren Flächeninhalt. Je ähnlicher die Seiten, desto grösser die Fläche.

Ausblick

Du hast gelernt, wie man Umfang und Fläche von Rechtecken und Quadraten berechnet. Dieses Wissen ist die Grundlage für vieles, was noch kommt.

In der 6. Klasse lernst du, wie man Dreiecke und andere Vielecke berechnet. Später kommen Kreise dazu – dort begegnest du der Zahl $\pi$ (Pi). In der Oberstufe lernst du Körper kennen: Quader, Zylinder, Kegel. Für deren Oberfläche und Volumen brauchst du genau das Wissen, das du jetzt erworben hast. Die Formeln werden komplexer, aber die Grundidee bleibt dieselbe: Wie gross ist eine Fläche, wie lang ist ein Rand?

Lösungen

Aufgabe 1: Rechteck mit $a = 10 \, \text{cm}$ und $b = 6 \, \text{cm}$.

Umfang:

$$U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32 \, \text{cm}$$

Flächeninhalt:

$$A = a \cdot b = 10 \cdot 6 = 60 \, \text{cm}^2$$

Der Umfang beträgt $32 \, \text{cm}$, der Flächeninhalt $60 \, \text{cm}^2$.

---

Aufgabe 2: Quadrat mit $a = 7 \, \text{m}$.

Umfang:

$$U = 4 \cdot a = 4 \cdot 7 = 28 \, \text{m}$$

Flächeninhalt:

$$A = a^2 = 7 \cdot 7 = 49 \, \text{m}^2$$

Der Umfang beträgt $28 \, \text{m}$, der Flächeninhalt $49 \, \text{m}^2$.

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Aufgabe 3: Rechteck mit $U = 28 \, \text{cm}$ und $a = 9 \, \text{cm}$.

$$\frac{U}{2} = a + b \implies \frac{28}{2} = 9 + b \implies 14 = 9 + b \implies b = 5 \, \text{cm}$$

Probe: $U = 2 \cdot (9 + 5) = 2 \cdot 14 = 28 \, \text{cm}$ ✓

Die Breite beträgt $5 \, \text{cm}$.

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Aufgabe 4: Quadrat mit $A = 49 \, \text{cm}^2$.

Es gilt $A = a^2$. Gesucht ist $a$. Du fragst: Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert $49$? Das ist $7$, denn $7 \cdot 7 = 49$.

$$a = 7 \, \text{cm}$$

Eine Seite ist $7 \, \text{cm}$ lang.

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Aufgabe 5: Zimmer mit $a = 4{,}5 \, \text{m}$ und $b = 3{,}5 \, \text{m}$.

$$A = a \cdot b = 4{,}5 \cdot 3{,}5 = 15{,}75 \, \text{m}^2$$

Du brauchst $15{,}75 \, \text{m}^2$ Teppich.

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Aufgabe 6: Rechteck mit $a = 1{,}5 \, \text{m}$ und $b = 80 \, \text{cm}$.

Zuerst Einheiten angleichen: $b = 80 \, \text{cm} = 0{,}8 \, \text{m}$.

Flächeninhalt in $\text{m}^2$:

$$A = 1{,}5 \cdot 0{,}8 = 1{,}2 \, \text{m}^2$$

Flächeninhalt in $\text{cm}^2$: Zuerst alle in cm: $a = 1{,}5 \, \text{m} = 150 \, \text{cm}$, $b = 80 \, \text{cm}$.

$$A = 150 \cdot 80 = 12\,000 \, \text{cm}^2$$

Probe: $1{,}2 \, \text{m}^2 \cdot 10\,000 = 12\,000 \, \text{cm}^2$ ✓

---

Aufgabe 7: Garten mit $U = 60 \, \text{m}$ und $a = 18 \, \text{m}$.

Zuerst Breite berechnen:

$$\frac{U}{2} = a + b \implies 30 = 18 + b \implies b = 12 \, \text{m}$$

Dann Flächeninhalt:

$$A = a \cdot b = 18 \cdot 12 = 216 \, \text{m}^2$$

Der Garten hat einen Flächeninhalt von $216 \, \text{m}^2$.

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Aufgabe 8: Blumenbeet mit $a = 3 \, \text{m}$ und $b = 2 \, \text{m}$.

Umfang des Beetes:

$$U = 2 \cdot (3 + 2) = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{m}$$

Kosten:

$$10 \cdot 4 = 40 \, \text{CHF}$$

Das Holzbord kostet insgesamt $40 \, \text{CHF}$.

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Aufgabe 9: Parkplatz mit $a = 120 \, \text{m}$ und $b = 50 \, \text{m}$, Gebäude mit $c = 20 \, \text{m}$.

Fläche des Parkplatzes:

$$A_{\text{Parkplatz}} = 120 \cdot 50 = 6000 \, \text{m}^2$$

Fläche des Gebäudes:

$$A_{\text{Gebäude}} = 20 \cdot 20 = 400 \, \text{m}^2$$

Parkplatzfläche ohne Gebäude:

$$A = 6000 - 400 = 5600 \, \text{m}^2$$

Die Parkplatzfläche ohne Gebäude beträgt $5600 \, \text{m}^2$.

---

Aufgabe 10 (Knobelaufgabe): $24 \, \text{m}$ Zaunmaterial, Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.

Wenn $U = 24 \, \text{m}$, dann gilt $a + b = 12 \, \text{m}$. Du kannst verschiedene Möglichkeiten ausprobieren:

Länge $a$	Breite $b$	Fläche $A$
$11 \, \text{m}$	$1 \, \text{m}$	$11 \, \text{m}^2$
$10 \, \text{m}$	$2 \, \text{m}$	$20 \, \text{m}^2$
$9 \, \text{m}$	$3 \, \text{m}$	$27 \, \text{m}^2$
$8 \, \text{m}$	$4 \, \text{m}$	$32 \, \text{m}^2$
$7 \, \text{m}$	$5 \, \text{m}$	$35 \, \text{m}^2$
$6 \, \text{m}$	$6 \, \text{m}$	$36 \, \text{m}^2$

Beobachtung: Je ähnlicher Länge und Breite, desto grösser die Fläche. Das Quadrat mit $a = b = 6 \, \text{m}$ hat die grösste Fläche von $36 \, \text{m}^2$. Mit $24 \, \text{m}$ Zaun umzäunst du am meisten Fläche, wenn du ein Quadrat bildest.