Umfang und Fläche von Figuren verstehen und berechnen

Stell dir vor, du möchtest deinen Garten mit einem Zaun umranden. Du gehst einmal komplett um den Garten herum und misst dabei die Strecke. Das ist der Umfang – die Länge des Weges rund um eine Fläche.

Jetzt möchtest du den Rasen im Garten neu anlegen. Dafür musst du wissen, wie viel Rasenfläche du brauchst. Du schaust von oben auf den Garten und fragst dich: Wie gross ist diese Fläche eigentlich? Das ist der Flächeninhalt – der Platz, den eine Figur einnimmt.

Umfang und Fläche sind also zwei verschiedene Dinge. Der Umfang misst den Rand. Die Fläche misst den Inhalt.

Vom Garten zur Mathematik

Beim Gartenzaun hast du alle vier Seiten abgelaufen und zusammengezählt. Genau so funktioniert der Umfang bei einem Rechteck: Du addierst alle Seitenlängen.

Für die Rasenfläche könntest du dir vorstellen, dass du den Garten mit quadratischen Platten auslegst. Jede Platte ist $1 \, \text{m} \times 1 \, \text{m}$ gross – also ein Quadratmeter. Zählst du alle Platten, erhältst du den Flächeninhalt.

Das Auslegen mit Platten dauert aber lange. Es gibt einen schnelleren Weg: Du multiplizierst einfach Länge mal Breite.

Der Umfang

Der Umfang ist die Gesamtlänge aller Seiten einer Figur. Bei einem Rechteck hast du zwei lange und zwei kurze Seiten.

DEFINITION

Umfang eines Rechtecks:

$$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b$$

oder kürzer:

$$U = 2 \cdot (a + b)$$

Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Breite des Rechtecks.

Die Formel sagt: Nimm die Länge, nimm die Breite, addiere beide und verdopple das Ergebnis. Das ergibt Sinn, weil jede Seite zweimal vorkommt.

Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Die Seitenlänge heisst $a$. Der Umfang wird dadurch noch einfacher:

$$U = 4 \cdot a$$

So berechnest du den Umfang

1. Lies die Seitenlängen ab (Länge $a$ und Breite $b$).
2. Addiere Länge und Breite: $a + b$.
3. Multipliziere das Ergebnis mit $2$.
4. Schreibe die Einheit dazu (z.B. cm, m).

Der Flächeninhalt

Der Flächeninhalt gibt an, wie viel Platz eine Figur bedeckt. Wir messen ihn in Quadratzentimetern ($\text{cm}^2$), Quadratmetern ($\text{m}^2$) oder anderen Flächeneinheiten.

DEFINITION

Flächeninhalt eines Rechtecks:

$$A = a \cdot b$$

Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Breite.

Flächeninhalt eines Quadrats:

$$A = a \cdot a = a^2$$

Die Formel für das Rechteck bedeutet: Multipliziere Länge mal Breite. Das entspricht dem Zählen der Einheitsquadrate, die in die Figur passen.

Beim Quadrat multiplizierst du die Seitenlänge mit sich selbst. Daher kommt auch der Name “Quadratzahl” – eine Zahl mal sich selbst.

So berechnest du den Flächeninhalt

1. Lies die Seitenlängen ab.
2. Multipliziere Länge mal Breite.
3. Schreibe die Flächeneinheit dazu (z.B. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Häufige Fehler vermeiden:

• Einheiten verwechseln: Der Umfang hat eine Längeneinheit (cm, m). Der Flächeninhalt hat eine Flächeneinheit ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$). Diese darfst du nicht vertauschen!
• Formeln verwechseln: Umfang = Addition und Verdopplung. Fläche = Multiplikation. Merke dir: Beim Umfang gehst du “um” die Figur (addieren). Bei der Fläche legst du sie “aus” (multiplizieren).
• Einheiten nicht umrechnen: Wenn eine Seite in cm und die andere in m angegeben ist, musst du zuerst beide in dieselbe Einheit umrechnen.

Beispiele

Beispiel 1: Rechteck mit ganzen Zahlen

Ein Rechteck hat die Länge $a = 8 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 5 \, \text{cm}$.

Umfang:

$$U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26 \, \text{cm}$$

Flächeninhalt:

$$A = a \cdot b = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2$$

Beispiel:

Das Rechteck hat einen Umfang von $26 \, \text{cm}$ und einen Flächeninhalt von $40 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 2: Quadrat mit Dezimalzahlen

Ein quadratisches Fenster hat die Seitenlänge $a = 1{,}2 \, \text{m}$.

Umfang:

$$U = 4 \cdot a = 4 \cdot 1{,}2 = 4{,}8 \, \text{m}$$

Flächeninhalt:

$$A = a^2 = 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44 \, \text{m}^2$$

Beispiel:

Das Fenster hat einen Umfang von $4{,}8 \, \text{m}$ und einen Flächeninhalt von $1{,}44 \, \text{m}^2$.

Beispiel 3: Textaufgabe – Fläche gesucht

Ein Fussballfeld ist $100 \, \text{m}$ lang und $70 \, \text{m}$ breit. Wie viel Quadratmeter Rasen werden benötigt?

Lösung:

Gesucht ist der Flächeninhalt.

$$A = a \cdot b = 100 \cdot 70 = 7000 \, \text{m}^2$$

Beispiel:

Für das Fussballfeld werden $7000 \, \text{m}^2$ Rasen benötigt.

Zusammenhang zwischen Umfang und Fläche

Zwei Rechtecke können denselben Umfang haben, aber verschiedene Flächeninhalte. Oder sie haben dieselbe Fläche, aber unterschiedliche Umfänge.

Ein Beispiel: Ein Rechteck mit $a = 6 \, \text{cm}$ und $b = 2 \, \text{cm}$ hat den Umfang $U = 16 \, \text{cm}$ und die Fläche $A = 12 \, \text{cm}^2$.

Ein Quadrat mit $a = 4 \, \text{cm}$ hat auch den Umfang $U = 16 \, \text{cm}$. Aber seine Fläche ist $A = 16 \, \text{cm}^2$ – also grösser!

Merke: Bei gleichem Umfang hat das Quadrat immer die grösste Fläche.

Quiz

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Seiten $a = 12 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Umfang?

Lösung anzeigen

$U = 2 \cdot (12 + 4) = 2 \cdot 16 = 32 \, \text{cm}$

❓ Frage: Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 9 \, \text{m}$. Wie gross ist der Flächeninhalt?

Lösung anzeigen

$A = 9 \cdot 9 = 81 \, \text{m}^2$

❓ Frage: Ein Zimmer ist $5 \, \text{m}$ lang und $4 \, \text{m}$ breit. Wie viele Quadratmeter Teppich brauchst du, um den ganzen Boden zu bedecken?

Lösung anzeigen

$A = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{m}^2$